Re: [obm-l] Provar desigualdade.( corrigindo um cochilo )
Ola Felipe e demais colegas desta lista, Meu camarada, nao ha do que agradecer e nem do que se desculpar... Nos, estudantes, aprendemos muito aqui. E eu me sinto honrado e feliz em poder estar sendo util, mesmo que infimamente, em uma lista orientada e moderada por Grandes Mestes tais como os Prof's Nicolau, Eduardo Wagner, Morgado, Jose Paulo, Ralph e muitos outros. Infelizmente, confesso que nao sei como explicar a um aluno de 7 ou 8 serie estas coisas... Em verdade, eu acho que sao os caras que conseguem fazer este trabalho - e parece que voce faz - os Profs mais importantes, porque eles pegam o garoto em tenra idade e despertam a inteligencia e interesse deles, fazendo problemas bonitos. Nos aqui temos um colega - o Josimar - que publicou um livro que parece ser a verdadeira solucao para tornar a Matematica atraente. O Livro e E divertido resolver problemas. Nao sei de qual editora. Mas o certo e que ele consegue colocar problemas bonitos, sem a mediocridade que parece ser a regra da imensa maioria dos outros, e mostrar formas criativas e inteligentes de aborda-los. Ele faz a Matematica ser empolgante. E isso : genial, por que e simples, simples porque e genial. Com os melhores votos de Paz Profunda, sou Paulo Santa Rita 3,1248,070502 From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Provar desigualdade.( corrigindo um cochilo ) Date: Mon, 06 May 2002 20:32:54 -0400 Caro Paulo, Eu ia fazer um comentário aqui tambem, porem mais uma vez acabei esquecendo. ;) Olha, é o seguinte, essa questão, no caso, teríamos que ab² = a(1-a)², e derivando a função podemos analisar em quais intervalos a função é crescente ou decresente. Porem, eu evitei ao máximo resolver essa questão analisando o gráfico da derivada, pois a mesma é uma questão do nível II da OBM (Nível II - 7a. e 8a séries). E com certeza, os alunos de tais séries ainda não tiveram uma iniciação em assuntos como derivadas, limites, etc. Por isso que vim até aqui a lista, para procurar uma outra solução para o mesmo problema. E mais uma vez, peço a ajuda aqui de vocês. Paulo, obrigado por tudo. Valeu mesmo.. de coração ! :) Um grande abraço Felipe Marinho From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Provar desigualdade.( corrigindo um cochilo ) Date: Mon, 06 May 2002 17:52:56 -0400 Caro amigo Paulo, Desculpe-me por mais este enunciado enviado de maneira errada. A questão fala na verdade que a e b são REAIS POSITIVOS. Peço desculpas aqui. E Obrigado desde já, Felipe Marinho From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Provar desigualdade.( corrigindo um cochilo ) Date: Mon, 06 May 2002 19:28:11 + Ola Pessoal, Agora que fui perceber um detalhe ... sendo a e b INTEIROS POSITIVOS e a + b = 1 segue a=1 e b=1. O SEU PROBLEMA ESTA MAL FORMULADO Uma formulacao consistente seria : Prove que se a e b sao REAIS POSITIVOS e a+b=1 entao a*(b^2) = 4/27. From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Provar desigualdade. Date: Mon, 06 May 2002 18:55:09 + Ola Felipe e demais colegas desta lista, O problema e que os expoentes que voce usa nao da pra ver legal ... Se for a*(b^2) e sendo a+b=1 tire b em funcao de a ( ou a em funcao de b ). substitua e a expressao sera um trinomio bem conhecido seu. Ele tem um maximo ! Dai ... From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Provar desigualdade. Date: Mon, 06 May 2002 14:33:05 -0400 Olá pessoal da lista, É com imensa esperança que venho aqui pedir ajuda a vocês na resolução deste exercício: 1) Se a e b são números inteiros positivos tais que a + b = 1, prove que ab² = 4/27. (onde = significa menor ou igual.) -- Oque eu devo usar para provar isto ? Já tentei usar MA e MG, Desigualdade de Cauchy-Schwarz, porem não consigo sair do lugar. Conta com a ajuda de vocês e com a resolução do exercício. Obrigado, Abraços _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL
Re: [obm-l] Provar desigualdade.( corrigindo um cochilo )
Ola Pessoal, Agora que fui perceber um detalhe ... sendo a e b INTEIROS POSITIVOS e a + b = 1 segue a=1 e b=1. O SEU PROBLEMA ESTA MAL FORMULADO Uma formulacao consistente seria : Prove que se a e b sao REAIS POSITIVOS e a+b=1 entao a*(b^2) = 4/27. From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Provar desigualdade. Date: Mon, 06 May 2002 18:55:09 + Ola Felipe e demais colegas desta lista, O problema e que os expoentes que voce usa nao da pra ver legal ... Se for a*(b^2) e sendo a+b=1 tire b em funcao de a ( ou a em funcao de b ). substitua e a expressao sera um trinomio bem conhecido seu. Ele tem um maximo ! Dai ... From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Provar desigualdade. Date: Mon, 06 May 2002 14:33:05 -0400 Olá pessoal da lista, É com imensa esperança que venho aqui pedir ajuda a vocês na resolução deste exercício: 1) Se a e b são números inteiros positivos tais que a + b = 1, prove que ab² = 4/27. (onde = significa menor ou igual.) -- Oque eu devo usar para provar isto ? Já tentei usar MA e MG, Desigualdade de Cauchy-Schwarz, porem não consigo sair do lugar. Conta com a ajuda de vocês e com a resolução do exercício. Obrigado, Abraços _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Converse com amigos on-line, conheça o MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Provar desigualdade.( corrigindo um cochilo )
Caro amigo Paulo, Desculpe-me por mais este enunciado enviado de maneira errada. A questão fala na verdade que a e b são REAIS POSITIVOS. Peço desculpas aqui. E Obrigado desde já, Felipe Marinho From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Provar desigualdade.( corrigindo um cochilo ) Date: Mon, 06 May 2002 19:28:11 + Ola Pessoal, Agora que fui perceber um detalhe ... sendo a e b INTEIROS POSITIVOS e a + b = 1 segue a=1 e b=1. O SEU PROBLEMA ESTA MAL FORMULADO Uma formulacao consistente seria : Prove que se a e b sao REAIS POSITIVOS e a+b=1 entao a*(b^2) = 4/27. From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Provar desigualdade. Date: Mon, 06 May 2002 18:55:09 + Ola Felipe e demais colegas desta lista, O problema e que os expoentes que voce usa nao da pra ver legal ... Se for a*(b^2) e sendo a+b=1 tire b em funcao de a ( ou a em funcao de b ). substitua e a expressao sera um trinomio bem conhecido seu. Ele tem um maximo ! Dai ... From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Provar desigualdade. Date: Mon, 06 May 2002 14:33:05 -0400 Olá pessoal da lista, É com imensa esperança que venho aqui pedir ajuda a vocês na resolução deste exercício: 1) Se a e b são números inteiros positivos tais que a + b = 1, prove que ab² = 4/27. (onde = significa menor ou igual.) -- Oque eu devo usar para provar isto ? Já tentei usar MA e MG, Desigualdade de Cauchy-Schwarz, porem não consigo sair do lugar. Conta com a ajuda de vocês e com a resolução do exercício. Obrigado, Abraços _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Converse com amigos on-line, conheça o MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Provar desigualdade.( corrigindo um cochilo )
