Re: [obm-l] numero primo para (x^2 + 5x+ 23)
Essa foi uma questao da 3a. fase da obm nivel 3 de 2003. A resposta eh 17. Primeiro, verifique que (-2)^2 + 5*(-2) + 23 = 17. Em seguida, lembre-se de que se p(x) nao eh divisivel por n para n valores inteiros consecutivos de x, entao p(x) nao eh divisivel por n para nenhum inteiro x. O maior primo menor do que 17 eh 13. Assim, tome 13 valores inteiros consecutivos de x e verifique se, para algum deles, p(x) eh divisivel por algum primo <= 13. Voce vai ver que a resposta eh nao. []s, Claudio. on 08.10.04 17:29, Osvaldo Mello Sponquiado at [EMAIL PROTECTED] wrote: > >> Prove que x^2 + 5x + 23 eh sempre impar, qualquer que > seja x inteiro. > > Bom acho que enviei um mail para a lista, mas não > chegou, aff. > > Minha tentativa para encontrar o menor primo que > dividia x^2 + 5x + 23, para algum x natural foi > fazer x^2 + 5x + 23=(x+a).(x+a)+1.(x+a)+b; a arbitrario > natural e b=b(a). > Adotando a=2 vem b=23-2^2-2=17 > Assim ficamos com x^2 + 5x + 23=(x+2)[(x+2)+1]+17= > (x+2)(x+3)+17 > > A parcela (x+2)(x+3) é o produto de dois termos > consecutivos logo é um número par. > A segunda parcela é um número ímpar, logo a soma é um > número impar. > Assim queremos encontrar o menor p, ímpar, tal que p | > (x+2)(x+3)+17 > > Usando congruencia fiz > Possibilidade 1) (x+2) cong. 17 mod (p) > e (x+3) cong. 1 mod (p) > Possibilidade 2) (x+3) cong. 17 mod (p) > e (x+2) cong. 1 mod (p) > > Do caso 1 tiramos: > x cong. 15 mod (p) e x cong. -2 mod (p) > dai x=kp+15=lp-2=> p=17/(l-k); l e k naturais > Como p é primo por hipótese e 17 é primo entaum l deve > ser necessariamente k+1 e logo p=17 > Do 2, tiramos: > x cong. 14 mod (p) e x cong. -1 mod (p) > x=ap+14=bp-1=>p=15/(b-a) > Como os divisores positivos de 15 são 1,3,5,15, então > as possibilidades para p são p=3 e p=5 pois p é primo. > > x^2 + 5x + 23=3.7+(x^2+5x+2)=3.6+(x^2+5x+5) > Se fizermos 3.k; k<=5 mna equação acima teremos raízes > complexas na eq. do segundo grau correspondente por > exemplo se k=4 fica x^2 + 5x + 23=3.4+(x^2+5x+11), onde > x^2+5x+11 possui raizes complexas, logo nao se analisa > estes. > > Para k=5 ou k=6 temos que expressao x^2 + 5x + 23=3k+f > (x); onde f(x) é a expressao do segundo grau > correspondente nunca é múltipla de três. > Procedendo com o mesmo argumento encontramos que x^2 + > 5x + 23 não é múltiplo de cinco. > > Será que desta forma estaria correto ? > Ateh mais. > > > Atenciosamente, > > Osvaldo Mello Sponquiado > Engenharia Elétrica, 2ºano > UNESP - Ilha Solteira > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numero primo para (x^2 + 5x+ 23)
> Prove que x^2 + 5x + 23 eh sempre impar, qualquer que seja x inteiro. Bom acho que enviei um mail para a lista, mas não chegou, aff. Minha tentativa para encontrar o menor primo que dividia x^2 + 5x + 23, para algum x natural foi fazer x^2 + 5x + 23=(x+a).(x+a)+1.(x+a)+b; a arbitrario natural e b=b(a). Adotando a=2 vem b=23-2^2-2=17 Assim ficamos com x^2 + 5x + 23=(x+2)[(x+2)+1]+17= (x+2)(x+3)+17 A parcela (x+2)(x+3) é o produto de dois termos consecutivos logo é um número par. A segunda parcela é um número ímpar, logo a soma é um número impar. Assim queremos encontrar o menor p, ímpar, tal que p | (x+2)(x+3)+17 Usando congruencia fiz Possibilidade 1) (x+2) cong. 17 mod (p) e (x+3) cong. 1 mod (p) Possibilidade 2) (x+3) cong. 17 mod (p) e (x+2) cong. 1 mod (p) Do caso 1 tiramos: x cong. 15 