RES: En: 3-4-5 triangles
Consertando,
X1=3 ; 2n+1=3 = n=1 eh quadrado e triangular;
X2=17 ; 2n+1=17 = n=8 eh tq n(n+1)/2 = 36 eh quadrado e triangular.
X3=99 ; 2n+1=99 = n=49 = n(n+1)/2 = 49*25 eh quadrado e triangular.
E em geral, os numeros quadrados e triangulares sao exatamente dados por
n(n+1)/2 onde:
2n+1=Xn = n=(Xn-1)/2
(onde Xn=0.5[(3+sqrt(8))^n + (3-sqrt(8))^n])
Essa expressao pode ser ainda bastante simplificada..
por exemplo, veja que n(n+1)/2 = [(Xn)^2 -1]/8
Por outro lado, para n grande (nem precisa ser tao grande.. 2 pra cima ja
basta) o termo
(3-sqrt(8))^n eh muito proximo de zero, e como a expressao dentro do
parentesis de Xn eh inteira, temos Xn = 0,5*[teto ( (3+sqrt(8) )^n) ], onde
teto(x) eh o menor inteiro maior que x.
Logo, o m-esimo numero com a propriedade de ser triangular e quadrado eh:
Tm = {0,25*[teto (3+sqrt(8))^m ]^2 - 1} / 8
A expressao eh realmente interessante.. minha solucao pode ter ficado um
pouco confusa pq eu usei o indice n para dois fins diferentes..
abracos,
Marcio
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em
nome de M. A. A. Cohen
Enviada em: terça-feira, 15 de maio de 2001 21:34
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RES: En: 3-4-5 triangles
...
'...
Dai, Xn = 0.5[(3+sqrt(8))^n + (3-sqrt(8))^n]
ou seja, Xn eh solucao da recorrencia
Xn+2 = 6Xn+1 - Xn = Xn+2 = Xn mod2
Como X1 = 3 eh impar, e X2=17 tmb, segue que Xn eh sempre impar, e por tanto
os numeros que voce fala sao dados por Xn(Xn+1)/2, onde Xn eh dado pela
formula acima..
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em
nome de Luis Lopes
Enviada em: terça-feira, 15 de maio de 2001 20:20
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: En: 3-4-5 triangles
Sauda,c~oes,
Nunca ouvira falar no prof. John Conway e entrei na lista
geometry-college para ver o que se discutia lá após ler
um artigo no periódico AMM. E ele volta e meia escreve
na lista.
No site http://mathforum.com há muitas outras listas.
Este assunto de números figurados que o Paulo aborda é
tratado também - se não estou enganado - no livro de Progressões
do Morgado, Wagner e Zani.
No livro (não tenho ele) Groza, V.S., A Survey of Mathematics
Elementary Concepts and their Historical Development,
Holt, Rinehart and Winston, 1968
vi pela primeira vez este assunto. E lá havia a resposta para o
seguinte problema:
Quais são os números que são triangulares E quadrados? A solução
fora dada por Euler (sempre ele) e sua expressão é bastante
impressionante.
O Wagner falou há pouco que nos correspondíamos, ainda pelo velho
e bom correio. Na verdade era eu colocando pra ele diversos problemas,
tal como fazemos aqui na lista. E ele me mandou a solução.
Se achar na minha papelada, amanhã coloco a resposta pois
a solução é muito comprida.
E não sei se o livro do Conway fala desse problema. E não tenho a
mínima idéia do que seja a fórmula de Falhauber.
[ ]'s
Lu'is
-Mensagem Original-
De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Terça-feira, 15 de Maio de 2001 19:02
Assunto: Re: En: 3-4-5 triangles
Ola Luis Lopes e
Colegas da Lista,
Nos, alunos-membros desta Lista de discussao de Problemas de Matematica,
podemos nos inscrever nesta lista da auql John Conway é um dos membros ? Ou
e uma lista só pra Professores ou Pos-Graduados ?
Jonh Conway parece ser um cara legal ...
Ele divulgou o jogo Vida - já discutido nesta nossa lista - e publicou um
livro, O Livro dos Numeros, que trata de muitos temas que rotineiramente
discutimos aqui.
Em particular, neste livro, ele aborda a formula de Falhauber e os numeros
figurados.
Para quem nao sabe e a titulo de exemplificacao, os numeros da forma 1, 1+2,
1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5,... sao chamados numeros triangulares; os da forma
1, 4, 9, 16, ... numeros quadrados, etc. Essas designacoes derivam do fato
de voce poder representar estes numeros atraves destas figuras, usando
conjuntos de pontos geometricos.
Fermat mostrou, entre outras coisas :
1) Um numero e triangular ou e a soma de, no maximo, tres numeros
triangulares.
Eles mostrou tambem teoremas relativos aos demais numeros figurados. No
Livro do Conway e no do Huntley tais temas são abordados.
