Re: [obm-l] cadeia de logaritmos
Oi Luis, como você mandou no outro email, mas o enunciado e a minha sugestão estão aqui, vou continuar aqui. Espero que você não tenha problemas em responder aqui... 2017-11-07 14:05 GMT-02:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa : > 2017-11-04 10:00 GMT-02:00 Luís Lopes : >> Sauda,c~oes, >> >> >> Considere o número N = ((100¹°°)¹°°)¨¨¹°° (ou seja, 100 elevado a 100, >> elevado a 100, ...), onde o número 100 aparece 100 vezes (incluindo a base). >> Seja a sequência definida como: >> >> a1 = log N >> a2 = log (a1) >> a3 = log (a2) >> ... >> a99 = log (a98) >> a100 = log (a99) >> >> Pode-se afirmar que a99 + a100 é igual a: Das suas contas na outra mensagem, depreendo, também, que log deve ser entendido em base 10. Isso é um pouco mais chato do que base e (para fazer análise, que é a minha solução) mas acho que não vai atrapalhar. > Vou dar uma sugestão: prove que > > C + eps < a_i < C + 2eps > > implica que > > log(C) + eps < a_{i+1} < log(C) + 2eps > > se C for "grande" e eps for "pequeno". Ops, me enganei na formulação exata. Vou corrigir, mas antes disso deixa eu introduzir uma notação: b0 = 1 b1 = 100 b2 = 100^{100} ... b100 = 100^{b99} = N Agora, faça algumas iterações, para perceber o que está acontecendo: a1 = log(N) = b99 * log(100) = 2 b99 a2 = log(a1) = log(2) + 2 b98 = 2 b98 (1 + eps98) a3 = log(a2) = log(2) + 2 b97 + log(1 + eps98) = 2 b97(1 + eps97) O problema que temos aqui é que eps97 é *bem feio*. E só vai piorar conforme iteramos. Portanto, precisamos de um resultado parecido como o que eu dei acima (só que certo, o que está acima é falso!) Um dedinho de análise: ln(1+x) < x, para qualquer x. Vamos usar sempre para x positivo, mas vale sempre, por concavidade do ln. Daí, log(1+x) = ln(1+x)/ln(10) < x/ln(10) Já percebemos que a cada log() que usarmos, vai "sair" um log(2), então vou usar eps = log(2). Quero então mostrar, por indução, que 2 b_{100-k} + log(2) <= a_k <= 2 b_{100-k} + 2 log(2) O lado esquerdo é fácil: a_{k+1} = log(a_k) >= log(2 b_{100-k}) = log(2) + b_{100-k-1} Vejamos, agora, o lado direito. Fatorando como antes, a_k <= 2 b_{100-k} (1 + log(2)/b_{100-k}). Logo a_{k+1} <= log(2) + b_{100 - k - 1} + log(1 + log(2)/b_{100-k}) Como log(1+x) < x/ln(10), basta mostrar que log(2)/b_{100-k} < log(2) * ln(10), ou seja, b_{100-k} ln(10) > 1, o que é verdade para todo k <= 99, já que b1 = 100 > 1, e os b_k são cada vez maiores. Isso dá 2*1 + log(2) <= a100 <= 2*1 + 2 log(2) e 2*100 + log(2) <= a99 <= 2*100 + 2 log(2), logo a soma está entre 202 + 2log(2) e 202 + 4log(2), ou seja, entre 202.6 e 203.2. Como eu aposto que a estimativa de 2log(2) é MUITO ruim, e que o valor deve estar mais próximo da parte inferior, eu acho que a resposta certa será 202.6, que não está nas alternativas. Mas por outro lado para ser 202.3, seria necessário não haver nenhum dos log(2), e estes TÊM que estar, por conta do 2* que aparece com log(100) = 2. Espero que ajude... Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] cadeia de logaritmos (suite)
Eu acho que as mensagens que fazem parte deste assunto (cadeia de logaritmos) não estão seguindo fazendo reply. Mudo então o título do assunto e inicio um novo. = Sauda,c~oes, oi Bernardo, Obrigado por responder. Não sei provar a sua sugestão (e gostaria de ver a prova); e pior, nem sei como usá-la. Por sua mensagem e a do Tássio depreendo que o problema faz sentido. Retomo o que fiz. Calculei a2 e encontrei 100 < a2 = 198 + log2 < 1000 Então 2 < a3=log(a2) < 3 0 < a4=log(a3) < 1 a5=log(a4) < 0 Logo a solução não é por aí. Abraços, Luís -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] cadeia de logaritmos
2017-11-04 10:00 GMT-02:00 Luís Lopes : > Sauda,c~oes, > > > Bom dia. > > > Não consegui resolver a questão abaixo. Como fazer ? > > > Abraços, > > Luís > > > > Considere o número N = ((100¹°°)¹°°)¨¨¹°° (ou seja, 100 elevado a 100, > elevado a 100, ...), onde o número 100 aparece 100 vezes (incluindo a base). > Seja a sequência definida como: > > a1 = log N > a2 = log (a1) > a3 = log (a2) > ... > a99 = log (a98) > a100 = log (a99) > > Pode-se afirmar que a99 + a100 é igual a: Vou dar uma sugestão: prove que C + eps < a_i < C + 2eps implica que log(C) + eps < a_{i+1} < log(C) + 2eps se C for "grande" e eps for "pequeno". Daí, mostre que ser (relativamente) "pequeno" e "grande" é verdade por indução ;-) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] cadeia de logaritmos
Talvez ajude pensar no seguinte: Quanto valem a1, a2 e a3 se N = (100¹°°)¹°° ? 2017-11-04 12:00 GMT+00:00 Luís Lopes : > Sauda,c~oes, > > > Bom dia. > > > Não consegui resolver a questão abaixo. Como fazer ? > > > Abraços, > > Luís > > > > Considere o número N = ((100¹°°)¹°°)¨¨¹°° (ou seja, 100 elevado a 100, > elevado a 100, ...), onde o número 100 aparece 100 vezes (incluindo a > base). Seja a sequência definida como: > > a1 = log N > a2 = log (a1) > a3 = log (a2) > ... > a99 = log (a98) > a100 = log (a99) > > Pode-se afirmar que a99 + a100 é igual a: > > a) 102 > b) 202 > c) 102,3 > d) 202,3 > e) 2,3 > > Obs: se necessário, utilize log2 = 0,30. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] cadeia de logaritmos
Sauda,c~oes, Bom dia. Não consegui resolver a questão abaixo. Como fazer ? Abraços, Luís Considere o número N = ((100¹°°)¹°°)¨¨¹°° (ou seja, 100 elevado a 100, elevado a 100, ...), onde o número 100 aparece 100 vezes (incluindo a base). Seja a sequência definida como: a1 = log N a2 = log (a1) a3 = log (a2) ... a99 = log (a98) a100 = log (a99) Pode-se afirmar que a99 + a100 é igual a: a) 102 b) 202 c) 102,3 d) 202,3 e) 2,3 Obs: se necessário, utilize log2 = 0,30. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.