Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Uma outra coisa que achei interessante sobre o Axioma da Escolha é um artigo filosófico que diz que a matemática é Ontologicamente Neutra. Em outras palavras: não têm nenhum compromisso ontológico, não assumem a existência de qualquer entidade concreta. Esse artigo (citado abaixo) faz algumas observações sobre a teoria ZFC que supõe que todos os conceitos em matemática e/ou a lógica clássicas estão em algum momento comprometidas com o conceito de indivíduo. Em outras palavras, elas podem ser inadequadas para descrever objetos ou comportamento quânticos se levarmos em conta a possível consideração das entidades quânticas como não-indivíduos (aos quais o conceito usual de identidade da matemática tradicional não se aplica): http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/pg/papers/Ontologia.pdf Será que é devido ao conceito de identidade ou indivíduo em matemática que o Paulo Santa Rita concluiu que não é possível unificar a relatividade e a mecânica quântica? Aparentemente há muita coisa em filosofia que ajuda a entender as formulações feitas em matemática. Ronaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Uma outra coisa que achei interessante sobre o Axioma da Escolha é um artigo filosófico que diz que a matemática é Ontologicamente Neutra. Em outras palavras: não têm nenhum compromisso ontológico, não assumem a existência de qualquer entidade concreta. Esse artigo (citado abaixo) faz algumas observações sobre a teoria ZFC que supõe que todos os conceitos em matemática e/ou a lógica clássicas estão em algum momento comprometidas com o conceito de indivíduo. Em outras palavras, elas podem ser inadequadas para descrever objetos ou comportamento quânticos se levarmos em conta a possível consideração das entidades quânticas como não-indivíduos (aos quais o conceito usual de identidade da matemática tradicional não se aplica): http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/pg/papers/Ontologia.pdf Será que é devido ao conceito de identidade ou indivíduo em matemática que o Paulo Santa Rita concluiu que não é possível unificar a relatividade e a mecânica quântica? Aparentemente há muita coisa em filosofia que ajuda a entender as formulações feitas em matemática. Ronaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Realmente, parece que eu gerei mais polêmica do que esperava. Vou indicar um site que explica muito bem o Axioma da Escolha - seu enuniado, aplicações e discussões filosóficas a respeito de seu uso. O site é: http://math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/choice.html From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Axioma da Escolha Date: Tue, 17 Sep 2002 15:18:29 -0300 Nos últimos dias o assunto mais tratado aqui neste forum vem sendo o Axioma da Escolha. Alguém poderia fornecer o enunciado e um pequeno histórico dele? JF -Mensagem Original- De: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 17 de Setembro de 2002 13:30 Assunto: RE: [obm-l] Axioma da Escolha A maneira usual de fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha é (...) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] Axioma da Escolha
A maneira usual de fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha é conseguir uma propriedade que escolhe um elemento de cada conjunto. Por exemplo, os racionais são enumeráveis. Em particular, podem ser bem ordenados. De fato, podemos escrever essa boa ordem (a lexicográfica, por exemplo). Para escolhermos elementos de infinitos conjuntos de racionais, basta pegarmos o menor elemento de cada conjunto. Esse tipo de demonstração é construtiva, no sentido de que essa escolha não foi feita ao acaso, mas obedecendo uma regra explícita. É claro, como voce ressaltou, o construtivismo não aceita princípios e teoremas tidos como fundamentais na matemática. A fim de eliminar algumas coisas estranhas da matemática, criou outras mais estranhas ainda. Trata-se apenas de uma forma de matemática que não é a mais usual, mas em algum momento pode até ser útil. Hoje há quase um consenso em aceitar o axioma da