Aqui na nossa lista ja foram publicadas mensagens (Luis Lopes publicou
algumas, eu publiquei outras ) que poderiam servir para aperfeicoar o Livro
dos Numeros do Conway.
Um abraco a Todos
Paulo Santa Rita
3,1600,15052001
Re: En: 3-4-5 triangles
Ola Luis Lopes e Colegas da Lista, Nos, alunos-membros desta Lista de discussao de Problemas de Matematica, podemos nos inscrever nesta lista da auql John Conway é um dos membros ? Ou e uma lista só pra Professores ou Pos-Graduados ? Jonh Conway parece ser um cara legal ... Ele divulgou o jogo Vida - já discutido nesta nossa lista - e publicou um livro, O Livro dos Numeros, que trata de muitos temas que rotineiramente discutimos aqui. Em particular, neste livro, ele aborda a formula de Falhauber e os numeros figurados. Para quem nao sabe e a titulo de exemplificacao, os numeros da forma 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5,... sao chamados numeros triangulares; os da forma 1, 4, 9, 16, ... numeros quadrados, etc. Essas designacoes derivam do fato de voce poder representar estes numeros atraves destas figuras, usando conjuntos de pontos geometricos. Fermat mostrou, entre outras coisas : 1) Um numero e triangular ou e a soma de, no maximo, tres numeros triangulares. Eles mostrou tambem teoremas relativos aos demais numeros figurados. No Livro do Conway e no do Huntley tais temas são abordados. Aqui na nossa lista ja foram publicadas mensagens (Luis Lopes publicou algumas, eu publiquei outras ) que poderiam servir para aperfeicoar o Livro dos Numeros do Conway. Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,1600,15052001 From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: En: 3-4-5 triangles Date: Tue, 15 May 2001 15:31:48 -0300 Sauda,c~oes, Resultado realmente interessante. Este John Conway é mesmo o professor de Princeton? Que lista é essa onde ele escreve? []s, N. E aí vai a informação sobre o John Conway. Send an email with content subscribe geometry-college and without subject to [EMAIL PROTECTED] [ ]'s Lu'is -Mensagem Original- De: John Conway [EMAIL PROTECTED] Para: Ben Saucer [EMAIL PROTECTED] Cc: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 14 de Maio de 2001 19:08 Assunto: Re: 3-4-5 triangles On Mon, 14 May 2001, Ben Saucer wrote: At 08:32 AM 5/14/2001, you wrote: I was wondering if anyone knew the answer to the following question. If a triangle has sides of 3, 4, and 5, must it be a 30-60-90 triangle? Thanks. Nope. A 30-60-90 triangle has sides 1, 1/2, and sqrt(3)/2. In fact ANY non-equilateral triangle whose angles are rational numbers of degrees must have at least one irrational side. John Conway _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: En: 3-4-5 triangles
Sauda,c~oes, Nunca ouvira falar no prof. John Conway e entrei na lista geometry-college para ver o que se discutia lá após ler um artigo no periódico AMM. E ele volta e meia escreve na lista. No site http://mathforum.com há muitas outras listas. Este assunto de números figurados que o Paulo aborda é tratado também - se não estou enganado - no livro de Progressões do Morgado, Wagner e Zani. No livro (não tenho ele) Groza, V.S., A Survey of Mathematics Elementary Concepts and their Historical Development, Holt, Rinehart and Winston, 1968 vi pela primeira vez este assunto. E lá havia a resposta para o seguinte problema: Quais são os números que são triangulares E quadrados? A solução fora dada por Euler (sempre ele) e sua expressão é bastante impressionante. O Wagner falou há pouco que nos correspondíamos, ainda pelo velho e bom correio. Na verdade era eu colocando pra ele diversos problemas, tal como fazemos aqui na lista. E ele me mandou a solução. Se achar na minha papelada, amanhã coloco a resposta pois a solução é muito comprida. E não sei se o livro do Conway fala desse problema. E não tenho a mínima idéia do que seja a fórmula de Falhauber. [ ]'s Lu'is -Mensagem Original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 15 de Maio de 2001 19:02 Assunto: Re: En: 3-4-5 triangles Ola Luis Lopes e Colegas da Lista, Nos, alunos-membros desta Lista de discussao de Problemas de Matematica, podemos nos inscrever nesta lista da auql John Conway é um dos membros ? Ou e uma lista só pra Professores ou Pos-Graduados ? Jonh Conway parece ser um cara legal ... Ele divulgou o jogo Vida - já discutido nesta nossa lista - e publicou um livro, O Livro dos Numeros, que trata de muitos temas que rotineiramente discutimos aqui. Em particular, neste livro, ele aborda a formula de Falhauber e os numeros figurados. Para quem nao sabe e a titulo de exemplificacao, os