[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Resto da divisão de um polinômio

[Artur Costa Steiner]

Outra solução:

As raízes de x^2 + x + 1 são r1 = cis 2pi/3 e r2= cis 4pi/3, as raízes
cúbicas de 1 exceto 1.. Sendo D o quociente e ax + b o resto da divisão.
temos que

*x^30 - x^28 + 7x^12 = D(x) ( x^2 + x + 1) + ax + b*

*Como 30 e 12 são múltiplos de 3, r1^30 = r1^12 = 1. E r1^28 = r1 . r1^27 =
r1. Assim, fazendo x = r1, vem*

*1 - r1 + 7 = 8 - r1 = 8 - (-1/2 + raiz(3)/2 i) = 8,5 - raiz(3)/2 i = -a/2
+ a raiz(3)/2 i + b.*

*Assim, a = -1, b - a/2 = b + 1/2 = 8,5 , b = 8. O resto é -x + 8.*

*Fazendo x = r2, chegamos ao mesmo resultado.*

*Mas acho que  solução do Matheus é mais elegante.  A minha se simplificou
porque 30 e 12 são múltiplos de 3 e 28 = 1 + 27, 27 também múltiplo de 3*


*Artur *
Em sáb, 22 de ago de 2020 21:38, Matheus Secco 
escreveu:

> Neste caso específico, você pode usar congruência de polinômios (que é bem
> similar à congruência para números inteiros) e isso é facilitado pelo fato
> de x^3 - 1 = (x - 1)(x^2+x+1).
>
> Com essa observação, podemos escrever x^3 == 1 (mod x^2+x+1). Com isso,
> x^30 = (x^3)^10 == 1 (mod x^2+x+1), x^28 = (x^3)^9 * x == x (mod x^2+x+1) e
> 7x^12 = 7(x^3)^4 == 7 (mod x^2+x+1).
>
> Assim x^30 - x^28 + 7x^12 == 1 - x + 7 == 8 - x (mod x^2+x+1) e como o
> grau de (8-x) é menor que o grau de (x^2+x+1), o resto é 8 - x.
>
> Abraços,
>
> Matheus.
>
> On Sat, Aug 22, 2020 at 9:19 PM Professor Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> wrote:
>
>> Oi!
>>
>> Existe algum fato específico que ajude a determinar o resto da divisão de
>> um polinômio de grau elevado por outro, ou depende do caso?
>>
>> Por exemplo, como encontrar o seguinte resto, sem excessivos cálculos?
>> Muito obrigado!
>>
>> *Determine o resto da divisão do polinômio x^30 - x^28 + 7x^12 por x^2 +
>> x + 1?*
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
>> <#m_-615878603476649313_m_2794148347715460488_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Resto da divisão de um polinômio

[Esdras Muniz]

Vc pode dizer que x^2=-(x+1) e abrir as contas.

Em sáb, 22 de ago de 2020 21:19, Professor Vanderlei Nemitz <
vanderma...@gmail.com> escreveu:

> Oi!
>
> Existe algum fato específico que ajude a determinar o resto da divisão de
> um polinômio de grau elevado por outro, ou depende do caso?
>
> Por exemplo, como encontrar o seguinte resto, sem excessivos cálculos?
> Muito obrigado!
>
> *Determine o resto da divisão do polinômio x^30 - x^28 + 7x^12 por x^2 +
> x + 1?*
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_695281535589841859_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Resto da divisão de um polinômio

[Matheus Secco]

Neste caso específico, você pode usar congruência de polinômios (que é bem
similar à congruência para números inteiros) e isso é facilitado pelo fato
de x^3 - 1 = (x - 1)(x^2+x+1).

Com essa observação, podemos escrever x^3 == 1 (mod x^2+x+1). Com isso,
x^30 = (x^3)^10 == 1 (mod x^2+x+1), x^28 = (x^3)^9 * x == x (mod x^2+x+1) e
7x^12 = 7(x^3)^4 == 7 (mod x^2+x+1).

Assim x^30 - x^28 + 7x^12 == 1 - x + 7 == 8 - x (mod x^2+x+1) e como o grau
de (8-x) é menor que o grau de (x^2+x+1), o resto é 8 - x.

Abraços,

Matheus.

