Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
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Sat, 19 Jun 2004 13:18:12 -0300
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Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
Oi Claudio. Eu creio que naum, porque o T. de Bolzano Weierstrass naum se aplica a espacos metricos gerais, ainda que completos. Com uma metrica d generica, sequencias limitadas podem nao conter sequencias convergentes. Se vc tomar, por exemplo, R com a metrica discreta - d(x,y) = 1 se x<>y e d(x,x)=0, entao toda sequencia eh limitada mas {1,2...n.} nao contem nenhuma sequencia convergente. E R continua sendo completo, as seq. de Cauchy sao as que se tornam constantes a partir de algum indice k.
*** Entendido. Acho que essa metrica discreta soh serve pra criar contra-exemplos!
Em um espaco metrico completo, o conjunto dos pontos de aderencia de uma seq. limitada eh fechado, logo completo, e limitado. Mas isto naum garante compacticidade, o T. de Heine Borel nao tem que vigorar.
*** A minha cabeca ainda eh de analise, onde um conjunto eh compacto <==> eh limitado e fechado. Eu sempre esqueco que a definicao geral eh aquela das coberturas abertas que tem uma subcobertura finita. Obrigado pela lembranca.
[]s,
Claudio.
A condicao, entretanto, eh sem duvida valida em espacos metricos compactos, que sao completos e totalmente limitados. Lembro que um espaco metrico X eh totalmente limitado se, para todo eps>0, X for coberto por uma colecao finita de bolas abertas de raio eps. AbracosArturOi, Artur:Mas o resultado eh valido em qualquer espaco metrico completo, certo?[]s,Claudio.OPEN Internet@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
Oi Claudio. Eu creio que naum, porque o T. de
Bolzano Weierstrass naum se aplica a espacos metricos gerais, ainda que
completos. Com uma metrica d generica, sequencias limitadas podem nao conter
sequencias convergentes. Se vc tomar, por exemplo, R com a metrica
discreta - d(x,y) = 1 se x<>y e d(x,x)=0, entao toda sequencia eh
limitada mas {1,2...n.} nao contem nenhuma sequencia convergente. E R
continua sendo completo, as seq. de Cauchy sao as que se tornam constantes a
partir de algum indice k. Em um espaco metrico completo,
o conjunto dos pontos de aderencia de uma seq. limitada eh fechado, logo
completo, e limitado. Mas isto naum garante compacticidade, o T. de
Heine Borel nao tem que vigorar. A condicao, entretanto, eh sem
duvida valida em espacos metricos compactos, que sao completos e totalmente
limitados. Lembro que um espaco metrico X eh totalmente limitado se, para
todo eps>0, X for coberto por uma colecao finita de bolas abertas de
raio eps. AbracosArturOi, Artur:Mas o resultado eh valido em
qualquer espaco metrico completo,
certo?[]s,Claudio.
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Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
Oi, Artur:
Mas o resultado eh valido em qualquer espaco metrico completo, certo?
[]s,
Claudio.
on 18.06.04 11:17, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Vou admitir que se trate de uma sequencia em R^n ou nos complexos. Em
> espacos metricos gerais, a afirmacao naum eh verdadeira.
>
> Seja {x_n} uma sequencia limitada en um espaco Euclidiano e seja A o
> conjunto de seus pontos de aderencia. Como {x_n} eh limitada, o T. de
> Bolzano-Wierstrass garante que {x_n} contem uma subsequencia convergente.
> Logo, A naum eh vazio.
> Se x naum pertence a A, entao nenhuma subsequencia de {x_n} converge para x.
> Logo, x possui uma vizinhanca V que contem termos de {x_n} para um numero
> apenas finito de indices n. Como V eh uma vizinhanca de todos os seus
> elementos, esta mesma condicao satisfeita por x eh iguamente satisfeita por
> todo y de V. Logo, nenhum y de V e limite de alguma subsequencia de {x_n},
> do que deduzimos que V estah contida no complementar de A. Todo elemento do
> complementar de A eh, portanto, ponto interior dele, o que mostra que o
> complementar eh aberto e que A eh fechado (esta conclusao vale em qualquer
> espaco metrico - a sua prova naum usa a metrica Euclidiana).
> Os pontos de aderencia de {x_n} estao no fecho do conjunto {x_n}. Como a
> sequencia eh limitada, o conjunto {x_n} e seu fecho tambem o sao (o
> diamentro do fecho de um conjunto eh igual ao diametro do conjunto). Logo, A
> eh limitado eh, como eh fechado, o T. de Heine Borel garante que seja
> compacto.
>
> Artur
>
>
>
> Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência
> limitada é um conjunto compacto não vazio?