escolha. Mas, para alguns, um teorema que não depende do axioma da escolha pode ter um status maior do que os outros. Existem muitos trabalhos relacionados a independência em Teoria dos Conjuntos que mostram o que seria possível sem o axioma da escolha. From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Axioma da Escolha Date: Fri, 13 Sep 2002 23:45:41 -0700 Apenas lembrando, porque costuma-se realçar quando se usa o axioma da escolha, há uma corrente filosófica de matemáticos que não aceitam o axioma da escolha: os construtivistas (ou, mais geralmente, os intuicionistas). O axioma da escolha nos garante a existência de objetos que não podemos determinar quem, exatamente, ele é. Esse tipo de coisa os construtivistas não aceitam, pois de que serve saber que existe alguma coisa que nunca saberemos quem é, ou onde está? O teorema de Weierstrass, que diz que toda função real contínua sobre um intervalo fechado assume máximo, não é aceita pelos construtivistas, pois não podemos exibir esse ponto de máximo. [Artur Costa Steiner] Ms este teorema é um dos mais importantes da matemática Por outro lado não podemos dizer que não existe ponto de máximo, pois isso seria garantir que todos os pontos não são de máximo, o que não devemos assegurar. Por isso na lógica intuicionista A ou não A pode ser falso, e A não é equivalente a não não A. [Artur Costa Steiner] Acho que é também importante lembrar que muitas provas na matemática basiam-se em infinitas escolhas. Por exemplo, várias das provas dos teoremas ligados à compaticidade de espaços métricos enquadram-se nesta categoria, como o que afirma que S é compacto === S é sequencialmente compacto. Parece-me que estas provam usam o axioma da escolha. E ninguém as questiona. , Todas essas complicações geradas pelo construtivismo fizeram que esse caísse um pouco no esquecimento. Hoje parece que há poucos matemáticos construtivistas. Mas devemos nos lembrar que o argumento central que gerou o construtivismo faz sentido. Realmente, podemos pensar o que fazemos com coisas obtidas não construtivamente. Enfim, há sempre uma fagulha de construtivista em nós. É certo que os mais radicais não admitem nem prova por absurdo, mas o axioma da escolha já seria o maior crime que se poderia cometer contra o construtivismo. Por isso, nas demonstrações, é sempre bom ressaltar o que é construtivo e o que não é. Por exemplo, o Paradoxo de Banach-Tarski, sobre a duplicação da esfera, citada pelo Paulo, é não-construtiva. Sobre o problema da violência, resta um consolo: se o conjunto dos bandidos, dado pelo problema, já estiver bem ordenado (por exemplo, se é enumerável), não precisamos do axioma da escolha, e não cometeremos uma violência contra os intuicionistas. O difícil vai ser achar bandidos bem ordenados... [Artur Costa Steiner] Quando podemos fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha? Sempre que tivermos conjuntos bem ordenados? Por exemplo, se fizermos infinitas escolhas em infinitos subconjuntos dos racionais, então não precisamos do axioma? Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Axioma da Escolha
Nos últimos dias o assunto mais tratado aqui neste forum vem sendo o Axioma da Escolha. Alguém poderia fornecer o enunciado e um pequeno histórico dele? JF -Mensagem Original- De: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 17 de Setembro de 2002 13:30 Assunto: RE: [obm-l] Axioma da Escolha A maneira usual de fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha é (...) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Nos últimos dias o assunto mais tratado aqui neste forum vem sendo o
Axioma
da
Escolha.
Alguém poderia fornecer o enunciado e um pequeno histórico dele?
JF
O enunciado mais usual é o seguinte:
Dada uma coleção qualquer de conjuntos disjuntos {A_a} (finita ou
infinita, numerável ou não), é possível formar um conjunto S tal que
cada elemento de S pertença a um dos conjuntos A_a. Isto é, é possível
formar S escolhendo-se um elemento de cada um dos conjuntos A_a, daí o
nome Axioma da Escolha.
Alguns autores definem o axioma sem requerer que a coleção {A_a} seja
disjunta.