On Sat, Aug 22, 2020 at 9:19 PM Professor Vanderlei Nemitz <
vanderma...@gmail.com> wrote:

> Oi!
>
> Existe algum fato específico que ajude a determinar o resto da divisão de
> um polinômio de grau elevado por outro, ou depende do caso?
>
> Por exemplo, como encontrar o seguinte resto, sem excessivos cálculos?
> Muito obrigado!
>
> *Determine o resto da divisão do polinômio x^30 - x^28 + 7x^12 por x^2 +
> x + 1?*
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_2794148347715460488_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Resto da divisão de um polinômio

[Professor Vanderlei Nemitz]

Oi!

Existe algum fato específico que ajude a determinar o resto da divisão de
um polinômio de grau elevado por outro, ou depende do caso?

Por exemplo, como encontrar o seguinte resto, sem excessivos cálculos?
Muito obrigado!

*Determine o resto da divisão do polinômio x^30 - x^28 + 7x^12 por x^2 +
x + 1?*


Livre
de vírus. www.avast.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Resto da Divisão por 6

[Pedro José]

Boa tarde!

8^1 = 2 mod6
8^2 = 4 mod6
8^3 = 2 mod6

Então 8^k=2 mod6 se k ímpar e 8^k=4 mod6 se k par.
Portanto 8^k + 8^(k+1) = 0 mod6. Então só sobra 8^15, como 15 é impar ==>
resto = 2.

Saudações,
PJMS

Em 19 de setembro de 2016 11:05, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em 7 de julho de 2016 11:59, Marcos Xavier 
> escreveu:
> > Prezados amigos,
> >
> > como resolver o seguinte problema:
> >
> > Qual o resto obtido ao dividirmos 8^1 + 8^2 + 8^3 + ... + 8^15 por 6?
>
> É óbvio que podemos substituir o 8 por 2 (já que 8-6=2).
>
> E é mais óbvio ainda que esse carinha é par. Vamos então nos preocupar
> em calcular o resto de 2+2^2+...+2^15 módulo 3.
>
> Usando PG, esta soma é igual a 2^16-2=4^8-2; como 4^8 deixa resto 1,
> 4^8-2 deixa resto 2.
>
> Assim, este número deixa resto 2 módulo 3 e resto 0 módulo 2. Logo,
> deixará resto 2 módulo 6.
>
> >
> > Grato pela ajuda.
> >
> > Marcos Xavier
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Resto da Divisão por 6

[Anderson Torres]

Em 7 de julho de 2016 11:59, Marcos Xavier  escreveu:
> Prezados amigos,
>
> como resolver o seguinte problema:
>
> Qual o resto obtido ao dividirmos 8^1 + 8^2 + 8^3 + ... + 8^15 por 6?

É óbvio que podemos substituir o 8 por 2 (já que 8-6=2).

E é mais óbvio ainda que esse carinha é par. Vamos então nos preocupar
em calcular o resto de 2+2^2+...+2^15 módulo 3.

Usando PG, esta soma é igual a 2^16-2=4^8-2; como 4^8 deixa resto 1,
4^8-2 deixa resto 2.

Assim, este número deixa resto 2 módulo 3 e resto 0 módulo 2. Logo,
deixará resto 2 módulo 6.

>
> Grato pela ajuda.
>
> Marcos Xavier
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Resto da Divisão por 6

[Carlos Gomes]

Olá Marcos...vamos lá...(Vou usar "=" para representar congruente. Como
8=2(mod6) podemos tocar os "8" por 2. Além disso perceba que 2^n=2(mod6) se
n é ímpar e 2^n=4(mod6) se n é par. com (n>0). Assim,

8^1=2(mod6)
8^2=2^2=4(mod6)
8^3=2^3=2(mod6)
.
.
.
8^15=2^15=2(mod6)

adicionando membro a membro, segue que

 8^1 + 8^2 + 8^3 + ... + 8^15=2+4+2+...+2=8x2+7x4=44=2(mod6)

portanto o resto da divisão do número  8^1 + 8^2 + 8^3 + ... + 8^15 por 6 é
igual a 2.

Cgomes.

Em 7 de julho de 2016 11:59, Marcos Xavier  escreveu:

> Prezados amigos,
>
> como resolver o seguinte problema:
>
> Qual o resto obtido ao dividirmos 8^1 + 8^2 + 8^3 + ... + 8^15 por 6?
>
> Grato pela ajuda.
>
> Marcos Xavier
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Resto da Divisão por 6

[Marcos Xavier]

Prezados amigos,

como resolver o seguinte problema:

Qual o resto obtido ao dividirmos 8^1 + 8^2 + 8^3 + ... + 8^15 por 6?

