Re: Fibonacci mais Pascal
On Sat, 25 Nov 2000, Luis Lopes wrote:
Sauda,c~oes,
Vamos chamar a primeira linha de linha 0, a segunda de linha 1 etc. Assim,
temos:
A diagonal 0 tem apenas o 1. Soma = 1=F_1 (definimos F_0=0) A diagonal 1 tem
apenas o 1. Soma = 1=F_2 A diagonal 2 tem dois 1`s. Soma = 2=F_3 A diagonal 3
tem um 2 e um 1. Soma =3=F_4 A diagonal 4 tem dois 1`s e um 3. Soma = 5=F_5
Voc^e ent~ao quer mostrar que a soma S_n de binom(n-i , i) = F_{n+1} para i
= 0,1,...n , onde n é a diagonal de n'umero n.
Agora prove por indu,c~ao.
H'a outra maneira de provar isso sem usar indu,c~ao. Chame de S_n(x) a soma
binom(n-i , i) x^i. A soma em quest~ao 'e obtida fazendo x=1.
Mostre que S_n(x) satisfaz a recorr^encia (vamos escrever S_n(x)=S_n na
recorr^encia) S_{n+1} - S_n - xS_{n-1} = 0 . Resolva a recorr^encia e
conclua um mont~ao de coisas.
Este polinômios são velhos amigos meus. Eu geralmente prefiro escrever
P_{n+1}(x) = sum_i binom(n-i,i) x^{n - 2i}
Assim,
P_0(x) = 0
P_1(x) = 1
P_2(x) = x
P_3(x) = x^2 + 1
P_4(x) = x^3 + 2x
P_5(x) = x^4 + 3x^2 + 1
P_6(x) = x^5 + 4x^3 + 3x
P_7(x) = x^6 + 5x^4 + 6x^2 + 1
...
É interessante procurar as raízes destes polinômios.
Depois escrevo mais sobre o assunto. []s, N.
Fibonacci mais Pascal
Uma vez, vi uma curiosidade no tringulo de Pascal que me assustou bastante. o seguinte : Trace diagonais da direita para a esquerda e de cima pra baixo ( Iguas ao do diagrama de Linus Paulin ) no tringulo de Pascal e anote a soma dos termos de cada diagonal. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 A primeira diagonal tem apenas o 1. Soma = 1 A segunda tem apenas o 1. Soma = 1 A terceira tem dois 1`s. Soma = 2 A quarta tem um 2 e um 1. Soma =3 A quinta tem dois 1`s e um 3. Soma = 5 E, surpreendentemente, vemos que a Sequncia de Fibonacci ressurge no tringulo de Pascal. Ser que algum pode provar isto pra mim ?? Abraos, Villard !
Re: Fibonacci mais Pascal
Sauda,c~oes,
Vamos chamar a primeira linha de linha 0, a segunda de linha 1
etc. Assim,
temos:
Adiagonal 0 tem apenas o 1. Soma = 1=F_1
(definimos F_0=0)
A diagonal 1 tem apenas o 1. Soma = 1=F_2
A diagonal 2 tem dois 1`s. Soma = 2=F_3
A diagonal 3 tem um 2 e um 1. Soma =3=F_4
A diagonal 4 tem dois 1`s e um 3. Soma =
5=F_5
Voc^e ent~ao quer mostrar que a soma S_n de binom(n-i , i) = F_{n+1}
para i = 0,1,...n ,
onde n é a diagonal de n'umero n.
Agora prove por indu,c~ao.
H'a outra maneira de provar isso sem usar indu,c~ao. Chame de S_n(x) a
soma
binom(n-i , i) x^i. A soma em quest~ao 'e obtida fazendo x=1.
Mostre que S_n(x) satisfaz a recorr^encia (vamos escrever S_n(x)=S_n na
recorr^encia)
S_{n+1} - S_n - xS_{n-1} = 0. Resolva a recorr^encia e conclua
um mont~ao de coisas.
Em particular, coloque x=1 e x= - 1.
[ ]'s
Lu'is
-Mensagem Original-
De: Rodrigo Villard
Milet
Para: Obm
Enviada em: Sábado, 25 de Novembro de
2000 12:45
Assunto: Fibonacci mais Pascal
Uma vez, vi uma curiosidade no triângulo de Pascal
que me assustou bastante. É o seguinte : Trace diagonais da direita para a
esquerda e de cima pra baixo ( Iguas ao do diagrama de Linus Paulin ) no
triângulo de Pascal e anote a soma dos termos de cada diagonal.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
A primeira diagonal tem apenas o 1. Soma =
1
A segunda tem apenas o 1. Soma = 1
A terceira tem dois 1`s. Soma = 2
A quarta tem um 2 e um 1. Soma =3
A quinta tem dois 1`s e um 3. Soma = 5
E, surpreendentemente, vemos que a Sequência de
Fibonacci ressurge no triângulo de Pascal. Será que alguém pode provar isto
pra mim ??
Abraços,
¡ Villard
!
Re: Fibonacci mais Pascal
Title: Re: Fibonacci mais Pascal From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] Date: Sat, 25 Nov 2000 12:45:46 -0200 To: Obm [EMAIL PROTECTED] Subject: Fibonacci mais Pascal Uma vez, vi uma curiosidade no triângulo de Pascal que me assustou bastante. É o seguinte : Trace diagonais da direita para a esquerda e de cima pra baixo ( Iguas ao do diagrama de Linus Paulin ) no triângulo de Pascal e anote a soma dos termos de cada diagonal. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 A primeira diagonal tem apenas o 1. Soma = 1 A segunda tem apenas o 1. Soma = 1 A terceira tem dois 1`s. Soma = 2 A quarta tem um 2 e um 1. Soma =3 A quinta tem dois 1`s e um 3. Soma = 5 E, surpreendentemente, vemos que a Sequência de Fibonacci ressurge no triângulo de Pascal. Será que alguém pode provar isto pra mim ?? Abraços, ¡ Villard ! isso é consequencia direta da propriedade (n-1) + (n-1)= (n), pois assim cada elemento de uma (p-1) ( p ) (p) diagonal n, é a soma de elementos das diagonais n-1 e n-2, logo s(n)=s(n-1)+s(n-2), sendo s a soma. que se assemelha a sequencia de fibonacci .