Artur
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Re: [obm-l] violencia e axioma da escolha
Não sei se entendi direito, mas, ao meu ver, não teríamos conjuntos dois a dois disjuntos e tal propriedade é necessária para aplicar o axioma da escolha (ou não?). De qualquer forma, não poderíamos mapear os bandidos nos números inteiros? Assim teríamos uma função de escolha que pegaria em C o bandido mapeado no menor inteiro tal que satisfaça aquelas condições para entrar em R. Se temos uma função de escolha então podemos escolhê-los independentemente do axioma da escolha. Agradeço esclarecimentos Vinicius Fortuna - Original Message - From: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, September 09, 2002 12:08 PM Subject: Re: [obm-l] violencia Olá, Vinicius Cada vez que voce retira um elemento de C e coloca em R, na verdade voce mudou o conjunto C. Ou seja, cada escolha que voce fez, no processo indutivo, foi sobre um conjunto diferente. É semelhante a demonstração de que todo conjunto infinto possui um subconjunto enumerável, em que, dado um conjunto V, construímos indutivamente um conjunto S colocando nele, a cada passo, um elemento de V que não está em S, usando o Axioma da Escolha From: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] violencia Date: Sun, 8 Sep 2002 18:41:45 -0300 Oi Rogério Acho que não saquei. Em que momento foi utilizado o axioma da escolha? Eu nem tinha infinitos conjuntos! Apenas conjuntos infinitos. Até mais Vinicius - Original Message - From: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, September 08, 2002 2:17 PM Subject: Re: [obm-l] violencia É bom notar que essa solução usa o axioma da escolha (de infinitos conjuntos não-vazios, escolhemos um elemento de cada). É essencial o axioma da escolha para resolvê-lo? From: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] violencia Date: Sat, 7 Sep 2002 23:44:58 -0300 - Original Message - From: Fernanda Medeiros [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, September 07, 2002 8:45 PM Subject: [obm-l] violencia Olá, alguém pode dar uma ajuda nestas questões? 1.a)uma gang tem infinitos bandidos e cada um dos meliantes tem um único inimigo no interior da gang,que ele quer matar.Prove q é possivel reunir uma quantidade infinita de bandidos desta gang, semq haja o risco de q um bandido mate outro durante a reunião. Pense no seguinte algoritmo: Temos o conjunto C de candidatos à reunião que inicialmente contém todos os infinitos bandidos da gangue. Temos o conjunto R de bandidos selecionados para a reunião que inicialmente está vazio. A cada passo do algoritmo procuramos em C alguém que não que matar ninguém de R e ninguém em R quer matá-lo. Seja M o subconjunto de C de bandidos que pelo menos um de R quer matar. Como cada bandido de R só quer matar um, |M|=|R| Então, como R é finito, M será finito e V=C-M será infinito, pois C é infinito. V será o subconjunto de C dos bandidos que ninguém de R quer matar. Em V procuramos um bandido que não quer matar ninguém de R, retiramos ele de C, o inserimos em R e repete-se o processo. Se sempre for possível encontrar tal bandido, o processo se repetirá indefinidamente e com R sempre crescendo. Assim teremos infnitos bandidos na reunião sem derramamento de sangue. Se em algum momento não for possível encontrar um bandido em V, é porque todos os bandidos de V querem matar alguém de R. Ou seja, ninguém de V quer matar outro de V. Pegamos, então, V como o conjunto de bandidos para a reunião. Como V é infinito, teremos infinitos participantes na reunião. b)Se cada bandido tiver um nº finito mas indefinido de inimigos(um bandido pode ter 2 inimigos, outro somente 1, um terceiro pode ter 20 e assim por diante).Será sempre possivel promover uma reunião com infinitos bandidos sem risco de derramamento de sangue? Não é possível. Existe um contra-exemplo: Ordene os bandidos formando uma sequência. Imagine que cada bandido quer matar todos que vêm antes dele na sequência. Nunca poderemos ter dois bandidos 'a' e 'b' na reunião, pois ou a vem antes de b, ou b vem antes de, assim haverá um que vai querer matar o outro. Então só poderemos ter um bandido na reunião. Até mais Vinicius Fortuna IC-Unicamp = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] violencia e axioma da escolha