mod (p) e x cong. -2 mod (p) dai x=kp+15=lp-2=> p=17/(l-k); l e k naturais Como p é primo por hipótese e 17 é primo entaum l deve ser necessariamente k+1 e logo p=17 Do 2, tiramos: x cong. 14 mod (p) e x cong. -1 mod (p) x=ap+14=bp-1=>p=15/(b-a) Como os divisores positivos de 15 são 1,3,5,15, então as possibilidades para p são p=3 e p=5 pois p é primo. x^2 + 5x + 23=3.7+(x^2+5x+2)=3.6+(x^2+5x+5) Se fizermos 3.k; k<=5 mna equação acima teremos raízes complexas na eq. do segundo grau correspondente por exemplo se k=4 fica x^2 + 5x + 23=3.4+(x^2+5x+11), onde x^2+5x+11 possui raizes complexas, logo nao se analisa estes. Para k=5 ou k=6 temos que expressao x^2 + 5x + 23=3k+f (x); onde f(x) é a expressao do segundo grau correspondente nunca é múltipla de três. Procedendo com o mesmo argumento encontramos que x^2 + 5x + 23 não é múltiplo de cinco. Será que desta forma estaria correto ? Ateh mais. Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numero primo para (x^2 + 5x+ 23)
From: Felipe Torres <[EMAIL PROTECTED]> n precisam nem comentar a msg anterior... hehehe foi mal. Ta bom... entao vou comentar so essa mas pelo menos eu achei isto; se fizermos x=23*3 temos x^2 + 5x+ 23 = 9*23*23 + 5*23 +23 = Aqui vc usou x=23*3 no primeiro termo e x=23 no segundo Corrigindo: x^2 + 5x+ 23 = 9*23*23 + 5*23*3 +23 = = (9*23 + 6)*23 = (207 + 6)*23 = 2*109 Aqui esta erro numero 2. Tanto o correto, que seria (207 + 16)*23, ou o que vc escreveu, (207 + 6)*23, sao impares e portanto NAO sao divisiveis por 2. logo é divisível por 2 []s espero ter compensado a msg anterior _ Dont just search. Find. Check out the new MSN Search! http://search.msn.click-url.com/go/onm00200636ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numero primo para (x^2 + 5x+ 23)
Um probleminha pra voce: Prove que x^2 + 5x + 23 eh sempre impar, qualquer que seja x inteiro. []s, Claudio. on 07.10.04 17:37, Felipe Torres at [EMAIL PROTECTED] wrote: > n precisam nem comentar a msg anterior... hehehe > foi mal. > mas pelo menos eu achei isto; > > se fizermos x=23*3 > > temos > > x^2 + 5x+ 23 = 9*23*23 + 5*23 +23 = > > = (9*23 + 6)*23 = (207 + 6)*23 = 2*109 > > logo ? divis?vel por 2 > []s > espero ter compensado a msg anterior > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numero primo para (x^2 + 5x+ 23)
n precisam nem comentar a msg anterior... hehehe foi mal. mas pelo menos eu achei isto; se fizermos x=23*3 temos x^2 + 5x+ 23 = 9*23*23 + 5*23 +23 = = (9*23 + 6)*23 = (207 + 6)*23 = 2*109 logo é divisível por 2 []s espero ter compensado a msg anterior __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] numero primo para (x^2 + 5x+ 23)
Desculpem-me a msg anterior... Segue um metodo braçal: Seja f(x) = x^2 +5x +23 Para x=0 , temos f(x) = 23 e portanto um candidato para p eh 23. Para x=1, temos f(x) = 29 e eh possivel inferir que todo p > 23 nao serve. Passando para valores negativos de x temos: Para x=-1 , temos f(x) = 19 e portanto um candidato para p eh 19. Para x=-2 , temos f(x) = 17 e portanto um candidato para p eh 17. Para x=-3 temos f(x) = 17 e portanto o candidato para p continua 17. Para x=-4 temos f(x) = 19 e portanto o candidato para continua 17. Para x= -5 temos f(x) = 19 e portanto o candidato para continua 17. Se x eh negativo e x < -5 entao f(x) eh positiva e maior que 23. Assim concluimos que o valor de p procurado eh 17. [] s __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
