Brunno Fernandes wrote:
Ola pessoal do grupo poderiam me ajudar?
Dizer quantos algarismos podera ter o período da dizima cuja fração
geratriz é 25/147
eu vi uma regra em que o numero maximo de algarismos da dizima, quando
o denominador for um numero primo diferente de 2 ou 5, é só pegar o
numero e subtarir uma unidade, mas 147 não é primo e decompondo em
fatores primos nao é possivel aplicar essa regra
Um abraco
Brunno
O Professor José Paulo Q. Carneiro escreveu um artigo muito interessante
na RPM 52 sobre dízimas periódicas. NEsse artigo há um método que não
usa o algoritmo tradicional da divisão e consiste em tentar encontrar
uma potencia de 10 que deixe resto 1 na divisão por 147.
Seja n tal que 10^n = A*147 + 1, ou seja,
147 = (10^n - 1)/A
1/147 = A*1/(10^n - 1) = A* [(1/10^n) /(1-1/10^n)] = A/10^n *[1 + 1/10^n
+ 1/10^2n + ...]
25/147 = 25A/10^n *[1 + 1/10^n + ...]
O número 25A será seu período.
No artigo ainda há uma explicação de como ter certeza de que haverá uma
potência de 10 que deixe resto 1 na divisão por 147 (que é primo com
10). A certeza vem de um dos teoremas de Euler que garante que
10^[phi(147)] deixa resto 1 na divisão por 147, onde phi(147 é o número
de inteiros positivos menores que 147 e primos com 147. Phi(147) =
147(1-1/3)(1-1/7) = 84. Isso me permite reduzir a procura das potencias
de 10, bastando testar apenas os expoentes que são divisores de 84.
Não digo que é o melhor método ou que é o mais apropriado mas é uma
alternativa interessante e o artigo é muito legal.. vale a pena ler.
[]'s MP
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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