Caro Paulo, Eu ia fazer um comentário aqui tambem, porem mais uma vez acabei esquecendo. ;) Olha, é o seguinte, essa questão, no caso, teríamos que ab² = a(1-a)², e derivando a função podemos analisar em quais intervalos a função é crescente ou decresente. Porem, eu evitei ao máximo resolver essa questão analisando o gráfico da derivada, pois a mesma é uma questão do nível II da OBM (Nível II - 7a. e 8a séries). E com certeza, os alunos de tais séries ainda não tiveram uma iniciação em assuntos como derivadas, limites, etc. Por isso que vim até aqui a lista, para procurar uma outra solução para o mesmo problema. E mais uma vez, peço a ajuda aqui de vocês. Paulo, obrigado por tudo. Valeu mesmo.. de coração ! :) Um grande abraço Felipe Marinho From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Provar desigualdade.( corrigindo um cochilo ) Date: Mon, 06 May 2002 17:52:56 -0400 Caro amigo Paulo, Desculpe-me por mais este enunciado enviado de maneira errada. A questão fala na verdade que a e b são REAIS POSITIVOS. Peço desculpas aqui. E Obrigado desde já, Felipe Marinho From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Provar desigualdade.( corrigindo um cochilo ) Date: Mon, 06 May 2002 19:28:11 + Ola Pessoal, Agora que fui perceber um detalhe ... sendo a e b INTEIROS POSITIVOS e a + b = 1 segue a=1 e b=1. O SEU PROBLEMA ESTA MAL FORMULADO Uma formulacao consistente seria : Prove que se a e b sao REAIS POSITIVOS e a+b=1 entao a*(b^2) = 4/27. From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Provar desigualdade. Date: Mon, 06 May 2002 18:55:09 + Ola Felipe e demais colegas desta lista, O problema e que os expoentes que voce usa nao da pra ver legal ... Se for a*(b^2) e sendo a+b=1 tire b em funcao de a ( ou a em funcao de b ). substitua e a expressao sera um trinomio bem conhecido seu. Ele tem um maximo ! Dai ... From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Provar desigualdade. Date: Mon, 06 May 2002 14:33:05 -0400 Olá pessoal da lista, É com imensa esperança que venho aqui pedir ajuda a vocês na resolução deste exercício: 1) Se a e b são números inteiros positivos tais que a + b = 1, prove que ab² = 4/27. (onde = significa menor ou igual.) -- Oque eu devo usar para provar isto ? Já tentei usar MA e MG, Desigualdade de Cauchy-Schwarz, porem não consigo sair do lugar. Conta com a ajuda de vocês e com a resolução do exercício. Obrigado, Abraços _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Converse com amigos on-line, conheça o MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: Corrigindo um Cochilo
JP, Concordo plenamente com você quando questionou sobre o que eu disse. É verdade que não poderia ter respondido apenas "foi assim que aprendi". Estive mais preocupado em me convencer que não havia errado (como se pode ver na minha mensagem anterior!)do que em aprender sobre a validade do que acabara de utilizar, lamentavelmente. Ainda bem que há pessoas mais sensatas, que nos fazem ver isso. Agradeço seu empenho em mostrar, a mim e a outros, o verdadeiro sentido de ser um "incrédulo" em matemática. []'s (e Saudações Tricolores) Alexandre Vellasquez
Corrigindo um Cochilo
On Fri, 31 Mar 2000 20:25:23 -0500
"Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caros Colegas da Lista,
Saudacoes !
