[obm-l] congruencias-modulo
Ola pessoal, 1) Mostre que o quadrado de um numero inteiro nao pode terminar em 2, 3, 7 ou 8. 2) A soma dos inteiros a e b termina por um zero. Mostre que os quadrados a^2 e b^2 terminam pelo mesmo algarismo. 3) Ache o resto da divisao de 4^555 por 10.
Re: [obm-l] congruencias-modulo
[EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Mostre que o quadrado de um numero inteiro nao pode terminar em 2, 3, 7 ou 8. Se o número inteiro em questão for da forma 10k+p onde 0=p=9, então: (10k+p)^2=100k^2+20*k*p+p^2 Módulo 10, morrem os termos multiplicados por 100 e 20, logo temos (10k+p)^2=p^2 (mod 10). Agora é só fazer a tabelinha 0^2= 0 = 0 (mod 10) 1^2= 1 = 1 (mod 10) 2^2= 4 = 4 (mod 10) 3^2= 9 = 9 (mod 10) 4^2= 16 = 6 (mod 10) 5^2= 25 = 5 (mod 10) 6^2= 36 = 6 (mod 10) 7^2= 49 = 9 (mod 10) 8^2= 64 = 4 (mod 10) 9^2= 81 = 1 (mod 10) Logo os quadrados só podem terminar em 0,1,4,5,6,9, e portanto nunca terminam em 2,3,7 e 8. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] congruencias-modulo
[EMAIL PROTECTED] wrote: 2) A soma dos inteiros a e b termina por um zero. Mostre que os quadrados a^2 e b^2 terminam pelo mesmo algarismo. Usando congruência fica trivial, então vou fazer diferente. Se a soma de a e b termina em zero, então a+b=10k e portanto a=10k-b. Logo a^2=(10k-b)^2=100k^2-20bk+b^2. 100k^2 e 20bk ambos terminam em zero, logo não afetam o último algarismo. Portanto, o último digito de a e b é o mesmo. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] congruencias-modulo
Title: Re: [obm-l] congruencias-modulo on 03.03.04 21:47, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, 1) Mostre que o quadrado de um numero inteiro nao pode terminar em 2, 3, 7 ou 8. mod 10: 0^2 == 0 1^2 == 9^2 == 1 2^2 == 8^2 == 4 3^2 == 7^2 == 9 4^2 == 6^2 == 6 5^2 == 5 Logo, o ultimo algarismo de um quadrado soh pode ser 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. 2) A soma dos inteiros a e b termina por um zero. Mostre que os quadrados a^2 e b^2 terminam pelo mesmo algarismo. mod 10: a + b == 0 == a == -b == a^2 == (-b)^2 == a^2 == b^2 3) Ache o resto da divisao de 4^555 por 10. mod 10: 4^(2m) == (4^2)^m == 6^m == 6 4^(2m+1) == 4^(2m)*4 == 6*4 == 4 Como 555 eh impar, 4^555 == 4 == resto = 4 Um abraco, Claudio.
