Re:[obm-l] Sequencia densa em f(I)
Obrigada, Artur e Claudio, pela ajuda. Eh incrivel que o Claudio nao tenha sido aceito no mestrado. Eu tambem acho matematica fascinante, mas estuda-la nao eh um passatempo tao barato assim, nao. Bons livros de matematica custam quase sempre mais de R$100,00! Ana --- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Um esclarecimento: apesar de eu ter participado das discussões sobre esse problema e ser, de fato, um participante ativo dessa lista, não sou profundo conhecedor de coisa alguma. De matemática, então, não sou nem um conhecedor raso. Pra você ter uma idéia, não consegui nem ser aceito no mestrado do IME-USP. Mas admito que matemática é um passatempo fascinante (se você achou essa opinião esdrúxula é porque está na lista de discussão errada) e dos mais baratos, diga-se de passagem. E pra não perder a viagem, aqui vai: Um dos pontos de partida pra se provar que sen(n) é densa em [-1,1] é provar que a sequência frac(n*a) = n*a - piso(n*a) com a irracional é densa em [0,1]. Mais ainda: também é verdade que esta sequência é, uniformememnte distribuída em [0,1], ou seja: se 0 = r = s 1, N é inteiro positivo e A(N,r,s) = número de índices n para os quais 1 = n = N e r = frac(n*a) s, então lim(N - infinito) A(N,r,s)/N = s - r. Pergunta: Existe alguma demonstração elementar disso? []s, Claudio. __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Address AutoComplete - You start. We finish. http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Sequencia densa em f(I)
Mais ainda: também é verdade que esta sequência é, uniformememnte distribuída em [0,1], ou seja: se 0 = r = s 1, N é inteiro positivo e A(N,r,s) = número de índices n para os quais 1 = n = N e r = frac(n*a) s, então lim(N - infinito) A(N,r,s)/N = s - r. Pergunta: Existe alguma demonstração elementar disso? Eu uma vez vi uma demonstracao disto baseada em Analise Complexa. Para mim, nao foi elementar. Alias eu nao entendi na integra, faltava conhecimento. Artur Claudio. __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Address AutoComplete - You start. We finish. http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia densa em f(I)
claudio.buffara wrote: Um esclarecimento: apesar de eu ter participado das discussões sobre esse problema e ser, de fato, um participante ativo dessa lista, não sou profundo conhecedor de coisa alguma. De matemática, então, não sou nem um conhecedor raso. Pra você ter uma idéia, não consegui nem ser aceito no mestrado do IME-USP. Mas admito que matemática é um passatempo fascinante (se você achou essa opinião esdrúxula é porque está na lista de discussão errada) e dos mais baratos, diga-se de passagem. Quem mandou não querer entrar no mestrado em computação?! hehehe... você não vai voltar a assistir matérias como ouvinte? Acho que no semestre que vem vai ter umas matérias interessantes, se você tiver interessado. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Sequencia densa em f(I)
Oi pessoal, Ha algum tempo circulou na lista uma mensagem em que se pedia para provar que a sequencia sen(n) era densa em [-1, 1]. Alguem comentou (acho que foi o Claudio ou algum destes outros profundos conhecedores de Mat) que isto eh um caso particular de um teorema geral que diz que, se f for continua e periodica em R e seu periodo fundamental p for irracional, entao a sequencia f(n) eh densa em f(I), sendo I = [0,p] (o que eh o mesmo que dizer que f eh densa em f(R)). Eu ainda nao consegui provar isto, gostaria de alguma ajuda. Obrigada. Ana __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail - You care about security. So do we. http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia densa em f(I)
Eu nao sou o Claudio e muito menos profundo conhecedor de MatMas acho
que eu fiz algum comentario deste tipo em alguma mensagem antiga.
Uma possivel prova eh a seguinte. Para esta prova, precisamos saber que, se
p0 eh irracional, entao o conjunto A = {m*p + n | m eh inteiro, n eh
inteiro positivo}, eh denso em [0, oo). Isto foi discutido aqui na lista hah
pouco mais de de um ano atras, sob o titulo de conjunto denso em R, se nao
me engano. Foram discutidas provas baseadas no principio da casa dos pombos
e em fracoes continuas.
Para organizar as ideias, vamos antes demonstrar o seguinte lema:
Se p0 for irracional e A tiver a definicao dada anteriormente, entao, para
todo x pertencente a I, existe em A uma sequencia {x_i} = {m_i*p + n_i}, com
m_i e n_i0 inteiros, que converge para x e eh tal que a sequencia {n_i} eh
monotonicamente crescente.
