RES: [obm-l] problema análise
-Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br]em nome de Murilo Krell Enviada em: quarta-feira, 7 de janeiro de 2009 17:10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] problema análise Prezados amigos, poderiam me ajudar com esses problemas? a) Se uma sequência é monótona tem uma subsequência convergente, prove que a sequência é, ela própria convergente. Sejam x_n uma sequencia monotona crescente e x_n_k uma subsequencia convergente de x_n. Por ser convergente, x_n_k é limitada, havendo assim M > 0 tal que x_n_k < M para todo k =1,2,3. Pela definicao de subsequencia, para todo n existe k tal que n_k > n. Como x_n eh monotona crescente, temos então que x_n <= x_n_k < M, do que deduzimos que x_n, alem de monotona crescente, eh limitada superiormente por M. Logo, x_n eh convergente. Se x_n for monotona decrescente, o raciocinio eh similar. b) A fim de que o número real a seja valor de aderência de (xn) é necessário e suficiente, que, para todo eps>0 e todo k pertencente a N dados, exista n>k tal que o modulo de xn-a0, temos entao que, com possivel excecao de um numero finito de termos, a bola aberta de centro em a e raio eps contem todos os termos de x_n_i. Para todo k de N, existe entao, pela definicao de subsequencia, i pertencente a N tal que n_i > k e x_n_i esta na citada bola. Fazendo-se n = n_i, obtemos n > k tal que |x_n - a| < eps. Suponhamos agora, por outro lado, que, para todo eps>0 e todo k pertencente a N dados, exista n tal que |x_n - a| < eps. Fazendo-se eps = 1/1 e k = 1, obtemos n_1 > 1 tal que |x_n_1 - a| < 1. De forma indutiva, suponhamos que, para algum i de N, existam n_1 < n_2<n_i tais que |x_n_1 - a| < 1, |x_n_2 - a| < 1/2...|x_n_i - a| < 1/i. Fazendo-se k = n_i e eps = 1/(i +1), obtemos n_(i + 1) > n_i tal que |x_n_(i + 1) - a| < eps. Com isto, construimos uma subsequencia x_n_i de x_n tal que, para todo i, |x_n_i - a| < 1/i. Como 1/i -> 0, x_n_i -> a. Concluimos, assim, que a eh ponto de aderencia de x_n. Artur Problemas do livro de análise do Elon desde já agradeço imensamente a ajuda, abraços, Jhonata
Re: [obm-l] problema análise
Olá,
Começando pela letra a):
Vamos assumir, sem perda de generalidade, que a sequência é crescente (estou
admitindo aqui sequências
constantes; talvez alguns prefiram o termo "não-decrescentes"). O outro caso
é inteiramente análogo.
Vou denotar o limite da subsequência convergente de {Xn} por L.
Note primeiro que devemos ter Xn <= L, para todo n natural.
Se não fosse assim, existiria um p natural tal que L < Xp. Ou seja, Xp - L >
0.
Como a sequência é crescente, temos na verdade Xn - L >= Xp - L > 0, para
TODO n maior ou igual a p.
Ora, em algum momento os índices da SUBSEQUÊNCIA ultrapassam o índice p. A
partir daí, a distância
entre os termos da subsequência e L nunca fica menor do que (Xp - L), pelo
argumento acima.
Isto, é claro, contradiz a hipótese de que a subsequência converge para L.
Absurdo.
Voltando, temos então Xn <= L, para todo n natural.
Em outras palavras, a sequência {Xn} é limitada. Um dos teoremas que está no
livro do Elon garante
que toda sequência monótona e limitada é convergente.
Letra b):
Acredito que o Elon defina valor de aderência de {Xn} como sendo um número
real a tal que
existe uma subsequência de {Xn} convergindo para a.
Neste caso, vamos construir uma tal subsequência.
Você dispõe do seguinte: Para todo eps>0 e todo k pertencente a N dados,
existe
n > k tal que |Xn - a| < eps.
Podemos começar então escolhendo eps = 1, k = 1. Nossa hipótese garante a
existência de
algum n, que vou denotar por n1, satisfazendo n1 > 1 e |X(n1) - a| < 1.
A seguir, escolhemos eps = 1/2, k = 2.
Temos agora n2 > 2 tal que |X(n2) - a| < 1/2.
Depois eps = 1/3, k = 3.
E assim por diante.
Fazendo isso, obtivemos uma sequência n1 < n2 < n3 < ... de números naturais
que certamente não é limitada, dado que nk > k. Estes são os índices da
subsequência que montamos.
Correspondendo a cada um deles, temos um termo X(nk), extraído da sequência
original,
que satisfaz |X(nk) - a| < 1/k, por construção.
É fácil ver que esta subsequência converge para a. De fato, dado eps > 0,
basta escolher
um p natural suficiente grande de modo que 1/p < eps. (Propriedade
Arquimediana)
Então, para todo k > p, é claro que 1/k < 1/p. Como |X(nk) - a| < 1/k, por
construção,
temos |X(nk) - a| < 1/k < 1/p < eps.
Conclusão: {X(nk)} -> a. a é ponto de aderência de {Xn}.
Abraço,
- Leandro.
[obm-l] problema análise
Prezados amigos,poderiam me ajudar com esses problemas? a) Se uma sequência é monótona tem uma subsequência convergente, prove que a sequência é, ela própria convergente. b) A fim de que o número real a seja valor de aderência de (xn) é necessário e suficiente, que, para todo eps>0 e todo k pertencente a N dados, exista n>k tal que o modulo de xn-a