No desenvolvimento do Binomio (1 + 1/3)^65, o Termo Geral
-
que doravante designaremos por T(k+1) - e expresso por :
T(k+1) = (65! / (k! * (65 - k)!) )*( (1/3)^k )
Este Termo Geral pode ser escrito de outra forma, a saber:
T(k+1) = (65! / (65 - k)!) )*((1/ k!)* (1/3)^k )
Simplificando 65! com (65 - k)! surgirao "k" fatores,
desde
65 ate "65 - k + 1". Estes fatores constituirao o
"NUMERADOR". Se, por outro lado, associarmos a cada fator
de
AQUI
k! (1*2*...*k) um "3" de (1/3)^k, teremos o "k" fatores,
a
saber:
(1*3)*(2*3)*(3*3)*(4*3)* ... (k*3)
O CERTO E:
1/K! ((1/1)*(1/2)*(1/3)* ... * (1/K) ) UM "1/3" DE (1/3)^K,
TEREMOS "K" FATORES, A SABER:
(1/(1*3))*(1/(2*3))*(1/(3*3))*(1/(4*3))*...*(1/(K*3))
ESSES "K" FATORES SE TRANFORMARAO NO "DENOMINADOR". A FRACAO
RESULTANTE TERA A FORMA:
(65*64*63*...*(65-K+1))/((1*3)*(2*3)*(3*3)*...*(K*3))
ENQUANTO 65-K+1 3K, OS TERMOS CRESCERAO. QUANDO OCORRER
65-K+1 3K O TERMO SERA MENOR QUE O ANTERIOR E DECRESCERAO
SEMPRE. ORA, 65-K+1 3K OCORRE PELA PRIMEIRA VEZ EM K=17 (
K E INTEIRO ). ASSIM, O MAIOR TERMO SERA K = 16, O
DECIMO-SETIMO TERMO PORTANTO.
Estas duas observacoes nos permitem concluir que cada novo
termo e o produto do anterior pela fracao (65 - k +1) /
(3*k). Assim, os termos so crescerao se esta fracao for
maior que 1 ( um ) ! Portanto, o menor "k" tal que :
65 - k + 1 3k
E o valor que procuramos ... A resolucao da inequacao
fornece k 16,5. Logo, deve ser k = 17. O maior termo e,
portanto, o decimo-oitavo termo.
Esta maneira de ver as coisas pode ser empregada para
resolver QUALQUER QUESTAO SIMILAR, inclusive aquelas em
que
precisamos empregar a formula de expansao multinomial de
Leibniz. Uma questao de alguma forma correlata pode ser:
***
seja T(k) = ( (k^N) / (1+ 1/N)^k ). K variando em {1,2,3,
... } e N um natural fixo dado, nao nulo. Para que valor
de "k", T(k) atinge o seu valor maximo ?
***
Ola Via Luz. Agradeco sua lembranca. O certo e que por
problemas de saude em minha familia precisei viajar para
Bahia com brevidade... Por isso não estou participando da
Lista, dado que aqui não tenho um computador disponivel.
So
respondi a este e-mail por uma contigencia que acredito
dificilmente vai se repetir. Espero em breve estar no Rio
e
voltar as minhas atividades normais ...
Um Grande Abraco a Todos
Saudades dos Amigos !
Paulo Santa Rita
6,2215,31032000
Nao e sem razao que dizem que a pressa e inimiga da
perfeicao
Quando eu voltar ao Rio participarei mais intensamente da
Lista. Sinto saudades dela e de todos os colegas e Prof´s
que conheci. Um abraco especial ao Prof´s :
Eduardo Wagner, Nicolau Saldanha, Jose Paulo Carneiro,
Morgado, Gustavo Tamm (Gugu).
E aos colegas,
Bruno Leite, Eduardo Casagrande, Benjamim Heinrichs, Via
Lux, Alex,
Bom, o Ralph e estudante ou Prof ? Nao sei ! De qualquer
forma segue um abraco.
Paulo Santa Rita
1,1259,02042000
PS : Nao sei quanto tempo devo ficar por aqui. Mas o acesso
a internet e muito dificil. Vou deixar ao colegas e prof um
mimo. E o "Louvor ao Todo Poderoso", de Goeth ( traducao de
Castilho ).
Tres anjos chegam a Deus para louva-lo.
O Primeiro, ANJO GABRIEL, Fala ( a Deus )
No coro sideral, o sol vai prosseguindo ...
Qual na origem Lho has dado o curso harmonioso !
Tonitroante Baixo em teu concerto Infindo.
So Mandando-lhe Tu, Senhor, tera repouso.
