Re: [obm-l] Re: Mostrar que Soma (k = 1, n) 1/P'(x_k) = 0

2016-02-19 Por tôpico Carlos Yuzo Shine 
Oi gente,
Agora não tenho muito tempo para fazer todas as contas, mas acho que a 
formulinhaP'(x) = P(x)\sum 1/(x-x_i)ajuda. Note que isso mostra que1/P'(x_i) = 
1/c\prod_{j\ne i}(x_i-x_j),sendo c constante.
[]'sShine 

On Friday, February 19, 2016 7:40 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 wrote:
 

 Olá,

a cara desta expressão (soma nas raízes de um polinômio) me faz pensar
em integral de Cauchy / resíduos. Um lado você consegue com a integral
olhando para dentro de um círculo bem grande (contendo todas as
raízes) e a outra "no lado de fora do círculo". Não estou com tempo de
pensar qual seria a função, mas acho que é por aí. Talvez a noite
traga inspiração?

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

2016-02-19 18:19 GMT-02:00 Luís :
> Sauda,c~oes,
>
> Parece que não chegou. Mando novamente.
>
> Luís
>
> 
> De: Luís 
> Enviado: sexta-feira, 19 de fevereiro de 2016 14:35
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: Mostrar que Soma (k = 1, n) 1/P'(x_k) = 0
>
> Sauda,c~oes, oi Amanda,
>
> Apesar de não conseguir uma solução, gostei deste problema.
>
> Para n=2 e n=3 podemos ver que isso é verdade.
>
> P[2](x)=(x - x_1) (x - x_2)
> P[2]'(x) = (x - x_2) +  (x - x_1)
> P[2]'(x_1) = (x_1 - x_2)
> P[2]'(x_2) = (x_2 - x_1)
>
> 1/P[2]'(x_1) + 1/P[2]'(x_2) = 1/(x_1 - x_2) + 1/ (x_2 - x_1) = 0
>
> P[3](x) = (x - x_1) (x - x_2) (x - x_3)
> P[3]'(x) =  (x - x_2) (x - x_3) +  (x - x_1)  (x - x_3) +  (x - x_1) (x - x_2)
> P[3]'(x_1) = (x_1 - x_2) (x_1 - x_3)
> P[3]'(x_2) = (x_2 - x_1) (x_2 - x_3)
> P[3]'(x_3) = (x_3 - x_1) (x_3 - x_2)
>
> Soma (k = 1,3) 1/P[3]'(x_k) = 0
>
> Mostrar assim para n >= 4 começa a ficar longo. Pensei então em indução.
>
> P[n+1](x) = (x - x_(n+1)) Q[n](x)
>
> P[n+1]'(x) = Q[n](x) + (x - x_(n+1)) Q[n]'(x)
>
> Soma (k = 1,n) 1/Q[n]'(x)  = 0 (hipótese da indução)
>
> Soma (k = 1,n+1) 1/P[n+1]'(x_k) = Soma (k = 1,n) 1 / [ (x_k - x_(n+1)) 
> Q[n]'(x_k) ]  + 1 / Q[n](x_(n+1))
>
> Parei aqui. Será que é possível manipular a expressão e chegar ao resultado ?
>
> Luís
>
>
> 
> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de Merryl 
> 
> Enviado: terça-feira, 16 de fevereiro de 2016 23:18
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] Mostrar que Soma (k = 1, n) 1/P'(x_k) = 0
>
> Tentando mostrar isto, cheguei a uma expressão extremamente complicada. Podem 
> ajudar?
>
> Seja P um polinômio de grau n >= 2 tal que suas n raízes x_1, ... x_n sejam 
> distintas duas a duas. Mostre que
>
> Soma (k = 1, n) 1/P'(x_k) = 0
>
> Obrigada
>
> Amanda

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru�es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=


  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Mostrar que Soma (k = 1, n) 1/P'(x_k) = 0

2016-02-19 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
Olá,

a cara desta expressão (soma nas raízes de um polinômio) me faz pensar
em integral de Cauchy / resíduos. Um lado você consegue com a integral
olhando para dentro de um círculo bem grande (contendo todas as
raízes) e a outra "no lado de fora do círculo". Não estou com tempo de
pensar qual seria a função, mas acho que é por aí. Talvez a noite
traga inspiração?

