[obm-l] criterio de Eisenstein
Eu poderia usar este dual para mostrar que f(X) é irredutível ou não em Z[X] ? Irredutível? Sim. Em primeiro lugar, se f(X) é um polinômio não-constante, então a proposição (onde Q(D) é o corpo de frações de D) (1) f(X) não é o produto de dois fatores de grau (ou igual) 1 em D[X] equivale a (2) f(X) é irredutível em Q(D)[X]. Esta equivalência (atribuída a Gauss) é provada no livro livro Álgebra: um curso de introdução, dos mesmos autores. (A propósito, considero esse livro pouco lúcido e mal escrito.) Em segundo lugar, é fácil provar que (3) f(X) irredutível em Q(D)[X] = f(X) irredutível em D[X]. (A recíproca é falsa! Exemplos?) Portanto, se vale (1), então f(X) é Irredutível em D[X]. Segue-se de (3) que o dual nos dá uma condição suficiente para provar que f(X) é Irredutível em D[X]. Aliás, decorre de (3) que o mesmo se aplica ao próprio Critério de Eisenstein. Carlos César de Araújo Gregos Troianos Educacional www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG, Brasil (31) 3283-1122 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] criterio de Eisenstein
De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 23 Aug 2005 02:22:07 + (GMT) Assunto: [obm-l] criterio de Eisenstein No livro do Arnaldo Garcia e Yves Lequain ( elementos de álgebra ), na página 74 , foi proposto o seguinte exercício: Sejam D um domínio fatorial e f( X ) = a(n)X^n + ... + a(0) pertencente a D[X] um polinômio de grau n( ou igual) 1. Suponha que exista um um elento primo p pertencente a D tal que p não divida a a(0) , p divida a(i) para todo i ( ou igual ) 1 e p^2 não divida a(n). Mostre que f(X) não é o produto de dois fatores de grau (ou igual) 1 em D[X]. Alguem poderia provar esta proposição que o livro do Arnaldo chama de " dual " do Critério de Eisenstein ? Eu poderia usar este "dual " para mostrar que f(X) é irredutível ou não em Z[X] ? UseEisenstein no polinômio g(X) = X^n*f(1/X). []s, Claudio.
[obm-l] criterio de Eisenstein
No livro do Arnaldo Garcia e Yves Lequain ( elementos de álgebra ), na página 74 , foi proposto o seguinte exercício: Sejam D um domínio fatorial e f( X ) = a(n)X^n + ... + a(0) pertencente a D[X] um polinômio de grau n( ou igual) 1. Suponha que exista um um elento primo p pertencente a D tal que p não divida a a(0) , p divida a(i) para todo i ( ou igual ) 1 e p^2 não divida a(n). Mostre que f(X) não é o produto de dois fatores de grau (ou igual) 1 em D[X]. Alguem poderia provar esta proposição que o livro do Arnaldo chama de " dual " do Critério de Eisenstein ? Eu poderia usar este "dual " para mostrar que f(X) é irredutível ou não em Z[X] ?__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
