Re: [obm-l] arcos de 2pi/3 delimitados por 21 pontos
BEM,JA QUE E ASSIM VOU PARAR DE ENROLAR MOSTRAR A SOLUÇÃO DO ET. Usando o teorema de turan,para o caso de grafos sem triangulos,2n=21,n^2+1=441/4+1=111,25111. Basta agora ver um grafo conveniente dentro deste emaranhado de pontinhos. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] arcos de 2pi/3 delimitados por 21 pontos
Caro Dirichlet: Sem levar em conta que: 1. A suposta solucao nao faz nenhuma mencao a 2pi/3 nem a arcos numa circunferencia; 2. Voce nao disse que teorema de Turan eh esse; 3. Voce nao disse o que deve se entender por um "grafo conveniente nesse emaranhado de pontinhos" - convenhamos, o problema fala de 21 pontos numa circunferencia; cabe observar que a desigualdade"111,25 111" eh falsa. Em suma: voce continua a mandar mensagens cifradas pra lista, as quais sao absolutamente inuteis e um tanto quanto irritantes. Quer fazer algo util e que serah apreciado pelos participantes da lista? Entao forneca o enunciado do teorema de Turan e, de preferencia, a demonstracao respectiva (ou pelo menos diga onde uma pode ser encontrada). E mais: de ao menos uma indicacao de como este teorema (que presumo ser sobre grafos) se aplica ao problema em questao. Um abraco, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Fri, 01 Aug 2003 15:10:42 + Assunto: Re: [obm-l] arcos de 2pi/3 delimitados por 21 pontos BEM,JA QUE E ASSIM VOU PARAR DE ENROLAR MOSTRAR A SOLUÇÃO DO ET. Usando o teorema de turan,para o caso de grafos sem triangulos,2n=21,n^2+1=441/4+1=111,25111. Basta agora ver um grafo conveniente dentro deste emaranhado de pontinhos. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] arcos de 2pi/3 delimitados por 21 pontos
Sao dados 21 pontos numa circunferencia. Mostre que pelo menos 100 arcos determinados por estes pontos medem menos de 2/3*pi. Vamos dividir a circunferencia em 6 arcos iguais, adjacentes e disjuntos 2 a 2, cada um medindo pi/3 (de forma que a uniao dos 6 arcos seja a circunferencia toda). Chamemo-los de C1, C2, C3, C4, C5 e C6. Seja Ni (1 = i = 6) o numero de pontos no arco Ci. Naturalmente, cada Ni = 0 e N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 = 21. - Em seguida, vamos contar o numero de arcos de medida inferior a 2pi/3. Inicialmente, para cada i (1=i=6), cada arco determinado por um par de pontos de Ci mede menos de 2pi/3. Este numero eh C(Ni,2). Alem disso, arcos delimitados por um ponto de Ci e um de C(i+1) (ou C1, se i = 6) tambem medem menos de 2pi/3. O numero de tais arcos eh Ni*N(i+1) Assim, o numero total de arcos medindo menos de 2pi/3 eh: N = C(N1,2) + C(N2,2) + ... + C(N6,2) + N1*N2 + N2*N3 + ... + N5*N6 + N6*N1. - Agora, basta provar que N eh sempre = 100, desde que: N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 = 21 e que Ni = 0 para 1 = i = 6. Como N eh convexa e simetrica em cada uma das 6 variaveis N1, ..., N6, o valor minimo de N irah ocorrer justamente quando os Ni forem tao proximos uns dos outros quanto possivel. No caso, tres dos Ni devem ser iguais a 3 e os outros tres iguais a 4. Assim, N = 3*C(3,2) + 3*C(4,2) + 2*(3*3) + 2*(3*4) + 2*(4*4) = 101 100. Qualquer outra distribuicao dos Ni que nao seja uma prmutacao de (3,3,3,4,4,4) irah produzir um valor maior para N. Por exemplo: (2,3,3,4,4,5) == N = 102; (3,3,3,3,4,5) == N = 102; (1,2,3,4,5,6) == N = 111; etc... Em suma, havera sempre 101 ou mais arcos de medida inferior a 2pi/3. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
