On Sat, Aug 11, 2007 at 06:19:00PM +0300, Francisco wrote: > Como mostro que 3^(3^(1/2)) é um número irracional?
Sabemos que 3^(1/2) é algébrico e irracional. Devemos agora usar o teorema abaixo: Teorema de Gelfond-Schneider: Se a e b são algébricos, a diferente de 0 e 1, b irracional então a^b não é algébrico. Tomando a = 3 e b = 3^(1/2) temos que 3^(3^(1/2)) não é algébrico e em particular é irracional. O teorema acima é bem difícil e está demonstrado no livro "Irrational Numbers" de Ivan Niven (publicado pela MAA). Aliás, um número real ou complexo z é algébrico se existir um polinômio não identicamente nulo p de coeficientes racionais tal que p(z) = 0. Se você estiver perguntando se existe uma demonstração *fácil* de que 3^(3^(1/2)) é irracional eu não sei. Meu palpite é que não e se alguém tiver uma demonstração fácil eu teria curiosidade de ver. N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================