Re: [obm-l] eq diofantinas
1) Eu não entendi o porquê da restrição c=ab... Bom, seja d = mdc(a,b). É possível escrever d como combinação linear dos números a e b, isto é, existem x,y pertencentes a Z de forma que d = ax+by [isto é um teorema que não lembro como prova]. No nosso caso, temos mdc(a,b) = 1. Portanto: ax+by = 1 Agora basta multiplicar por c e ficamos com a(cx)+b(cy) = c pronto! É possível escrever c como combinação linear de a,b, onde mdc(a,b) = 1. Corrijam-me se errei em alguma coisa, por favor. =] abraços Marcelo Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
Re: [obm-l] eq diofantinas
Bom, o difícil é que x, y sejam inteiros positivos (ou talvez não-negativos). Mas a idéia é exatamente essa. Ou seja, dado este ax+by (com x, y inteiros sobre os quais nada sabemos) obter am + bn, com m, n = 0. E isso só dá para fazer se c for suficientemente grande, pois vamos ter que diminuir um e aumentar o outro. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Wed, 2 Feb 2005 12:19:34 -0300 (ART), Marcelo Ribeiro [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Eu não entendi o porquê da restrição c=ab... Bom, seja d = mdc(a,b). É possível escrever d como combinação linear dos números a e b, isto é, existem x,y pertencentes a Z de forma que d = ax+by [isto é um teorema que não lembro como prova]. No nosso caso, temos mdc(a,b) = 1. Portanto: ax+by = 1 Agora basta multiplicar por c e ficamos com a(cx)+b(cy) = c pronto! É possível escrever c como combinação linear de a,b, onde mdc(a,b) = 1. Corrijam-me se errei em alguma coisa, por favor. =] abraços Marcelo Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] eq diofantinas
Sabemos que por ser mdc(a,b) = 1, ax + by = c tem solucoes inteiras para todo c inteiro. Isso quer dizer que, para cada c inteiro, a reta ax + by = c tem pontos inteiros (ou seja, com ambas as coordenadas inteiras), os quais sao igualmente espaçados. Se um ponto eh (m,n), os pontos adjacentes serao (m-b,n+a) e (m+b,n-a), de modo que a distancia entre dois pontos inteiros adjacentes eh raiz(a^2+b^2). Agora, os pontos de interseccao da reta com os eixos coordenados sao: (0,c/b) e (c/a,0), de modo que a distancia entre eles eh: raiz((c/b)^2+(c/a)^2) = (c/ab)*raiz(a^2 + b^2). O que acontece se c = ab? []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 2 Feb 2005 14:46:44 -0200 Assunto: Re: [obm-l] eq diofantinas Bom, o difícil é que x, y sejam inteiros positivos (ou talvez não-negativos). Mas a idéia é exatamente essa. Ou seja, dado este ax+by (com x, y inteiros sobre os quais nada sabemos) obter am + bn, com m, n = 0. E isso só dá para fazer se c for suficientemente grande, pois vamos ter que diminuir um e aumentar o outro. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Wed, 2 Feb 2005 12:19:34 -0300 (ART), Marcelo Ribeiro <[EMAIL PROTECTED]>wrote: 1) Eu não entendi o porquê da restrição c=ab... Bom, seja d = mdc(a,b). É possível escrever d como combinação linear dos números a e b, isto é, existem x,y pertencentes a Z de forma que d = ax+by [isto é um teorema que não lembro como prova]. No nosso caso, temos mdc(a,b) = 1. Portanto: ax+by = 1 Agora basta multiplicar por c e ficamos com a(cx)+b(cy) = c pronto! É possível escrever c como combinação linear de a,b, onde mdc(a,b) = 1. Corrijam-me se errei em alguma coisa, por favor. =] abraços Marcelo Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] eq diofantinas
poderiam tentar demonstrar isso pra mim?? 4) Sejam a, b números naturais diferentes de 0 e coprimos. a) Mostre que todo natural c=a.b(maior ou igual) se escreve na forma ax + by com x, y naturais; b) Mostre que ab-a-b não se escreve na forma ax + by, com x, y naturais.