Grato pela ajuda.

Marcos Xavier
  
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] resto da divisão de um produto por 6

[Ralph Teixeira]

Oi Vitório.

Bom, eu acho que é mais fácil (e sistemático) por congruência modular (não
gosto de ficar decorando regras de divisibilidade e restos para cada número
que aparecer)...

...mas, é claro, minha opinião vale porque eu me acostumei com congruência
modular. :)

Abraço,
 Ralph

2010/11/8 Prof. Vitório Gauss 

>
>
> Qual o resto da divisão do produto (2 344)^8 * (1375)^9 por 6.
> Não é mais fácil fazer por congruência modular que dizer:
>  o resto da divisão de um número por 6 é o mesmo que *o resto da divisão
> da soma dos algarismos das
> unidades do número dado com o quádruplo da soma dos algarismos restantes.*
> (2 344)^8 * (1375)^9
> 4 + 4 . (2 + 3 + 4) 5 + 4 (1 + 3 + 7)
> 40 49
> 408 . 499 6 24 . 24 . 24 . 24 6
> 48 . 19 6 16 . 16 . 16 . 16 6 Basta dividir cada termo por 6 e colocar o
> resto.
> 216 6 4 . 4 . 4 . 4 6
> 256 6
> = 4
>
> ???
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=

[obm-l] Re: [obm-l] Resto da divisão

[Benedito]

A maior potência de três que divide  1000! é 498.
Portanto, na divisão de  1000!  por  3^300  o resto é zero.
Benedito
  - Original Message - 
  From: Angelo Schranko 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, October 11, 2007 10:13 AM
  Subject: Re: [obm-l] Resto da divisão


  1000! = 1000.999...3.2.1

  Neste produto há 333 (*) fatores múltiplos de 3, portanto o resto da divisão 
é zero.

  * Resolvendo a seguinte PA:

  999 = 3 + (n-1)3 => n = 333

  [ ]´s
  Angelo


  Júnior <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Considerando divisão de números inteiros, qual seria o resto da divisão de 
1000! por 3 ^ 300 ?



  /  \ /| |'-. .\__/ || |   |  _ /  `._ \|_|_.-' | /  \__.`=._) (_   
Júnior |/ ._/  |"""""""""|  |'.  `\ | | Desenvolvedor de Softwares 
;"""/ / | | Seja Livre - Use Linux ) /_/|  |.---.| E-mail:[EMAIL 
PROTECTED] '  `-`  ' "   " Msn:[EMAIL PROTECTED] sua conta no Yahoo! Mail, 
o único sem limite de espaço para armazenamento! 


  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento! 

Re: [obm-l] Resto da divisão

[Angelo Schranko]

1000! = 1000.999...3.2.1
   
  Neste produto há 333 (*) fatores múltiplos de 3, portanto o resto da divisão 
é zero.
   
  * Resolvendo a seguinte PA:
   
  999 = 3 + (n-1)3 => n = 333
   
  [ ]´s
  Angelo
  

Júnior <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
  Considerando divisão de números inteiros, qual seria o resto da divisão de 
1000! por 3 ^ 300 ?



  /  \ /| |'-.
 .\__/ || |   |
  _ /  `._ \|_|_.-'
 | /  \__.`=._) (_   Júnior
 |/ ._/  |"| 
 |'.  `\ | | Desenvolvedor de Softwares
 ;"""/ / | | Seja Livre - Use Linux
 ) /_/|  |.---.| E-mail:[EMAIL PROTECTED]
 '  `-`  ' "   " Msn:[EMAIL PROTECTED]
  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
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armazenamento! 

[obm-l] Resto da divisão

[Júnior]

Considerando divisão de números inteiros, qual seria o resto da divisão de 
1000! por 3 ^ 300 ?



  /  \ /| |'-.
 .\__/ || |   |
  _ /  `._ \|_|_.-'
 | /  \__.`=._) (_   Júnior
 |/ ._/  |"| 
 |'.  `\ | | Desenvolvedor de Softwares
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 '  `-`  ' "   " Msn:[EMAIL PROTECTED]

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