Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares
muito boa solução!!!
grato éder.Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
on 13.01.05 18:33, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
2) Seja V um K-espaço vetorial qualquer e B = {v _ j} uma base de V (i em um conjunto de índices J qualquer). Para cada j em J, defina um funcional linear f_j em V* t.q. f_ j(v_i) = delta_ij (i.e., 1 se i = j e 0 se i<>0). Prove que {f_ j}, j em J é uma base de V* se, e só se, J é finito. (Obs.: A volta tem qq livro de alg. linear.) grato desde já, éder. IDA (por contrapositiva):Suponha que J eh infinito.Seja F: V -> K um funcional linear tal que: F(v) = 1 para cada vetor v da base B (*)Suponhamos que existam: um subconjunto finito I de J (digamos, com n elementos - s.p.d.g. podemos supor que I = {1,2,...,n});e uma-nupla (a_1, a_2, ..., a_n) de elementos de K,tais que: F = SOMA(1<=i<=n) a_i*f_i (**).Seja r um elemento de J - I.Por (*), temos que F(v_r) = 1.Entretanto, para cada i em I, f_i(v_r) = 0, de modo q!
ue, por
(**), F(v_r) = 0.Essa contradicao mostra que nenhuma combinacao linear finita dos f_j eh igual a F.Em outras palavras, {f_j | j pertence a J} nao eh uma base de V*.[]s,Claudio.__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares
Title: Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares
on 13.01.05 18:33, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
2) Seja V um K-espaço vetorial qualquer e B = {v _ j} uma base de V (i em um conjunto de índices J qualquer). Para cada j em J, defina um funcional linear f_j em V* t.q. f_ j(v_i) = delta_ij (i.e., 1 se i = j e 0 se i<>0). Prove que {f_ j}, j em J é uma base de V* se, e só se, J é finito. (Obs.: A volta tem qq livro de alg. linear.)
grato desde já, éder.
IDA (por contrapositiva):
Suponha que J eh infinito.
Seja F: V -> K um funcional linear tal que:
F(v) = 1 para cada vetor v da base B (*)
Suponhamos que existam:
um subconjunto finito I de J (digamos, com n elementos - s.p.d.g. podemos supor que I = {1,2,...,n});
e
uma-nupla (a_1, a_2, ..., a_n) de elementos de K,
tais que:
F = SOMA(1<=i<=n) a_i*f_i (**).
Seja r um elemento de J - I.
Por (*), temos que F(v_r) = 1.
Entretanto, para cada i em I, f_i(v_r) = 0, de modo que, por (**), F(v_r) = 0.
Essa contradicao mostra que nenhuma combinacao linear finita dos f_j eh igual a F.
Em outras palavras, {f_j | j pertence a J} nao eh uma base de V*.
[]s,
Claudio.
Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares
Title: Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares on 13.01.05 18:33, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote: gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo: 1) Considere o funcioanl linear f: M_n(K) --> K definido por f(A) = tr A (i.e., f(A) = traço de A), p/ todo A em M_n(K). a) Mostre que matrizes semelhantes em M_n(K) têm o mesmo traço. (Obs.: Esse naum estah muito longe de eu consegui resolve-lo.) *** Isso eh consequencia do fato de termos tr(AB) = tr(BA) para quaisquer A e B em M_n(K), de modo que: B = PAP^(-1) ==> tr(B) = tr(PAP^(-1)) = tr(P^(-1)PA) = tr(IA) = tr(A). b) Seja g:M_n(K) --> K um funcional linear t.q. g(AB) = g(BA), p/ todo A, B em M_n(K). Mostre que existe b em K t.q. g(A) = b tr A, p/ todo A em M_n(K). *** Ponhamos g(M) = SOMA(1<=i, j<=n) c_ij*m_ij. Seja B a matriz cujo unico elemento nao nulo eh b_rs = 1. Entao: AB = matriz cuja unica coluna nao nula eh a s-esima = (a_1r,a_2r,...,a_nr)^t. e BA = matriz cuja unica linha nao nula eh a r-esima = (a_s1,a_s2,...,a_sn) g(AB) = g(BA) ==> c_1r*a_1r + c_2r*a_2r + ... + c_nr*a_nr = c_s1*a_s1 + c_s2*a_s2 + ... + c_sn*a_sn. A fim de determinar os valores dos c_ij, precisamos escolher matrizes A apropriadas: Inicialmente, escolhemos matrizes A com um unico elemento nao nulo a_uv. Fazendo variar u, v, r e s, deduzimos que c_ij = 0 se i <> j. Em seguida, tomamos A = I ==> c_rr = c_ss, quaisquer que sejam r e s ==> c_11 = c_22 = ... = c_nn = b = constante de K Logo, g(M) = b*(m_11 + ... + m_nn) = b*tr(M). []s, Claudio.
RE: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares
Essas demonstracoes tem no livro do Lang.
De uma olhada nesse link:
http://mathworld.wolfram.com/MatrixTrace.html
Leandro
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf
Of Lista OBM
Sent: Thursday, January 13, 2005
12:33 PM
To: Lista OBM
Subject: [obm-l] algebra linear -
funcionais lineares
gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo:
1) Considere o funcioanl linear f: M_n(K) --> K definido por f(A) =
tr A (i.e., f(A) = traço de A), p/ todo A em M_n(K).
a) Mostre que matrizes semelhantes em M_n(K) têm o mesmo traço.
(Obs.: Esse naum estah muito longe de eu consegui resolve-lo.)
b) Seja g:M_n(K) --> K um funcional linear t.q. g(AB) = g(BA), p/
todo A, B em M_n(K). Mostre que existe b em K t.q. g(A) = b tr A, p/ todo
a em M_n(K).
2) Seja V um K-espaço vetorial qualquer e B = {v _ j} uma base de
V (i em um conjunto de índices J qualquer). Para cada j em J, defina
um funcional linear f_j em V* t.q. f_ j(v_i) = delta_ij (i.e., 1 se i = j e 0
se i<>0). Prove que {f_ j}, j em J é uma base de V* se, e só se, J é
finito. (Obs.: A volta tem qq livro de alg. linear.)
garto desde já, éder.
Yahoo!
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[obm-l] algebra linear - funcionais lineares
gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo:
1) Considere o funcioanl linear f: M_n(K) --> K definido por f(A) = tr A (i.e., f(A) = traço de A), p/ todo A em M_n(K).
a) Mostre que matrizes semelhantes em M_n(K) têm o mesmo traço. (Obs.: Esse naum estah muito longe de eu consegui resolve-lo.)
b) Seja g:M_n(K) --> K um funcional linear t.q. g(AB) = g(BA), p/ todo A, B em M_n(K). Mostre que existe b em K t.q. g(A) = b tr A, p/ todo a em M_n(K).
2) Seja V um K-espaço vetorial qualquer e B = {v _ j} uma base de V (i em um conjunto de índices J qualquer). Para cada j em J, defina um funcional linear f_j em V* t.q. f_ j(v_i) = delta_ij (i.e., 1 se i = j e 0 se i<>0). Prove que {f_ j}, j em J é uma base de V* se, e só se, J é finito. (Obs.: A volta tem qq livro de alg. linear.)
garto desde já, éder.
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