[obm-l] Numero transcendente
Ola Pessoal, Refletindo sobre a nova prova da infinitude de primos ( que eu apresentei aqui na lista ) e relacionando-a a prova do Euler ( sobre o mesmo tema ) e por outras razoes mais ligadas a Teoira dos numeros, eu me deparei com o numero abaixo e estou precisando saber se ele e trancendente ou nao : NIC = Somatorio(N=1 ate +INF)(1/(( N ! ) + 1) ). Isto e : NIC = (1/2) + (1/3) + (1/7) + (1/25) + ... + (1/(( N ! ) + 1) ) + ... Eu estou suspeitando fortemente disso devido aos conhecidos argumentos do teorema de Liouville, mas nao estou conseguindo avancar na demonstracao. Alguem saberia demonstrar essa transcedencia ou provar que esse numero e algebrico ? Alguem sabe algum fato interessante sobre esse numero ? Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1646,210104 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Numero Transcendente
Oi,Pessoal, Infelizmente o enunciado do Paulo nao esta' correto.E' preciso supor que B tambem e' algebrico,senao 2 elevado a log_2(3) =3 seria um contra-exemplo,bem como (Rz_2(2)) elevado a log_2(9) =3,onde log_2(3) e log_2(9) denotam os logaritmos de 3 e de 9 na base 2 e sao numeros irracionais(e transcendentes).Nao sei provar que a sequencia de numeros que o Paulo criou contem apenas transcendentes,mas e' muito provavel que seja verdade... Abracos, Gugu Ola Iolanda, Prazer em conhece-la ! Voce deve ser nova na Lista, nao ? Se for, seja Bem-Vinda ! Pergunto isso porque nao me lembro de nenhuma mensagem sua anterior. Eu nao estou podendo - por circuntancias alheias a minha vontade - participar da lista como gostaria, de forma que nao conheco a discussao a qual voce se refere ... Independente disso posso lhe garantir que a sua observacao e pertinente, isto e : Rz_2(2)^Rz_2(2) E IRRACIONAL. [ Rz_2(2)=raiz quadrada de 2 ] A maneira mais simples de se ver isso ( pelo que sei ) e conforme voce assinala, vale dizer, invocando o Teorema de Gelfond. Teorema de Gelfond : "A^B" e trancedente se 1) A e algebrico, diferente de zero e um 2) B e irracional No seu caso, A=B=Rz_2(2) satisfazem as condicoes do Teorema de Gelfond e, portanto, A^B e transcendente e, portanto, irracional. Voce deve ter percebido que se definirmos: T(1)=Rz_2(2) T(N+1)= Rz_2(2)^T(N), N 0 entao T(N) e transcendente - e portanto irracional - para todo N, N 1. Se nao percebeu, note que: T(3)=Rz_2(2)^T(2). Fazendo A=Rz_2(2) e B=T(2) recaimos no Teorema de Gelfond e concluimos que T(3) e transcendente e, portanto, irracional. Reiterando este raciocinio para N=4,5,... voce percebera o que falei. Duas outras observacoes simples que voce pode fazer sao: 1) T(N+1) T(N), para qualquer N 2) T(N) 2, para qualquer N Estes duas observacoes nos mostram que a sequencia definida acima e formada so por numeros transcendentes [ a excecao de T(1)=Rz_2(2) ], estritamente crescente e limitada superiormente, logo ... E CONVERGENTE ! No meio de tantos 2´s, voce saberia me provar para onde ela converge ? Bom, finalizando, devo dizer que eu conheco muito pouco sobre numeros trancendentes. Alem do Teorema acima ( de Gelfond ), conheco os Teoremas de Liouville, de Hermite e de Borel ( Voce conhece estes Teoremas ? ) e as implicacoes elementares que se faz com as equacoes de Euler, com as series de potencias e os fatos sobre "pi" e "e". Voce me tratou com uma cerimonia tal que me imaginei como um vetusto e inacessivel Catedratico ... sou simplesmente um estudante universitario, com um "montao" de duvidas e ideias na cabeca. Um abraco Paulo Santa Rita 6,0952,30062000 On Thu, 29 Jun 2000 12:35:03 PDT "=?iso-8859-1?B?SW9sYW5kYSBCcmF6428=?