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

2016-02-19 18:19 GMT-02:00 Luís :
> Sauda,c~oes,
>
> Parece que não chegou. Mando novamente.
>
> Luís
>
> 
> De: Luís 
> Enviado: sexta-feira, 19 de fevereiro de 2016 14:35
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: Mostrar que Soma (k = 1, n) 1/P'(x_k) = 0
>
> Sauda,c~oes, oi Amanda,
>
> Apesar de não conseguir uma solução, gostei deste problema.
>
> Para n=2 e n=3 podemos ver que isso é verdade.
>
> P[2](x)=(x - x_1) (x - x_2)
> P[2]'(x) = (x - x_2) +  (x - x_1)
> P[2]'(x_1) = (x_1 - x_2)
> P[2]'(x_2) = (x_2 - x_1)
>
> 1/P[2]'(x_1) + 1/P[2]'(x_2) = 1/(x_1 - x_2) + 1/ (x_2 - x_1) = 0
>
> P[3](x) = (x - x_1) (x - x_2) (x - x_3)
> P[3]'(x) =  (x - x_2) (x - x_3) +  (x - x_1)  (x - x_3) +  (x - x_1) (x - x_2)
> P[3]'(x_1) = (x_1 - x_2) (x_1 - x_3)
> P[3]'(x_2) = (x_2 - x_1) (x_2 - x_3)
> P[3]'(x_3) = (x_3 - x_1) (x_3 - x_2)
>
> Soma (k = 1,3) 1/P[3]'(x_k) = 0
>
> Mostrar assim para n >= 4 começa a ficar longo. Pensei então em indução.
>
> P[n+1](x) = (x - x_(n+1)) Q[n](x)
>
> P[n+1]'(x) = Q[n](x) + (x - x_(n+1)) Q[n]'(x)
>
> Soma (k = 1,n) 1/Q[n]'(x)  = 0 (hipótese da indução)
>
> Soma (k = 1,n+1) 1/P[n+1]'(x_k) = Soma (k = 1,n) 1 / [ (x_k - x_(n+1)) 
> Q[n]'(x_k) ]  + 1 / Q[n](x_(n+1))
>
> Parei aqui. Será que é possível manipular a expressão e chegar ao resultado ?
>
> Luís
>
>
> 
> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de Merryl 
> 
> Enviado: terça-feira, 16 de fevereiro de 2016 23:18
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] Mostrar que Soma (k = 1, n) 1/P'(x_k) = 0
>
> Tentando mostrar isto, cheguei a uma expressão extremamente complicada. Podem 
> ajudar?
>
> Seja P um polinômio de grau n >= 2 tal que suas n raízes x_1, ... x_n sejam 
> distintas duas a duas. Mostre que
>
> Soma (k = 1, n) 1/P'(x_k) = 0
>
> Obrigada
>
> Amanda

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: Mostrar que Soma (k = 1, n) 1/P'(x_k) = 0

2016-02-19 Por tôpico Luís 
Sauda,c~oes, 

Parece que não chegou. Mando novamente. 

Luís


De: Luís 
Enviado: sexta-feira, 19 de fevereiro de 2016 14:35
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: Mostrar que Soma (k = 1, n) 1/P'(x_k) = 0

Sauda,c~oes, oi Amanda,

Apesar de não conseguir uma solução, gostei deste problema.

Para n=2 e n=3 podemos ver que isso é verdade.

P[2](x)=(x - x_1) (x - x_2)
P[2]'(x) = (x - x_2) +  (x - x_1)
P[2]'(x_1) = (x_1 - x_2)
P[2]'(x_2) = (x_2 - x_1)

1/P[2]'(x_1) + 1/P[2]'(x_2) = 1/(x_1 - x_2) + 1/ (x_2 - x_1) = 0

P[3](x) = (x - x_1) (x - x_2) (x - x_3)
P[3]'(x) =  (x - x_2) (x - x_3) +  (x - x_1)  (x - x_3) +  (x - x_1) (x - x_2)
P[3]'(x_1) = (x_1 - x_2) (x_1 - x_3)
P[3]'(x_2) = (x_2 - x_1) (x_2 - x_3)
P[3]'(x_3) = (x_3 - x_1) (x_3 - x_2)

Soma (k = 1,3) 1/P[3]'(x_k) = 0

Mostrar assim para n >= 4 começa a ficar longo. Pensei então em indução.

P[n+1](x) = (x - x_(n+1)) Q[n](x)

P[n+1]'(x) = Q[n](x) + (x - x_(n+1)) Q[n]'(x)

Soma (k = 1,n) 1/Q[n]'(x)  = 0 (hipótese da indução)

Soma (k = 1,n+1) 1/P[n+1]'(x_k) = Soma (k = 1,n) 1 / [ (x_k - x_(n+1)) 
Q[n]'(x_k) ]  + 1 / Q[n](x_(n+1))

Parei aqui. Será que é possível manipular a expressão e chegar ao resultado ?

Luís



De: owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de Merryl 

Enviado: terça-feira, 16 de fevereiro de 2016 23:18
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Mostrar que Soma (k = 1, n) 1/P'(x_k) = 0

Tentando mostrar isto, cheguei a uma expressão extremamente complicada. Podem 
ajudar?

Seja P um polinômio de grau n >= 2 tal que suas n raízes x_1, ... x_n sejam 
distintas duas a duas. Mostre que

Soma (k = 1, n) 1/P'(x_k) = 0

Obrigada

Amanda





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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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