At 17:16 09/09/02 -0300, you wrote: Não sei se entendi direito, mas, ao meu ver, não teríamos conjuntos dois a dois disjuntos e tal propriedade é necessária para aplicar o axioma da escolha (ou não?). De qualquer forma, não poderíamos mapear os bandidos nos números inteiros? Assim teríamos uma função de escolha que pegaria em C o bandido mapeado no menor inteiro tal que satisfaça aquelas condições para entrar em R. Se temos uma função de escolha então podemos escolhê-los independentemente do axioma da escolha. Acho que o conjunto dos bandidos não precisa ser enumerável. Bruno Leite http://www.ime.usp.br/~brleite Agradeço esclarecimentos Vinicius Fortuna - Original Message - From: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, September 09, 2002 12:08 PM Subject: Re: [obm-l] violencia Olá, Vinicius Cada vez que voce retira um elemento de C e coloca em R, na verdade voce mudou o conjunto C. Ou seja, cada escolha que voce fez, no processo indutivo, foi sobre um conjunto diferente. É semelhante a demonstração de que todo conjunto infinto possui um subconjunto enumerável, em que, dado um conjunto V, construímos indutivamente um conjunto S colocando nele, a cada passo, um elemento de V que não está em S, usando o Axioma da Escolha From: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] violencia Date: Sun, 8 Sep 2002 18:41:45 -0300 Oi Rogério Acho que não saquei. Em que momento foi utilizado o axioma da escolha? Eu nem tinha infinitos conjuntos! Apenas conjuntos infinitos. Até mais Vinicius - Original Message - From: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, September 08, 2002 2:17 PM Subject: Re: [obm-l] violencia É bom notar que essa solução usa o axioma da escolha (de infinitos conjuntos não-vazios, escolhemos um elemento de cada). É essencial o axioma da escolha para resolvê-lo? From: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] violencia Date: Sat, 7 Sep 2002 23:44:58 -0300 - Original Message - From: Fernanda Medeiros [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, September 07, 2002 8:45 PM Subject: [obm-l] violencia Olá, alguém pode dar uma ajuda nestas questões? 1.a)uma gang tem infinitos bandidos e cada um dos meliantes tem um único inimigo no interior da gang,que ele quer matar.Prove q é possivel reunir uma quantidade infinita de bandidos desta gang, semq haja o risco de q um bandido mate outro durante a reunião. Pense no seguinte algoritmo: Temos o conjunto C de candidatos à reunião que inicialmente contém todos os infinitos bandidos da gangue. Temos o conjunto R de bandidos selecionados para a reunião que inicialmente está vazio. A cada passo do algoritmo procuramos em C alguém que não que matar ninguém de R e ninguém em R quer matá-lo. Seja M o subconjunto de C de bandidos que pelo menos um de R quer matar. Como cada bandido de R só quer matar um, |M|=|R| Então, como R é finito, M será finito e V=C-M será infinito, pois C é infinito. V será o subconjunto de C dos bandidos que ninguém de R quer matar. Em V procuramos um bandido que não quer matar ninguém de R, retiramos ele de C, o inserimos em R e repete-se o processo. Se sempre for possível encontrar tal bandido, o processo se repetirá indefinidamente e