Demonstracao: Todo x de I eh ponto de acumulacao de I. Como A eh denso em R,
temos que todo x de I eh ponto de acumulacao de A. Logo, existe em A uma
sequencia {x_i} que converge para x e tem seus termos distintos dois a dois.
Afirmamos que {n_i} contem uma infinidade de termos distintos. De fato, se
{n_i} contivesse um numero finito de termos distintos, entao para algum
inteiro positivo n a igualdade n_i = n teria necessariamente que vigorar
para uma infinidade de indices i. Escolhendo convenientemente tais indices,
obteriamos uma subseq. de {x_i} da forma {x_i_j} = {m_i_j*p + n}. Como os
termos desta subseq. sao distintos 2 a 2, temos que os m_i_j tem tambem que
ser distintos 2 a 2. Para todos indices distintos j e k, teriamos entao que
|x_i_j - x_i_k| = |m_i_j - m_i_k|*p = p0, pois p0 e |m_i_j - m_i_k| =1,
visto que m_i_j e m_i_k sao inteiros positivos distintos. Disto concluimos
que {x_i_j} nao eh uma seq. de Cauchy e que, desta forma, nao eh
convergente. Mas isto contraria o fato de que (x_i_j}, por ser subseq. de
{x_i}, que converge para x, tem tambem que convergir para x.
Como existem entao uma infinidade de inteiros positivos distintos n_i,
podemos escolher convenientemente os idices i, em ordem crescente, de modo a
obter uma subseq. {x_i_j) de {x_i} tal que {n_i_j} seja monotonicamente
crescente. Como esta subseq eh uma seq. de A que converge para x, o lema
fica demonstrado.
Se y pertence a f(I), entao y = f(x) para algum x de I. Segundo o lema que
demonstramos, existe em A uma seq. {x_i} = {m_i*p + n_i} com {n_i}
monotonicamente crescente. A continuidade de f implica que f(x_i) - f(x) =
y. Para cada i, f(x_i) = f(m_i*p + n_i) = f(n_i), em virtude de p ser
periodo de f. Como {n_i} eh uma seq. crescente de inteiros postivos,
segue-se que f(n_i) eh uma subseq. de f(n) que converge para y. E como isto
vale para todo y de f(I), concluimos que f(n) eh densa em f(I). E f(I) =
f(R), conforme vc disse.
Interessante observar que a hipotese de que p seja irracional eh de fato
essencial. Se p for racional, o conjunto A nao tem que ser denso em R e os
argumentos apresentados nao mais valem. A seq. {sen(pi*n), cujo periodo
fundamental eh 2, nao eh densa em [-1, 1].
Artur
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Re:[obm-l] Sequencia densa em f(I)
Um esclarecimento: apesar de eu ter participado das discussões sobre esse problema e ser, de fato, um participante ativo dessa lista, não sou profundo conhecedor de coisa alguma. De matemática, então, não sou nem um conhecedorraso. Pra você ter uma idéia, não consegui nem ser aceito no mestrado do IME-USP. Mas admito que matemática é um passatempo fascinante (se você achou essa opinião esdrúxula é porque está na lista de discussão errada) e dos mais baratos, diga-se de passagem. E pra não perder a viagem, aqui vai: Um dospontos de partida pra se provar que sen(n) édensa em [-1,1] é provar quea sequênciafrac(n*a) = n*a - piso(n*a) coma irracional é densa em [0,1]. Mais ainda: também é verdade que esta sequência é, uniformememnte distribuída em [0,1], ou seja: se 0 = r = s 1, N é inteiro positivo e A(N,r,s) = número deíndices n para os quais 1 = n = N e r = frac(n*a) s, então lim(N - infinito) A(N,r,s)/N = s - r. Pergunta: Existe alguma demonstração elementar disso? []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Mon, 25 Oct 2004 06:13:00 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] Sequencia densa em f(I) Oi pessoal, Ha algum tempo circulou na lista uma mensagem em que se pedia para provar que a sequencia sen(n) era densa em [-1, 1]. Alguem comentou (acho que foi o Claudio ou algum destes outros profundos conhecedores de Mat) que isto eh um caso particular de um teorema geral que diz que, se f for continua e periodica em R e seu periodo fundamental p for irracional, entao a sequencia f(n) eh densa em f(I), sendo I = [0,p] (o que eh o mesmo que dizer que f eh densa em f(R)). Eu ainda nao consegui provar isto, gostaria de alguma ajuda. Obrigada. Ana __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail - You care about security. So do we. http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
