[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Sequência de somas inferiores de Riemann convergindo para a integral imprópria

[Artur Costa Steiner]

Oi BernardoEu tenho a definição que acho que é clássica. Se f for 
definida em (a, b] e integrável em [c, b] para todo c em (a, b), então a 
integral imprópria sobre (a, b] é definida como lim (c --> a+) 
Integral [c, b] f(x) dxse este limite existir. Eventualmente pode 
existir e ser infinito ou -infinito. Há é claro uma definição análoga 
para o ponto extremo direito do intervalo, se f for definida em [a, 
b)AbraçosArturhttps://overview.mail.yahoo.com?.src=iOS";>Enviado do Yahoo Mail 
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[obm-l] Re: [obm-l] Sequência de somas inferiores de Riemann convergindo para a integral imprópria

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2014-08-11 14:49 GMT-03:00 Artur Costa Steiner :
>
> Boa tarde a todos os amigos. Gostaria de ver a prova de vocês para o seguinte:
Oi Artur,

> Suponhamos que f:(a, b] --> R, a e b reais, seja limitada inferiormente e que 
> sua integral imprópria sobre (a, b] exista e seja finita. Seja (P_n) uma 
> sequência de partições de [a, b] tal que ||P_n|| --> 0. Sendo L_n = L(f, [a, 
> b], P_n) a soma inferior de f sobre [a, b] com relação a P_n, mostre que
>
> L_n --> Integral (a, b] f(x) dx, integral imprópria.
>
> Veja que f pode ser ilimitada superiormente. Um bom exemplo é f(x) = 
> 1/raiz(x) para x em (0, 1]. Sua integral imprópria é 2.
>
> Este resultado não é geral. Se vc pegar somas de Riemann arbitrárias, a 
> convergência citada não tem que se verificar. Mesmo que f seja contínua.

Certíssimo. Antes de responder, eu queria saber qual é a sua definição
para integrais impróprias "à la Riemann".

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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