=" [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Pessoal, Engracado. Outro dia vi uma longa discusao na qual nao se chegou a resultado algum e que nao entendi. Parece que alguem perguntou como provar que (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e irracional. [ estou usando raiz_2(N) = raiz quadrada de N ]. Nao existe o Teorema de Gelfond ? Nao e verdade que ele diz que em A^B se: 1) A e algebrico nao nulo e diferente de 1 2) B e irracional entao: A^B e trancendente ? Nao e isso que diz o teorema de Gelfond ? Se for verdade entao em (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) temos que A=B=raiz_2(2). E portanto satisfazem as condicoes do Teorema de Gelfond. E portando (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e transcendente. Logo, irracional. Eu acompanho as respostas que o Sr da, muito boas. O sr pode dizer se estou certa ? Pode outro prof fa lista dizer se estou certa !!! Iolanda From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Problema de Geometria Date: Wed, 05 Apr 2000 08:32:59 -0400 Ola Pessoal, Saudacoes a Todos ! A desigualdade em foco decorre diretamente da DESIGUALDADE TRIANGULAR, vale dizer, promana do fato de que EM QUALQUER TRIANGULO QUALQUER LADO E MENOR QUE A SOMA DOS OUTROS DOIS. Para ver isso, sejam "a", "b" e "c" os lados de um trangulo qualquer. Entao: a b+c = a + (b+c) b+c + (b+c) = a+b+c 2*(b+c) 1/(a+b+c) 1/(2*(b+c)) = a/(a+b+c) a/(2*(b+c)) Usando um raciocinio identido, porem partindo de : b a+c, chegaremos a ... b/(a+b+c) b/(2*(a+c)) c a+b, chegaremos a ... c/(a+b+c) c/(2*(a+b)) Somando estas tres desigualdades, ficara : 1 (1/2)*( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ) ou : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2 Tal "Como Queriamos Demonstrar". A expressao a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) Nao possui somente o limitante superior, tal como acabamos de mostrar. Ela tambem admite um limitante inferior, decorrencia do fato de que as medidas dos lados de um triangulos poderem ser interpretadas como numeros reais positivos. Afirmamos que : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 3/2 Quaisquer que sejam "a", "b" e "c" reais positivos. Assim, temos : 3/2 = a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2 A desigualdade esquerda, aqui tao somente postulada,
Re: Numero Transcendente
Ola Iolanda, Prazer em conhece-la ! Voce deve ser nova na Lista, nao ? Se for, seja Bem-Vinda ! Pergunto isso porque nao me lembro de nenhuma mensagem sua anterior. Eu nao estou podendo - por circuntancias alheias a minha vontade - participar da lista como gostaria, de forma que nao conheco a discussao a qual voce se refere ... Independente disso posso lhe garantir que a sua observacao e pertinente, isto e : Rz_2(2)^Rz_2(2) E IRRACIONAL. [ Rz_2(2)=raiz quadrada de 2 ] A maneira mais simples de se ver isso ( pelo que sei ) e conforme voce assinala, vale dizer, invocando o Teorema de Gelfond. Teorema de Gelfond : "A^B" e trancedente se 1) A e algebrico, diferente de zero e um 2) B e irracional No seu caso, A=B=Rz_2(2) satisfazem as condicoes do Teorema de Gelfond e, portanto, A^B e transcendente e, portanto, irracional. Voce deve ter percebido que se definirmos: T(1)=Rz_2(2) T(N+1)= Rz_2(2)^T(N), N 0 entao T(N) e transcendente - e portanto irracional - para todo N, N 1. Se nao percebeu, note que: T(3)=Rz_2(2)^T(2). Fazendo A=Rz_2(2) e B=T(2) recaimos no Teorema de Gelfond e concluimos que T(3) e transcendente e, portanto, irracional. Reiterando este raciocinio para N=4,5,... voce percebera o que falei. Duas outras observacoes simples que voce pode fazer sao: 1) T(N+1) T(N), para qualquer N 2) T(N) 2, para qualquer N Estes duas observacoes nos mostram