Re: DÚVIDA DE CÁLCULO I
A segunda solucao, muito inteligente, ja havia sido dada por alguem na lista. Quanto a primeira, lembro que a area eh igual ao valor absoluto do referido determinante. E como este eh um trinomio, ha que tomar cuidado (faca o grafico do valor absoluto de um trinomio e verah o que estou dizendo). JP - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, October 31, 2001 11:31 PM Subject: Re: DÚVIDA DE CÁLCULO I Olha, eu acho que tem duas saídas, uma que eu chamaria de rápida e outra que seria mais normal para atacar o problema logo de cara e com certeza chegar à resposta. Vamos lá, primeiro pela maneira normal: Ache os pontos de intersecção da reta com a parábola resolvendo o sistema y=x^2 e y=5x+11. Há duas soluções(como aliás diz o problema) e chamemos-nas de (ax;ay) e (bx;by), porque incluem radicais irracionais. Daí, vamos calcular a área do triângulo APB pelo método do Determinante: 1/2 *|px-ax py-ay| |bx-ax by-ay| Quando você expandir, vai achar: 1/2[(px-ax)(by-ay) - (py-ay)(bx-ax)]. Se você derivar, lembrando de que py = px^2 e igualar a zero(para achar o ponto de máximo) vai chegar em: 1/2[(by-ay) - 2px(bx-ax)] (pois constantes derivadas dão zero) Assim, você vai chegar em px = (by-ay)/(2(bx-ax)). Mas como estão numa parábola, by = bx^2 e ay = ax^2. Daí, px = 1/2(bx + ax) Mas bx e ax são as abscissas dos pontos de intersecção da reta com a parábola e estão relacionados por x^2 - 5x - 11 = 0. Com isto, as raízes (ax e bx) tem média igual a 5/2 (relações de Girard) e aí temos o ponto que maximiza a área do triângulo: (2,5 6,25). Mas isso dá muito trabalho e exige que você não se preocupe com os radicais que complicam, crendo piamente que não vão ser necessários seus valores. Para a outra solução, desenhe mais uma vez a figura do problema e aparece outra solução: Quando você pensa no triângulo, desloque a reta 5x+11 para a direita até o ponto de tangência com a parábola. Aí você garante que a distância desse ponto até a reta é máxima e, como a área de um triângulo é dada por b*h/2, temos a base fixa(o segmento AB) e a altura máxima no ponto de tangência. Daí então você sabe que nesse ponto a tangente tem coeficiente angular 5(igual ao da reta) e também igual a 2x (que é a derivada de x^2). Igualando, chegamos em x=2,5. A mesma coisa. Mas você faz muito menos contas. Até a próxima e corrijam qualquer erro, por favor. Bernardo -- Mensagem original -- Ola a todos, Apareceu um problema na aula de cálculo I que eu nao conssigofazer de nenhum jeito tentei de tudo, com certeza algo de errado eu fiz, por favor da uma mão. A reta y=5x+11 intercepta a parábola y=x^2 nos pontos A e B. Encontre o ponto P sobre o arco OAB da parábola que maximize a área do triangulo PAB. (O é a origem do plano cartesiano poronde x^2 passa) Fernando Romagnoli ___ http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde você está.
Re: DÚVIDA DE CÁLCULO I
Olha, eu acho que tem duas saídas, uma que eu chamaria de rápida e outra que seria mais normal para atacar o problema logo de cara e com certeza chegar à resposta. Vamos lá, primeiro pela maneira normal: Ache os pontos de intersecção da reta com a parábola resolvendo o sistema y=x^2 e y=5x+11. Há duas soluções(como aliás diz o problema) e chamemos-nas de (ax;ay) e (bx;by), porque incluem radicais irracionais. Daí, vamos calcular a área do triângulo APB pelo método do Determinante: 1/2 *|px-ax py-ay| |bx-ax by-ay| Quando você expandir, vai achar: 1/2[(px-ax)(by-ay) - (py-ay)(bx-ax)]. Se você derivar, lembrando de que py = px^2 e igualar a zero(para achar o ponto de máximo) vai chegar em: 1/2[(by-ay) - 2px(bx-ax)] (pois constantes derivadas dão zero) Assim, você vai chegar em px = (by-ay)/(2(bx-ax)). Mas como estão numa parábola, by = bx^2 e ay = ax^2. Daí, px = 1/2(bx + ax) Mas bx e ax são as abscissas dos pontos de intersecção da reta com a parábola e estão relacionados por x^2 - 5x - 11 = 0. Com isto, as raízes (ax e bx) tem média igual a 5/2 (relações de Girard) e aí temos o ponto que maximiza a área do triângulo: (2,5 6,25). Mas isso dá muito trabalho e exige que você não se preocupe com os radicais que complicam, crendo piamente que não vão ser necessários seus valores. Para a outra solução, desenhe mais uma vez a figura do problema e aparece outra solução: Quando você pensa no triângulo, desloque a reta 5x+11 para a direita até o ponto de tangência com a parábola. Aí você garante que a distância desse ponto até a reta é máxima e, como a área de um triângulo é dada por b*h/2, temos a base fixa(o segmento AB) e a altura máxima no ponto de tangência. Daí então você sabe que nesse ponto a tangente tem coeficiente angular 5(igual ao da reta) e também igual a 2x (que é a derivada de x^2). Igualando, chegamos em x=2,5. A mesma coisa. Mas você faz muito menos contas. Até a próxima e corrijam qualquer erro, por favor. Bernardo -- Mensagem original -- Ola a todos, Apareceu um problema na aula de cálculo I que eu nao conssigofazer de nenhum jeito tentei de tudo, com certeza algo de errado eu fiz, por favor da uma mão. A reta y=5x+11 intercepta a parábola y=x^2 nos pontos A e B. Encontre o ponto P sobre o arco OAB da parábola que maximize a área do triangulo PAB. (O é a origem do plano cartesiano poronde x^2 passa) Fernando Romagnoli ___ http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde você está.
DÚVIDA DE CÁLCULO I
Ola a todos, Apareceu um problema na aula de cálculo I que eu nao conssigo fazer de nenhum jeito tentei de tudo, com certeza algo de errado eu fiz, por favor da uma mão. A reta y=5x+11 intercepta a parábola y=x^2 nos pontos A e B. Encontre o ponto P sobre o arco OAB da parábola que maximize a área do triangulo PAB. (O é a origem do plano cartesiano por onde x^2 passa) Fernando Romagnoli