[obm-l] Re: [obm-l] uniformemente contínua

[Julio Cesar]

Tem a ver. Mas, o importante é observar que o comprimento dos
intervalos $(\frac{1}{2\pi(n+1)},\frac{1}{2\pi n})$ tende à $0$
enquanto a variação de $f$ nestes intervalos é igual à $1$. Daí, vc
não tem $\delta0$ tal que para todo $x \in \mathbb{R}^+$ e
$y\in(x-\delta,x+\delta)$ vale $|f(x)-f(y)|1$.

2011/3/5 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com

 o fato de f: R+ - R, f(x) = sen (1/x) ser cont, mas não uniformemente 
 contínua é falcilmente demonstrável?
 Por exemplo, consegui demonstrar que f(x) = 1/x não é uniformente contínua, 
 isso ajuda alguma coisa?



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Julio Cesar Conegundes da Silva
Use o GMailTex: http://alexeev.org/gmailtex.html

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] uniformemente contínua

[Artur Steiner]

Bem, a composição de uma função com uma outra não uniformemente contínua pode 
ser uniformemente contínua. Não estou certo se o fato de f(x) 1/x não ser 
uniformemete contínua facilita as coisas. Mas podemos utilizar o seguinte 
resultado geral: Se f:R -- R é contínua e não constante (casos do seno e do 
cosseno), então a função g(x) = f(1/x), x  0, não é uniformemente contínua em 
R - {0}.   
 
Sendo p o período fundamental de f (o qual existe, pois f é periódica e não 
constante), tomemos reais a e b com f(a)  f(b) (existem, pois f não é 
constante). Definamos as sequências (a_n) e (b_n) por a_n = 1/(np + a) e b_n = 
1/(np + b), n =1,2,3 Então, a_n e b_n convergem para 0 e, portanto,  a_n - 
b_n --0. Por outro lado, para todo n temos  g(a_n) =  f(np + a) = f(a) e 
g(b_n) = f(np + b) = f(b), pois p é período de f. Assim, g(a_n) e g(b_n) 
converegem trivialmente para f(a) e f(b), respectivamente, e g(a_n) - g(b_n) 
converge para f(a) - f(b)  0.   Logo, g não é uniformente contínua em R - 
{0}. Isso significa o seguinte: é sempre possível achar reais u e v 
arbitrariamente próximos um do outro e arbitrariamente próximos de 0 tais que 
|g(u) - g(v)| seja sempre maior que uma constante positiva pré-estabelecida.
 
Concluímos, também, que g não é periódica, pois, como f é contínua em R - {0}, 
se fosse periódica seria, automaticamente, uniformemente contínua. O que, como 
vimos, não ocorre.
 
Um raciocínio similra mostra também que, por exemplo, f(x) = sen(x^2) não é 
unformemente contínua. 
 
Abraços
Artur
 

  


From: sswai...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] uniformemente contínua
Date: Sun, 6 Mar 2011 00:01:34 +




o fato de f: R+ - R, f(x) = sen (1/x) ser cont, mas não uniformemente contínua 
é falcilmente demonstrável?
Por exemplo, consegui demonstrar que f(x) = 1/x não é uniformente contínua, 
isso ajuda alguma coisa?
  

[obm-l] uniformemente contínua

[Samuel Wainer]

o fato de f: R+ - R, f(x) = sen (1/x) ser cont, mas não uniformemente contínua 
é falcilmente demonstrável?
Por exemplo, consegui demonstrar que f(x) = 1/x não é uniformente contínua, 
isso ajuda alguma coisa?