que a sequencia definida acima e formada so por numeros transcendentes [ a excecao de T(1)=Rz_2(2) ], estritamente crescente e limitada superiormente, logo ... E CONVERGENTE ! No meio de tantos 2´s, voce saberia me provar para onde ela converge ? Bom, finalizando, devo dizer que eu conheco muito pouco sobre numeros trancendentes. Alem do Teorema acima ( de Gelfond ), conheco os Teoremas de Liouville, de Hermite e de Borel ( Voce conhece estes Teoremas ? ) e as implicacoes elementares que se faz com as equacoes de Euler, com as series de potencias e os fatos sobre "pi" e "e". Voce me tratou com uma cerimonia tal que me imaginei como um vetusto e inacessivel Catedratico ... sou simplesmente um estudante universitario, com um "montao" de duvidas e ideias na cabeca. Um abraco Paulo Santa Rita 6,0952,30062000 On Thu, 29 Jun 2000 12:35:03 PDT "=?iso-8859-1?B?SW9sYW5kYSBCcmF6428=?=" [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Pessoal, Engracado. Outro dia vi uma longa discusao na qual nao se chegou a resultado algum e que nao entendi. Parece que alguem perguntou como provar que (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e irracional. [ estou usando raiz_2(N) = raiz quadrada de N ]. Nao existe o Teorema de Gelfond ? Nao e verdade que ele diz que em A^B se: 1) A e algebrico nao nulo e diferente de 1 2) B e irracional entao: A^B e trancendente ? Nao e isso que diz o teorema de Gelfond ? Se for verdade entao em (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) temos que A=B=raiz_2(2). E portanto satisfazem as condicoes do Teorema de Gelfond. E portando (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e transcendente. Logo, irracional. Eu acompanho as respostas que o Sr da, muito boas. O sr pode dizer se estou certa ? Pode outro prof fa lista dizer se estou certa !!! Iolanda From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Problema de Geometria Date: Wed, 05 Apr 2000 08:32:59 -0400 Ola Pessoal, Saudacoes a Todos ! A desigualdade em foco decorre diretamente da DESIGUALDADE TRIANGULAR, vale dizer, promana do fato de que EM QUALQUER TRIANGULO QUALQUER LADO E MENOR QUE A SOMA DOS OUTROS DOIS. Para ver isso, sejam "a", "b" e "c" os lados de um trangulo qualquer. Entao: a b+c = a + (b+c) b+c + (b+c) = a+b+c 2*(b+c) 1/(a+b+c) 1/(2*(b+c)) = a/(a+b+c) a/(2*(b+c)) Usando um raciocinio identido, porem partindo de : b a+c, chegaremos a ... b/(a+b+c) b/(2*(a+c)) c a+b, chegaremos a ... c/(a+b+c) c/(2*(a+b)) Somando estas tres desigualdades, ficara : 1 (1/2)*( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ) ou : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2 Tal "Como Queriamos Demonstrar". A expressao a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) Nao possui somente o limitante superior, tal como acabamos de mostrar. Ela tambem admite um limitante inferior, decorrencia do fato de que as medidas dos lados de um triangulos poderem ser interpretadas como numeros reais positivos. Afirmamos que : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 3/2 Quaisquer que sejam "a", "b" e "c" reais positivos. Assim, temos : 3/2 = a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2 A desigualdade esquerda, aqui tao somente postulada, e de demonstracao tao simples quando a da direita. Fica como Exercicio. a todos, Os Melhores Votos de Paz Profunda ! Paulo Santa Rita 4,0927,05042000 On Tue, 28 Mar 2000 06:31:02 +0200 "Marcio" [EMAIL PROTECTED] wrote: Como resolver? Sejam a,b,c lados de um triangulo. Prove que [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ] 2 Abraços, Marcio Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Numero Transcendente
