2015-03-22 3:37 GMT-03:00 Artur Costa Steiner <artur_stei...@yahoo.com>:
> Para quais valores do complexo z esta sequência converge? Se convergir para
> um dado z, o limite tem que ser e^z?
Eu faria "à la Euler", com a mesma demonstração que vale para os reais.
Expanda (1 + z/n)^n pela fórmula do binômio, fixando um índice k (que
depois vai para infinito) e majore | Soma_{j > k} C(n,j) (z/n)^j | <=
| Soma_{j > k} C(n,j) (|z|/n)^j <= erro(z,k). O erro não depende de $n
> k$ (isso é importante, é uma "convergência uniforme") e esse é o
"pulo de gato" do Euler). Uma forma de fazer isso é pedir que os
termos sejam dominados por uma PG de razão r, o que dá a desigualdade
C(n,j+1) * (|z|/n)^(j+1) <= r * C(n,j) * (|z|/n)^j para todo j > k <=>
(n-j) * (|z|/n) <= r * j para todo j > k <=>
|z| <= n *r * j /(n-j) para todo j > k.
Basta ter |z| <= r*k para isso ser verdade, já que n/(n-j) > 1 (mas
pode ser bem perto, logo a estimativa não é "ruim" quando fizermos
n->infinito)
E daí temos que a norma do "resto" é majorada pela soma da PG:
C(n,k+1) * (z/n)^(k+1) / (1 - r) <= z^(k+1) / (k+1)! / (1 - r) (usei
que C(n,k+1) <= n^(k+1) / (k+1)!)
que não depende de n, conforme anunciado.
Agora é fácil: faça n -> infinito, os termos "iniciais" (j <= k) vão
convergir para a série truncada de e^z, e têm um erro que só depende
de k e z. Enfim, veja que erro(z,k) -> 0 quando z está fixo (digamos
|z| < R) e k -> infinito.
Obs: combinando esta técnica do Euler com as desigualdades de Cauchy e
um pouco mais de análise complexa, é possível mostrar a seguinte
proposição (ainda não terminei os detalhes, vou tentar enviar em
breve):
Seja f_n(z) uma seqüência de funções holomorfas definidas num domínio
(aberto conexo) Omega, limitadas uniformemente por M neste Omega. Seja
K um compacto contido em Omega, Z um subconjunto de K com pelo menos
um ponto de acumulação. Suponha que f_n(z) -> 0 para todo z em Z.
Então f_n -> 0 em K.
Muito legal!!
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
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acredita-se estar livre de perigo.
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