numeros da forma 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5,... sao chamados numeros triangulares; os da forma 1, 4, 9, 16, ... numeros quadrados, etc. Essas designacoes derivam do fato de voce poder representar estes numeros atraves destas figuras, usando conjuntos de pontos geometricos. Fermat mostrou, entre outras coisas : 1) Um numero e triangular ou e a soma de, no maximo, tres numeros triangulares. Eles mostrou tambem teoremas relativos aos demais numeros figurados. No Livro do Conway e no do Huntley tais temas são abordados. Aqui na nossa lista ja foram publicadas mensagens (Luis Lopes publicou algumas, eu publiquei outras ) que poderiam servir para aperfeicoar o Livro dos Numeros do Conway. Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,1600,15052001
RES: En: 3-4-5 triangles
Acho que isso eh consequencia da eq. pell.. se eu nao tiver errado nada: Se N eh triangular e quadrado, entao existem naturais n,m tal que: n(n+1) = 2m^2 = n^2 + n = 2m^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 8m^2 + 1 = (2n+1)^2 - 8m^2 = 1 Por outro lado, se n, m satisfazem a ultima equacao, entao n(n+1)/2 eh quadrado e triangular..fazendo x=2n+1, queremos achar as solucoes da equacao de Pell x^2-8m^2=1 nas quais x eh impar. a menor solucao (no sentido de x+mraiz(8) ser minimo) dessa equacao de Pell eh o par (3,1). Portanto, a solucao geral (Xn, Yn) eh dada por: (Xn + Ynsqrt(8))=(3+sqrt(8))^n (Xn - Ynsqrt(8))=(3-sqrt(8))^n Dai, Xn = 0.5[(3+sqrt(8))^n + (3-sqrt(8))^n] ou seja, Xn eh solucao da recorrencia Xn+2 = 6Xn+1 - Xn = Xn+2 = Xn mod2 Como X1 = 3 eh impar, e X2=17 tmb, segue que Xn eh sempre impar, e por tanto os numeros que voce fala sao dados por Xn(Xn+1)/2, onde Xn eh dado pela formula acima.. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Luis Lopes Enviada em: terça-feira, 15 de maio de 2001 20:20 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: En: 3-4-5 triangles Sauda,c~oes, Nunca ouvira falar no prof. John Conway e entrei na lista geometry-college para ver o que se discutia lá após ler um artigo no periódico AMM. E ele volta e meia escreve na lista. No site http://mathforum.com há muitas outras listas. Este assunto de números figurados que o Paulo aborda é tratado também - se não estou enganado - no livro de Progressões do Morgado, Wagner e Zani. No livro (não tenho ele) Groza, V.S., A Survey of Mathematics Elementary Concepts and their Historical Development, Holt, Rinehart and Winston, 1968 vi pela primeira vez este assunto. E lá havia a resposta para o seguinte problema: Quais são os números que são triangulares E quadrados? A solução fora dada por Euler (sempre ele) e sua expressão é bastante impressionante. O Wagner falou há pouco que nos correspondíamos, ainda pelo velho e bom correio. Na verdade era eu colocando pra ele diversos problemas, tal como fazemos aqui na lista. E ele me mandou a solução. Se achar na minha papelada, amanhã coloco a resposta pois a solução é muito comprida. E não sei se o livro do Conway fala desse problema. E não tenho a mínima idéia do que seja a fórmula de Falhauber. [ ]'s Lu'is -Mensagem Original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 15 de Maio de 2001 19:02 Assunto: Re: En: 3-4-5 triangles Ola Luis Lopes e Colegas da Lista, Nos, alunos-membros desta Lista de discussao de Problemas de Matematica, podemos nos inscrever nesta lista da auql John Conway é um dos membros ? Ou e uma lista só pra Professores ou Pos-Graduados ? Jonh Conway parece ser um cara legal ... Ele divulgou o jogo Vida - já discutido nesta nossa lista - e publicou um livro, O Livro dos Numeros, que trata de muitos temas que rotineiramente discutimos aqui. Em particular, neste livro, ele aborda a formula de Falhauber e os numeros figurados. Para quem nao sabe e a titulo de exemplificacao, os numeros da forma 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5,... sao chamados numeros triangulares; os da forma 1, 4, 9, 16, ... numeros quadrados, etc. Essas designacoes derivam do fato de voce poder representar estes numeros atraves destas figuras, usando conjuntos de pontos geometricos. Fermat mostrou, entre outras coisas : 1) Um numero e triangular ou e a soma de, no maximo, tres numeros triangulares. Eles mostrou tambem teoremas relativos aos demais numeros figurados. No Livro do Conway e no do Huntley tais temas são abordados. Aqui na nossa lista ja foram publicadas mensagens (Luis Lopes publicou algumas, eu publiquei outras ) que poderiam servir para aperfeicoar o Livro dos Numeros do Conway. Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,1600,15052001
