Re: [obm-l] Treinamento IMPA
2) T = capacidade do tonel; b = capacidade do balde: Em t = n, o tonel terá T(n) litros de vinho e T - T(n) litros de água. Supondo água e vinho totalmente misturados, em t = n+1, ao se retirar 2*b litros da mistura do tonel, estes 2*b litros terão a seguinte composição: 2*b*T(n)/T litros de vinho 2*b*(T - T(n))/T litros de água Assim, T(n+1) = T(n) - 2*b*T(n)/T = T(n)*(1 - 2*b/T) Naturalmente, T(0) = T, o que implica que: T(n) = T * (1 - 2*b/T)^n Logo: Quantidade de vinho no tonel após 6 dias = T * (1 - 2*b/T)^6 = 0,5*T ==> ==> 1 - 2*b/T = 0,5^(1/6) ==> 2*b/T = 1 - 0,5^(1/6) ==> T = 2*b / [ 1 - 0,5^(1/6) ] Partindo de um tonel cheio de água, por simetria teremos também, após 6 dias, metade água e metade vinho. Pergunta: a solução acima supõe que primeiro são retirados dois baldes de mistura do tonel e, em seguida, são colocados dois baldes de água. Se, em cada dia, antes de se retirar o segundo balde de mistura, fosse adicionado um balde de água ao tonel, a resposta seria a mesma? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, January 28, 2003 6:05 PM Subject: [obm-l] Treinamento IMPA Olá camaradas da lista, A primeira dúvida apareceu durante o treinamento de professores que o IMPA está dando pela internet e a segunda vem do livro "Teorema do Papagaio". 1-) Qual a distancia que pode ir para esquerda do eixo y o gráfico y=2 elevado a x, se traçado com uma lapiseira de 0,02mm, sem que encoste no eixo x ? DÚVIDA : O resultado depende da escala adotada para traçar o gráfico ? 2-) Um tonel está cheio de vinho puro. Cada dia são tirados dele dois baldes, substituídos por dois baldes de água. Ao cabo de seis dias há metade de vinho e metade de água. Qual a capacidade do tonel ? P.S. : Partindo de um tonel cheio de água e acrescendo vinho, a resposta seria a mesma ? Agradeço antecipadamente cada ajuda que receberei, Raul
Re: [obm-l] Treinamento IMPA
1) Supondo que os eixos x e y estejam na mesma escala (de 1 mm / unidade) e que a lapiseira trace uma faixa de 0,02 mm de largura em torno do gráfico da função (isto é 0,01 mm para cima e 0,01 mm para baixo, de modo que a equação das bordas superior e inferior da faixa sejam, respectivamente, y = 2^x + 0,01 e y = 2^x - 0.01) acho que o problema aqui é achar o menor valor de x tal que a distância vertical do ponto (x,2^x) ao eixo x é >= 0,01 ==> 2^x >= 0,01 ==> x = Ln(0,01)/Ln(2) milímetros. Se a escala dos dois eixos for diferente (por exemplo, x = a mm / unidade e y = b mm / unidade), fazendo a distância vertical de (x,2^x) até o eixo igual a 0,01 mm = 0,01/b unidades, obteremos que 2^x = 0,01/b. Neste caso, x = Ln(0,01/b)/Ln(2) unidades ==> a resposta depende da escala do eixo dos y. Se quisermos saber a distância em milímetros da abscissa deste ponto até a origem, teremos: x = a * Ln(0,01/b)/Ln(2) milímetros. A suposição acima foi de que as bordas da faixa produzida pela lapiseira ficam a 0,01 mm VERTICALMENTE acima e abaixo de cada ponto no gráfico. Talvez uma suposição mais razoável seja a de que as bordas fiquem 0,01 mm distantes de cada ponto, NA DIREÇÃO DA RETA NORMAL AO GRÁFICO NAQUELE PONTO. Nesse caso, como a normal nunca é vertical ou horizontal, teremos que o valor da abscissa mínima ependerá das escalas nos dois eixos. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, January 28, 2003 6:05 PM Subject: [obm-l] Treinamento IMPA Olá camaradas da lista, A primeira dúvida apareceu durante o treinamento de professores que o IMPA está dando pela internet e a segunda vem do livro "Teorema do Papagaio". 1-) Qual a distancia que pode ir para esquerda do eixo y o gráfico y=2 elevado a x, se traçado com uma lapiseira de 0,02mm, sem que encoste no eixo x ? DÚVIDA : O resultado depende da escala adotada para traçar o gráfico ? 2-) Um tonel está cheio de vinho puro. Cada dia são tirados dele dois baldes, substituídos por dois baldes de água. Ao cabo de seis dias há metade de vinho e metade de água. Qual a capacidade do tonel ? P.S. : Partindo de um tonel cheio de água e acrescendo vinho, a resposta seria a mesma ? Agradeço antecipadamente cada ajuda que receberei, Raul
Re: [obm-l] Treinamento IMPA
seja 1/p a fraçao da capacidade do tonel representada por dois baldes. apos cada dia, a quantidade de vinho existente eh 1- (1/p) da quantidade do dia anterior. Apos 6 dias havera no tonel (1- 1/p)^6 da quantidade inicial. (1- 1/p)^6 = 0,5 1- 1/p = raiz sexta de 0,5 1/p = 1 - raiz sexta de 0,5 A capacidade do tonel eh 2p baldes. Em Tue, 28 Jan 2003 15:05:55 EST, [EMAIL PROTECTED] disse: >Olá camaradas da lista, >A primeira dúvida apareceu durante o treinamento de professores que o > IMPA está dando pela internet e a segunda vem do livro "Teorema do Papagaio". > 1-) Qual a distancia que pode ir para esquerda do eixo y o gráfico y=2 > elevado a x, se traçado com uma lapiseira de 0,02mm, sem que encoste no eixo > x ? DÚVIDA : O resultado depende da escala adotada para traçar o gráfico ? > 2-) Um tonel está cheio de vinho puro. Cada dia são tirados dele dois baldes, > substituídos por dois baldes de água. Ao cabo de seis dias há metade de vinho > e metade de água. Qual a capacidade do tonel ? > P.S. : Partindo de um tonel cheio de água e acrescendo vinho, a resposta > seria a mesma ? >Agradeço antecipadamente cada ajuda que receberei, >Raul = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Treinamento IMPA
Olá camaradas da lista, A primeira dúvida apareceu durante o treinamento de professores que o IMPA está dando pela internet e a segunda vem do livro "Teorema do Papagaio". 1-) Qual a distancia que pode ir para esquerda do eixo y o gráfico y=2 elevado a x, se traçado com uma lapiseira de 0,02mm, sem que encoste no eixo x ? DÚVIDA : O resultado depende da escala adotada para traçar o gráfico ? 2-) Um tonel está cheio de vinho puro. Cada dia são tirados dele dois baldes, substituídos por dois baldes de água. Ao cabo de seis dias há metade de vinho e metade de água. Qual a capacidade do tonel ? P.S. : Partindo de um tonel cheio de água e acrescendo vinho, a resposta seria a mesma ? Agradeço antecipadamente cada ajuda que receberei, Raul