com R sempre crescendo. Assim teremos infnitos bandidos na reunião sem derramamento de sangue. Se em algum momento não for possível encontrar um bandido em V, é porque todos os bandidos de V querem matar alguém de R. Ou seja, ninguém de V quer matar outro de V. Pegamos, então, V como o conjunto de bandidos para a reunião. Como V é infinito, teremos infinitos participantes na reunião. b)Se cada bandido tiver um nº finito mas indefinido de inimigos(um bandido pode ter 2 inimigos, outro somente 1, um terceiro pode ter 20 e assim por diante).Será sempre possivel promover uma reunião com infinitos bandidos sem risco de derramamento de sangue? Não é possível. Existe um contra-exemplo: Ordene os bandidos formando uma sequência. Imagine que cada bandido quer matar todos que vêm antes dele na sequência. Nunca poderemos ter dois bandidos 'a' e 'b' na reunião, pois ou a vem antes de b, ou b vem antes de, assim haverá um que vai querer matar o outro. Então só poderemos ter um bandido na reunião. Até mais Vinicius Fortuna IC-Unicamp = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http
Re: Axioma da Escolha
Ola Duda e demais Colegas desta Lista, O AXIOMA DA ESCOLHA e um dos axiomas de uma das axiomatizacoes da TEORIA DOS CONJUNTOS. No livro do Prof Paul Halmos, TEORIA INGENUA DOS CONJUNTOS, ele e tratado com mais detalhes. Este livro tem uma traducao para o Portugues. O AXIOMA DA ESCOLHA, a grosso modo, afirma que DE TODA FAMILIA DE CONJUNTOS NAO VAZIOS E POSSIVEL CONSTRUIR UM CONJUNTO QUE CONTENHA UM ELEMENTO DE CADA ELEMENTO DA FAMILIA. Este axioma tem consequencias notaveis, como as duas que voce enunciou - que voce pode ver no livro de Algebra linear do Kunze-Hoffman e no Algebra do Birkhof-Maclane - mas tem tambem implicacoes inverossimeis. Note que no enunciado do axioma nada se fala sobre a FUNCAO DE ECOLHA ... de cada conjunto da familia nos ESCOLHEMOS um elemento e colocamos uma copia dele no conjunto que estamos construindo. A regra para elegermos o elemento a ser copiado e, a principio, livre. E esta liberalidade que permite a imaginacao humana definir estranhas funcoes de escolha que implicam na construcao de estranhos resultados Tarski, por exemplo, mostrou que usando o AXIOMA DA ESCOLHA, em tese e possivel dividir uma esfera macica em ao menos cinco partes de forma que ao unir posteriormente estas partes redundara nao em uma, mas em duas esferas identicas a original ... !!! Inverossimil ? Mas, em tese, e possivel efetuar uma tal operacao ! O que parece pouco crivel no exemplo acima e que uma tal operacao estaria derrogando explicitamente o principio da conservacao massa-energia, pois teriamos uma duplicacao de massa sem o esperado desaparecimento da quantidade de energia de repouso : E=M*(C^2). E digno de nota, todavia, que ja hoje se fala de sistemas abertos ( Equacao de Beluzonov ) nos quais estes principios de simetria nao sao obedecidos e que conduzem os sistemas a outras configuracoes, mais organizadas ... O que e certo e que o AXIOMA DA ESCOLHA, dado as suas implicacoes pouco aceitaveis, sempre foi olhado e tratado com forte suspeicao, muitos matematicos achando que uma demonstracao que nao usasse o dito axioma era melhor que outra que o usasse. Seria este axioma o responsavel pelas inconsistencias da TEORIA DOS CONJUNTOS ? Aqui, mais uma vez, entrou em cena o ALTER-EGO dos Matematicos formalistas do seculo XX : Godel e sua Turma. Se chamarmos de classica a TEORIA DOS CONJUNTOS que aceita e usa o AXIOMA DA ESCOLHA, Godel mostrou que se a Teoria dos Conjuntos Classica for inconsistente, a teoria nao-classica, que nao usa ou aceita o AXIOMA DA ESCOLHA, tambem sera inconsistente. Isto e, Godel mostrou que o axioma da escolha nao pode ser responsabilizado por possiveis