A Tua luz, dobra a Nossa ... Enchendo-nos de Espanto !
Nem o Arcanjo Lhe sonda a portentosa essencia !
Como o fora a principio, o sacra onipotencia:
O Teu sol e ainda hoje assombro, enigma e Encanto !
O Segundo, ANJO MIGUEL, Fala ( a Deus )
E da terraquea esfera, a maquina esplendente,
Segue em seu torvelino eterno, arrebatado ...
Por que ora a luz de florido Eden se ostente,
Ora descanse envolta em negro veu bordado !
O Mar espuma, troa, investe as brutas vagas,
Que o repulsam desfeitas em nunca finda guerra...
Mas na perpetua luta, tanto as rochas como as vagas,
Seguem juntas refeitas o volutear da terra !
O terceiro, ANJO RAFAEL, Fala ( a Deus )
Dos solos contra o mar, dos oceanos aos continentes :
Jogam-se os temporais com impeto profundo !
Zona de assolacoes e criacoes potentes,
Que desfaz e refaz perpetuamente o Mundo !
Ignea precede ao morte ao trovejante horror,
Mas nos, os cortesaos de vossa santidade,
Gozamos luz e paz por toda eternidade ...
Os tres anjos Falam (a Deus ) alto :
Bendito sejas tu, Senhor, Senhor, Senhor !
A essencia da obra de Goeth parece ser a SIMPLICIDADE E A
BELEZA. Nao esta tambem a essencia da Matematica ?
Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Corrigindo um Cochilo
Paulo Santa Rita escreveu:
On Fri, 31 Mar 2000 20:25:23 -0500
"Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caros Colegas da Lista,
Saudacoes !
No desenvolvimento do Binomio (1 + 1/3)^65, o Termo Geral
-
que doravante designaremos por T(k+1) - e expresso por :
T(k+1) = (65! / (k! * (65 - k)!) )*( (1/3)^k )
Este Termo Geral pode ser escrito de outra forma, a saber:
T(k+1) = (65! / (65 - k)!) )*((1/ k!)* (1/3)^k )
Simplificando 65! com (65 - k)! surgirao "k" fatores,
desde
65 ate "65 - k + 1". Estes fatores constituirao o
"NUMERADOR". Se, por outro lado, associarmos a cada fator
de
AQUI
k! (1*2*...*k) um "3" de (1/3)^k, teremos o "k" fatores,
a
saber:
(1*3)*(2*3)*(3*3)*(4*3)* ... (k*3)
O CERTO E:
1/K! ((1/1)*(1/2)*(1/3)* ... * (1/K) ) UM "1/3" DE (1/3)^K,
TEREMOS "K" FATORES, A SABER:
(1/(1*3))*(1/(2*3))*(1/(3*3))*(1/(4*3))*...*(1/(K*3))
ESSES "K" FATORES SE TRANFORMARAO NO "DENOMINADOR". A FRACAO
RESULTANTE TERA A FORMA:
(65*64*63*...*(65-K+1))/((1*3)*(2*3)*(3*3)*...*(K*3))
ENQUANTO 65-K+1 3K, OS TERMOS CRESCERAO. QUANDO OCORRER
65-K+1 3K O TERMO SERA MENOR QUE O ANTERIOR E DECRESCERAO
SEMPRE. ORA, 65-K+1 3K OCORRE PELA PRIMEIRA VEZ EM K=17 (
K E INTEIRO ). ASSIM, O MAIOR TERMO SERA K = 16, O
DECIMO-SETIMO TERMO PORTANTO.
Estas duas observacoes nos permitem concluir que cada novo
termo e o produto do anterior pela fracao (65 - k +1) /
(3*k). Assim, os termos so crescerao se esta fracao for
maior que 1 ( um ) ! Portanto, o menor "k" tal que :
65 - k + 1 3k
E o valor que procuramos ... A resolucao da inequacao
fornece k 16,5. Logo, deve ser k = 17. O maior termo e,
portanto, o decimo-oitavo termo.