>
> [ ]s
>
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Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
Title: Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
A demonstracao do Artur me fez rever a minha demonstracao e, como era de se esperar, achei um erro no 2o. paragrafo: um conjunto limitado soh com pontos isolados nao eh necessariamente finito e nem compacto.
Contra-exemplo: {1/n | n eh inteiro positivo}. Este conjunto estah contido no intervalo [0,1] e {1/n} inter (1/n - 1/(2n^2),1/n + 1/(2n^2)) = {1/n}.
Alem disso, 0 eh um ponto de acumulacao que nao pertence ao conjunto.
Mas, por sorte, o paragrafo era desnecessario pois, para provar que X eh fechado, bastava garantir que X contenha todos os pontos de acumulacao e isso foi feito no 3o. paragrafo.
[]s,
Claudio.
on 15.06.04 14:37, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja (x_n) a tal sequencia.
Como (x_n) eh limitada, o teorema de Bolzano-Weirstrass garante que ela tem alguma subsequencia convergente. Logo, o conjunto X dos valores de aderencia de (x_n) eh nao vazio.
Alem disso, X certamente eh limitado.
Se todos os pontos de X forem isolados, entao, como X eh limitado, X serah finito e, portanto, compacto.
Assim, seja a um ponto de acumulacao de X.
Cada conjunto aberto contendo a vai conter tambem um elemento de X distinto de a (de fato, uma infinidade de tais elementos).
Este elemento de X serah o limite de alguma subsequencia de (x_n).
Logo, cada conjunto aberto contendo a vai conter tambem termos da sequencia (x_n) com indices arbitrariamente grandes.
Isso significa que a serah o limite de alguma subsequencia de (x_n).
Em outras palavras, a pertence a X, o que implica que X eh fechado.
Como X eh limitado, concluimos que X eh compacto.
[]s,
Claudio.
on 15.06.04 12:04, Wellington at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência limitada é um conjunto compacto não vazio?
[ ]¹s
Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
Vou admitir que se trate de uma sequencia em R^n ou nos complexos. Em
espacos metricos gerais, a afirmacao naum eh verdadeira.
Seja {x_n} uma sequencia limitada en um espaco Euclidiano e seja A o
conjunto de seus pontos de aderencia. Como {x_n} eh limitada, o T. de
Bolzano-Wierstrass garante que {x_n} contem uma subsequencia convergente.
Logo, A naum eh vazio.
Se x naum pertence a A, entao nenhuma subsequencia de {x_n} converge para x.
Logo, x possui uma vizinhanca V que contem termos de {x_n} para um numero
apenas finito de indices n. Como V eh uma vizinhanca de todos os seus
elementos, esta mesma condicao satisfeita por x eh iguamente satisfeita por
todo y de V. Logo, nenhum y de V e limite de alguma subsequencia de {x_n},
do que deduzimos que V estah contida no complementar de A. Todo elemento do
complementar de A eh, portanto, ponto interior dele, o que mostra que o
complementar eh aberto e que A eh fechado (esta conclusao vale em qualquer
espaco metrico - a sua prova naum usa a metrica Euclidiana).
Os pontos de aderencia de {x_n} estao no fecho do conjunto {x_n}. Como a
sequencia eh limitada, o conjunto {x_n} e seu fecho tambem o sao (o
diamentro do fecho de um conjunto eh igual ao diametro do conjunto). Logo, A
eh limitado eh, como eh fechado, o T. de Heine Borel garante que seja
compacto.
Artur
Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência
limitada é um conjunto compacto não vazio?
[ ]s
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@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
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Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
Title: Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos Seja (x_n) a tal sequencia. Como (x_n) eh limitada, o teorema de Bolzano-Weirstrass garante que ela tem alguma subsequencia convergente. Logo, o conjunto X dos valores de aderencia de (x_n) eh nao vazio. Alem disso, X certamente eh limitado. Se todos os pontos de X forem isolados, entao, como X eh limitado, X serah finito e, portanto, compacto. Assim, seja a um ponto de acumulacao de X. Cada conjunto aberto contendo a vai conter tambem um elemento de X distinto de a (de fato, uma infinidade de tais elementos). Este elemento de X serah o limite de alguma subsequencia de (x_n). Logo, cada conjunto aberto contendo a vai conter tambem termos da sequencia (x_n) com indices arbitrariamente grandes. Isso significa que a serah o limite de alguma subsequencia de (x_n). Em outras palavras, a pertence a X, o que implica que X eh fechado. Como X eh limitado, concluimos que X eh compacto. []s, Claudio. on 15.06.04 12:04, Wellington at [EMAIL PROTECTED] wrote: Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência limitada é um conjunto compacto não vazio? [ ]¹s
[obm-l] Topologia - Conj Compactos
Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência limitada é um conjunto compacto não vazio? [ ]’s --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.693 / Virus Database: 454 - Release Date: 5/31/2004