inconssitencias que porventura venhamos a descobrir na teoria dos conjuntos. Este resultado de Godel, bem como a sua solucao para as equacoes da teoria da relatividade geral ( que implicam num horizonte de eventos onde se alternam locais nos quais o principio da causalidade ora vale, ora nao vale ), nao e tao famoso quanto os resultados relativos a inconsistencia da Aritmetica, mas nao deixam de ser fundamentais, conforme vimos. Ate parece que Godel veio ao mundo para falar uma unica coisa ... parece que ele veio dizer que em qualquer sistema axiomatico, AS REGRAS sao tao ou mais importantes que os AXIOMAS e os OBJETOS INDEFINDOS, que o TODO E MAIS QUE MERAMENTE A SOMA DAS PARTES,QUE A COMPREENSAO REDUCIONISTA E ANALITICA PRECISA MUDAR ! Um abraco Paulo Santa Rita 2,1644,101101 From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Axioma da Escolha Date: Fri, 7 Dec 2001 02:52:23 -0200 Ola! Em alguns textos matematicos, eu ja li a sentenca papapá segue do axioma da escolha. O que exatamente isso quer dizer? Que eh uma consequencia imediata? Por exemplo, cito duas frases: 1 - Segue do axioma da escolha que todo espaco vetorial possui uma base 2 - Segue do axioma da escolha que todo conjunto possui uma boa ordem Talvez esse assunto fuja do segundo grau, perdao. Mas alguem poderia me dar uma ideia de o que eu devo entender por essas frases? Obrigado! Eduardo. _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito! http://explorer.msn.com.br
Re: Axioma da Escolha
No 2ºgrau a gente sai com uma idéia de que tudo que se prova em matemática é absoluto, incontestável, uma verdade universal. Mas na verdade, na matemática moderna, o conceito de verdade depende, dentre outras coisas (Tarski definiu formalmente o que significa verdade em matemática) dos axiomas que vc assume. Os axiomas eram usados desde Euclides, como verdades evidentes em si mesmas. Para a matemática moderna, no entanto, não existe nada evidente em si mesmo. Um conjunto de axiomas define uma teoria, e nessa teoria esses axiomas são verdadeiros, em outras não (p.ex. geometria euclideana e geometrias não-euclideanas). O axioma da escolha é um dos mais polêmicos axiomas de teoria dos conjuntos. Muitos matemáticos não o aceitam, por trazer consequências estranhas na matemática. Porém, a maioria o usa (mesmo os que não o aceitam, muitas vezes o usam sem perceber). Um interessante link sobre o assunto: http://math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/choice.html Entre outras coisas, lá vc vai ver uma frase muito interessante (e explicativa) de Bertrand Russel sobre o axioma da escolha. Rogério From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Axioma da Escolha Date: Fri, 7 Dec 2001 02:52:23 -0200 Ola! Em alguns textos matematicos, eu ja li a sentenca papapá segue do axioma da escolha. O que exatamente isso quer dizer? Que eh uma consequencia imediata? Por exemplo, cito duas frases: 1 - Segue do axioma da escolha que todo espaco vetorial possui uma base 2 - Segue do axioma da escolha que todo conjunto possui uma boa ordem Talvez esse assunto fuja do segundo grau, perdao. Mas alguem poderia me dar uma ideia de o que eu devo entender por essas frases? Obrigado! Eduardo. _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Axioma da Escolha
Ola! Em alguns textos matematicos, eu ja li a sentenca papapá segue do axioma da escolha. O que exatamente isso quer dizer? Que eh uma consequencia imediata? Por exemplo, cito duas frases: 1 - Segue do axioma da escolha que todo espaco vetorial possui uma base 2 - Segue do axioma da escolha que todo conjunto possui uma boa ordem Talvez esse assunto fuja do segundo grau, perdao. Mas alguem poderia me dar uma ideia de o que eu devo entender por essas frases? Obrigado! Eduardo.