Esta maneira de ver as coisas pode ser empregada para
resolver QUALQUER QUESTAO SIMILAR, inclusive aquelas em
que
precisamos empregar a formula de expansao multinomial de
Leibniz. Uma questao de alguma forma correlata pode ser:
***
seja T(k) = ( (k^N) / (1+ 1/N)^k ). K variando em {1,2,3,
... } e N um natural fixo dado, nao nulo. Para que valor
de "k", T(k) atinge o seu valor maximo ?
***
Ola Via Luz. Agradeco sua lembranca. O certo e que por
problemas de saude em minha familia precisei viajar para
Bahia com brevidade... Por isso não estou participando da
Lista, dado que aqui não tenho um computador disponivel.
So
respondi a este e-mail por uma contigencia que acredito
dificilmente vai se repetir. Espero em breve estar no Rio
e
voltar as minhas atividades normais ...
Um Grande Abraco a Todos
Saudades dos Amigos !
Paulo Santa Rita
6,2215,31032000
Nao e sem razao que dizem que a pressa e inimiga da
perfeicao
Quando eu voltar ao Rio participarei mais intensamente da
Lista. Sinto saudades dela e de todos os colegas e Prof´s
que conheci. Um abraco especial ao Prof´s :
Eduardo Wagner, Nicolau Saldanha, Jose Paulo Carneiro,
Morgado, Gustavo Tamm (Gugu).
E aos colegas,
Bruno Leite, Eduardo Casagrande, Benjamim Heinrichs, Via
Lux, Alex,
Bom, o Ralph e estudante ou Prof ? Nao sei ! De qualquer
forma segue um abraco.
Paulo Santa Rita
1,1259,02042000
PS : Nao sei quanto tempo devo ficar por aqui. Mas o acesso
a internet e muito dificil. Vou deixar ao colegas e prof um
mimo. E o "Louvor ao Todo Poderoso", de Goeth ( traducao de
Castilho ).
Tres anjos chegam a Deus para louva-lo.
O Primeiro, ANJO GABRIEL, Fala ( a Deus )
No coro sideral, o sol vai prosseguindo ...
Qual na origem Lho has dado o curso harmonioso !
Tonitroante Baixo em teu concerto Infindo.
So Mandando-lhe Tu, Senhor, tera repouso.
A Tua luz, dobra a Nossa ... Enchendo-nos de Espanto !
Nem o Arcanjo Lhe sonda a portentosa essencia !
Como o fora a principio, o sacra onipotencia:
O Teu sol e ainda hoje assombro, enigma e Encanto !
O Segundo, ANJO MIGUEL, Fala ( a Deus )
E da terraquea esfera, a maquina esplendente,
Segue em seu torvelino eterno, arrebatado ...
Por que ora a luz de florido Eden se ostente,
Ora descanse envolta em negro veu bordado !
O Mar espuma, troa, investe as brutas vagas,
Que o repulsam desfeitas em nunca finda guerra...
Mas na perpetua luta, tanto as rochas como as vagas,
Seguem juntas refeitas o volutear da terra !
O terceiro, ANJO RAFAEL, Fala ( a Deus )
Dos solos contra o mar, dos oceanos aos continentes :
Jogam-se os temporais com impeto profundo !
Zona de assolacoes e criacoes potentes,
Que desfaz e refaz perpetuamente o Mundo !
Ignea precede ao morte ao trovejante horror,
Mas nos, os cortesaos de vossa santidade,
Gozamos luz e paz por toda eternidade ...
Os tres anjos Falam (a Deus ) alto :
Bendito sejas tu, Senhor, Senhor, Senhor !
A essencia da obra de Goeth parece ser a SIMPLICIDADE E A
BELEZA. Nao esta tambem a essencia da Matematica ?
Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
O Ralph, hoje pesquisador no IMPA é detentor de duas medalhas de ouro
nas IMOs. Duas!!!