Oi Pessoal, Engracado. Outro dia vi uma longa discusao na qual nao se chegou a resultado algum e que nao entendi. Parece que alguem perguntou como provar que (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e irracional. [ estou usando raiz_2(N) = raiz quadrada de N ]. Nao existe o Teorema de Gelfond ? Nao e verdade que ele diz que em A^B se: 1) A e algebrico nao nulo e diferente de 1 2) B e irracional entao: A^B e trancendente ? Nao e isso que diz o teorema de Gelfond ? Se for verdade entao em (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) temos que A=B=raiz_2(2). E portanto satisfazem as condicoes do Teorema de Gelfond. E portando (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e transcendente. Logo, irracional. Eu acompanho as respostas que o Sr da, muito boas. O sr pode dizer se estou certa ? Pode outro prof fa lista dizer se estou certa !!! Iolanda From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Problema de Geometria Date: Wed, 05 Apr 2000 08:32:59 -0400 Ola Pessoal, Saudacoes a Todos ! A desigualdade em foco decorre diretamente da DESIGUALDADE TRIANGULAR, vale dizer, promana do fato de que EM QUALQUER TRIANGULO QUALQUER LADO E MENOR QUE A SOMA DOS OUTROS DOIS. Para ver isso, sejam "a", "b" e "c" os lados de um trangulo qualquer. Entao: a b+c = a + (b+c) b+c + (b+c) = a+b+c 2*(b+c) 1/(a+b+c) 1/(2*(b+c)) = a/(a+b+c) a/(2*(b+c)) Usando um raciocinio identido, porem partindo de : b a+c, chegaremos a ... b/(a+b+c) b/(2*(a+c)) c a+b, chegaremos a ... c/(a+b+c) c/(2*(a+b)) Somando estas tres desigualdades, ficara : 1 (1/2)*( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ) ou : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2 Tal "Como Queriamos Demonstrar". A expressao a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) Nao possui somente o limitante superior, tal como acabamos de mostrar. Ela tambem admite um limitante inferior, decorrencia do fato de que as medidas dos lados de um triangulos poderem ser interpretadas como numeros reais positivos. Afirmamos que : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 3/2 Quaisquer que sejam "a", "b" e "c" reais positivos. Assim, temos : 3/2 = a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2 A desigualdade esquerda, aqui tao somente postulada, e de demonstracao tao simples quando a da direita. Fica como Exercicio. a todos, Os Melhores Votos de Paz Profunda ! Paulo Santa Rita 4,0927,05042000 On Tue, 28 Mar 2000 06:31:02 +0200 "Marcio" [EMAIL PROTECTED] wrote: Como resolver? Sejam a,b,c lados de um triangulo. Prove que [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ] 2 Abraços, Marcio Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Numero Transcendente
On Thu, 29 Jun 2000, Iolanda Brazão wrote: Oi Pessoal, Engracado. Outro dia vi uma longa discusao na qual nao se chegou a resultado algum e que nao entendi. Parece que alguem perguntou como provar que (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e irracional. [ estou usando raiz_2(N) = raiz quadrada de N ]. Nao existe o Teorema de Gelfond ? Nao e verdade que ele diz que em A^B se: 1) A e algebrico nao nulo e diferente de 1 2) B e irracional entao: A^B e trancendente ? Está correto. Nao e isso que diz o teorema de Gelfond ? Se for verdade entao em (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) temos que A=B=raiz_2(2). E portanto satisfazem as condicoes do Teorema de Gelfond. E portando (raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e transcendente. Logo, irracional. Está tudo certo, só falta demonstrar o teorema ;-) Mais seriamente, acho que o que era pedido era uma demonstração elementar e não uma referência a um teorema difícil. []s, N.
