[obm-l] Re: [obm-l] Taxas relacionadas e problemas de otimização
Caro Marcos Reynaldo: Aqui vão alguns comentários. 1) Um depósito esférico está recoberto uniformemente por uma camada de gelo de 5 cm de espessura. À medida que o gelo derrete, a taxa na qual o volume de gelo diminui é diretamente proporcional à taxa em qua a área da superfície decresce. Mostre que o diâmetro externo está decrescendo a uma taxa constante. (página 204) R = raio do depósito (constante) x = espessura da camada de gelo (variável) V(gelo) = (4/3)*Pi*(R+x)^3 - (4/3)*Pi*R^3 A(gelo) = 4*Pi*(R+x)^2 dV/dt = k * dA/dt ==> dV/dx * dx/dt = k * dA/dx * dx/dt ==> dV/dx = k * dA/dx ==> 4*Pi*(R+x)^2 = k * 8*Pi*(R+x) ==> (R+x)^2 = k * 2*(R+x) ==> R+x = 2*k ==> x é constante ==> Dexterno = 2*(R+x) é constante ==> dDexterno/dt = 0 Realmente, nas condições do problema (dV/dt = k*dA/dt) o diâmetro esté decrescendo a uma taxa constante e igual a zero ==> a camada de gelo está fixa. Na verdade, o que acontece é o seguinte: Expressando V(gelo) em função de A(gelo), teremos: A = 4*Pi*(R+x)^2 ==> (A/(4*Pi))^(3/2) = (R+x)^3 ==> (4/3)*Pi*(R+x)^3 = (4/3)*Pi*[A/(4*Pi)]^(3/2) = 1/(6*raiz(Pi))*A^(3/2) ==> V = 1/(6*raiz(Pi))*A^(3/2) - (4/3)*Pi*R^3 ==> dV/dA = 1/(4*raiz(Pi))*raiz(A) dV/dt = (dA/dt) / (dV/dA) ==> 4*raiz(Pi) * (1/raiz(A)) * dA/dt Ou seja, a taxa de variação no volume é diretamente proporcional à taxa de variação da Área e INVERSAMENTE PROPORCIONAL À RAIZ QUADRADA DA ÁREA. ** 2)Um muro tem 3 m de altura, é paralelo à parede de um edifício, e está a 0,30m desta. Determine o comprimento da menor escada que vá do chão à parede do edifício, tocando o muro. (página 274) Eu não tenho o livro mas do jeito que você colocou o enunciado, eu diria que o comprimento mínimo é de 0,30 m - escada paralela ao chão tocando o muro e a parede.Será que não tem alguma figura ou alguma restrição adicional? *** 3) A lei de Boyle para gases confinados afirma que, se a temperatura permanece constante, então p.v=c , onde é a pressão, v o volume e c uma constante. A certo instante, o volume é 1,230 cm^3 , a pressão é de 206 k/cm^2 e a pressão decresce à razão de 1 km/cm^2. Em que taxa está variando o volume nesse instante ? (página 203) Realmente, as unidades estão esquisitas, pra dizer o mínimo (pressão variando a 1 km/cm^2 ) - mesmo que este seja um um livro de cálculo e não de física é duro de perdoar De qualquer forma, supondo que as unidades sejam: Pressão = kgf/cm^2, Volume = cm^3 e Taxa de Variação da Pressão = kgf/(cm^2 * seg), teremos: P*V = c ==> 206 * 1.230 = c ==> c = 253.380 kgf * cm V = c/P ==> dV/dt = - (c/P^2) * dP/dt = - (253.380/206^2) * (-1) = 5,97 kgf/(cm^2*seg) (o volume está aumentando) O que diz seu gabarito? Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Taxas relacionadas e problemas de otimização
- Original Message - From: "Marcos Reynaldo" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, February 03, 2003 5:58 PM Subject: [obm-l] Taxas relacionadas e problemas de otimização > Caros colegas, estou com alguns problemas de taxas > relacionadas que não estou conseguindo resolver e um > outro cujo gabarito não confere. Os exercícios foram > tirados do livro do Swokowski (vol.1). Agradeço desde > já toda a ajuda. > (...) > > 3) A lei de Boyle para gases confinados afirma que, se > a temperatura permanece constante, então p.v=c , onde > é a pressão, v o volume e c uma constante. A certo > instante, o volume é 1,230 cm^3 , a pressão é de 206 > k/cm^2 e a pressão decresce à razão de 1 km/cm^2. Em > que taxa está variando o volume nesse instante ? > (página 203) > > Minha dúvida: essas unidades estão corretas ??? dá uma > olhada na pressão e na taxa em que a pressão decresce, > pra mim isso tá furado. Mas espero a palavra dos > colegas que certamente entendem mais do que eu. > > []´s Marcos "Furado", no caso, é o que os americanos chamariam de "understatement". A melhor tradução para este termo, ainda no caso, é "samba do crioulo doido". Pressão é força dividido por área. Força é massa vezes aceleração. O dimensional de pressão é, portanto, (M L T^-2)/(L^-2)=M L^-1 T^-2) e as unidades mais usuais são atmosfera e pascal. Aí em cima é dito que a pressão está medida em 'k/cm^2', mas 'k' não é unidade de coisa alguma. O que mais se aproxima é 'kgf/cm^2', com 'kgf' sendo o quilograma-força, que é o peso de uma massa de 1 kg submetida à aceleração da gravidade, isto é, a força de gravidade que atua em uma massa de 1 kg. Se não formos muito rigorosos, podemos assumir que quando se escreve kg/cm^2 está-se querendo dizer kgf/cm^2. Logo, no exercício acima, é válido assumir que a pressão inicial é de 206 kgf/cm^2. Mas não há imaginação que ajude a entender o que vem a ser uma taxa de variação de pressão medida em km/cm^2. Se a pressão decresce à razão de 1 km/cm^2 (dimensional L/L^2 = L^-1) ela drecresce à razão de 1[coisa nenhuma]/[unidade de distância]. E isso me faz lembrar de um professor de química que, quando nos esquecíamos de indicar as unidades nas respostas, ele completava com "periquitos", "bananas" ou similares, e para dar a nota procedia da mesma forma que havíamos procedido com a unidade - dava como nota a ausência de nota, isto é, zero. Saindo da física e indo para a matemática, já que PV=k, o que se pode dizer é que a taxa de variação do volume é o inverso da taxa de variação da pressão. Se usarmos as unidades certas, é só fazer as contas. JF PS: É inacreditável que alguém tenha publicado um livro com o samba do crioulo doido acima no quesito unidades. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =