[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polígono regular - 13 lados

2020-06-18 Por tôpico Daniel Jelin 
Pra mim deu 91 também: C(13,3) - 13*C(6,2).
Acho que dá pra generalizar para polígonos regulares de 2n+1 lados: serão
C(2n+1,3) - (2n+1)*C(n,2) triângulos, que significa o total de triângulos
menos aqueles cujos vértices estão todos de uma mesma 'banda' do polígono.
abs,
Daniel


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On Thu, Jun 18, 2020 at 11:48 PM Ralph Costa Teixeira 
wrote:

> Hm... Fiz um raciocínio aqui, confiram se errei algo. Vou chamar os
> vértices de P1, P2, ..., P13.
>
> Primeiro: o enunciado tinha que deixar mais claro como contar
> triângulos... Por exemplo, triângulos congruentes em si contam apenas uma
> vez? P1P2P6 conta igual a P2P3P7? Normalmente, eu diria que eles são
> **distintos**, mas neste caso a resposta seria muito mais que 36 (e seria
> um múltiplo de 13, pois, para cada triângulo válido, teríamos suas 13
> rotações também, que seriam distintas).
>
> ---///---
>
> Mas vamos supor que o enunciado considera triângulos congruentes como um
> único triângulo. Neste caso, o triângulo ABC (suponha A-B-C no sentido
> anti-horário) fica completamente determinado pelos comprimentos dos 3 arcos
> AB, AC e BC no círculo circunscrito (e vice-versa: dados os 3 arcos, em
> qualquer ordem, eles determinam os comprimentos dos lados, e portanto
> determinariam um único triângulo). Escrevendo os arcos como AB=x.2pi/13,
> BC=y.2pi/13 e CA=z.2pi/13, um triângulo ABC corresponde exatamente a uma
> tripla ***desordenada*** de inteiros positivos {x,y,z} satisfazendo
> x+y+z=13.
>
> Para que o circuncentro esteja no interior do triângulo, basta que ele
> seja acutângulo, ou seja, x,y,z<=6. Então agora temos um problema
> combinatório:
>
> "Determinar o número de soluções inteiras de x+y+z=13 satisfazendo
> 1<=x,y,z<=6, onde a ordem das variáveis não importa."
> Fazendo a=6-x, b=6-y e c=6-z, o problema vira
> "Determinar o número de soluções inteiras distintas de a+b+c=5
> satisfazendo 0<=a,b,c<=5 (sem ordem)"
> Opa, assim o "<=5" fica desnecessário, pois a+b+c=5 e a,b,c>=0 implicam
> a,b,c<=5! Então agora é (quase) um problema clássico daqueles com bolinhas
> e barrinhas para separar bolinhas... "Quase" porque dissemos que a ordem
> não importa! Como os números sao pequenos, melhor fazer logo no braço...
> Suponha s.p.d.g que a>=b>=c, e teste a=5, depois a=4... e liste os casos:
> {a,b,c}={{5,0,0},{4,1,0},{3,2,0},{3,1,1},{2,2,1}}
> Ou seja, sao apenas 5 triangulos:
> {x,y,z} = {1,6,6},{2,5,6},{3,4,6},{3,5,5},{4,4,5}
>
> ---///---
>
> Agora, se você quiser a minha interpretação original onde cada posição de
> cada vértice importa... Bom, basta notar que:
> a) Cada uma das triplas (1,6,6), (3,5,5) e (4,4,5) gera 13 triângulos
> (tome um triângulo desse tipo e rode sucessivamente de ângulo 2pi/13)
> b) Cada uma das triplas (2,5,6) e (3,4,6) gera 2x13=26 triângulos... Isto
> ocorre aqui pois (2,5,6) gera um triângulo "distinto" de (2,6,5) (e um não
> pode ser obtido do outro por rotações, pois estas mantêm a ordem circular
> dos números).
> (Note que esta "duplicação" não ocorria em (a) por conta dos números
> repetidos! Por exemplo, se você tentasse montar um triângulo (6,6,1),
> digamos, P1-P7-P13, ele seria uma das rotações do (1,6,6) que eu jah tinha
> contado (a saber: P13-P1-P7). Ou seja, temos que contar todas as
> permutações de cada tripla, dividindo por 3 por conta das
> 3 permutações circulares que não geram nada de novo.)
> Então com a minha interpretação original a resposta seria (3x1+2x2) x 13 =
> 91? Errei algo?
>
> Abraço, Ralph.
>
>
>
>
> On Thu, Jun 18, 2020 at 9:31 PM Vitório Batista Lima da Silva <
> vitorio.si...@trf1.jus.br> wrote:
>
>> 3 vértices distintos de um polígono regular de 13 lados formam um
>> triângulo. Quantos desses triângulos contém o centro do círculo
>> circunscrito ao polígono?
>>
>> A resposta é 36???
>>
>> At.te,
>>
>> Vitório
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



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-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] polígono regular - 13 lados

2020-06-18 Por tôpico Ralph Costa Teixeira 
Hm... Fiz um raciocínio aqui, confiram se errei algo. Vou chamar os
vértices de P1, P2, ..., P13.

Primeiro: o enunciado tinha que deixar mais claro como contar triângulos...
Por exemplo, triângulos congruentes em si contam apenas uma vez? P1P2P6
conta igual a P2P3P7? Normalmente, eu diria que eles são **distintos**, mas
neste caso a resposta seria muito mais que 36 (e seria um múltiplo de 13,
pois, para cada triângulo válido, teríamos suas 13 rotações também, que
seriam distintas).

---///---

Mas vamos supor que o enunciado considera triângulos congruentes como um
único triângulo. Neste caso, o triângulo ABC (suponha A-B-C no sentido
anti-horário) fica completamente determinado pelos comprimentos dos 3 arcos
AB, AC e BC no círculo circunscrito (e vice-versa: dados os 3 arcos, em
qualquer ordem, eles determinam os comprimentos dos lados, e portanto
determinariam um único triângulo). Escrevendo os arcos como AB=x.2pi/13,
BC=y.2pi/13 e CA=z.2pi/13, um triângulo ABC corresponde exatamente a uma
tripla ***desordenada*** de inteiros positivos {x,y,z} satisfazendo
x+y+z=13.

Para que o circuncentro esteja no interior do triângulo, basta que ele seja
acutângulo, ou seja, x,y,z<=6. Então agora temos um problema combinatório:

"Determinar o número de soluções inteiras de x+y+z=13 satisfazendo
1<=x,y,z<=6, onde a ordem das variáveis não importa."
Fazendo a=6-x, b=6-y e c=6-z, o problema vira
"Determinar o número de soluções inteiras distintas de a+b+c=5 satisfazendo
0<=a,b,c<=5 (sem ordem)"
Opa, assim o "<=5" fica desnecessário, pois a+b+c=5 e a,b,c>=0 implicam
a,b,c<=5! Então agora é (quase) um problema clássico daqueles com bolinhas
e barrinhas para separar bolinhas... "Quase" porque dissemos que a ordem
não importa! Como os números sao pequenos, melhor fazer logo no braço...
Suponha s.p.d.g que a>=b>=c, e teste a=5, depois a=4... e liste os casos:
{a,b,c}={{5,0,0},{4,1,0},{3,2,0},{3,1,1},{2,2,1}}
Ou seja, sao apenas 5 triangulos:
{x,y,z} = {1,6,6},{2,5,6},{3,4,6},{3,5,5},{4,4,5}

---///---

Agora, se você quiser a minha interpretação original onde cada posição de
cada vértice importa... Bom, basta notar que:
a) Cada uma das triplas (1,6,6), (3,5,5) e (4,4,5) gera 13 triângulos (tome
um triângulo desse tipo e rode sucessivamente de ângulo 2pi/13)
b) Cada uma das triplas (2,5,6) e (3,4,6) gera 2x13=26 triângulos... Isto
ocorre aqui pois (2,5,6) gera um triângulo "distinto" de (2,6,5) (e um não
pode ser obtido do outro por rotações, pois estas mantêm a ordem circular
dos números).
(Note que esta "duplicação" não ocorria em (a) por conta dos números
repetidos! Por exemplo, se você tentasse montar um triângulo (6,6,1),
digamos, P1-P7-P13, ele seria uma das rotações do (1,6,6) que eu jah tinha
contado (a saber: P13-P1-P7). Ou seja, temos que contar todas as
permutações de cada tripla, dividindo por 3 por conta das
3 permutações circulares que não geram nada de novo.)
Então com a minha interpretação original a resposta seria (3x1+2x2) x 13 =
91? Errei algo?

Abraço, Ralph.




On Thu, Jun 18, 2020 at 9:31 PM Vitório Batista Lima da Silva <
vitorio.si...@trf1.jus.br> wrote:

> 3 vértices distintos de um polígono regular de 13 lados formam um
> triângulo. Quantos desses triângulos contém o centro do círculo
> circunscrito ao polígono?
>
> A resposta é 36???
>
> At.te,
>
> Vitório
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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