Ola Eric e
Colegas da Lista,
Saudacoes Cordiais a Todos !
Eu nao acompanhei meticulosamente sua exposicao, mas acredito que voce quer
dizer que x(1)=X1, vale dizer : X(1) e X com um indice 1. Se for assim, a
sua solucao satisfaz as condicoes de simetria exigidas pelo problema e,
portanto, e uma solucao.
O problema nao pede esclarecimentos sobre a quantidade de solucoes, o que
e uma pena. A sua solucao e inteligente, pois toma as partes candidatas
evidentes : em X e Y, a liner; em XY a bilinear, etc.
Voce deve ter percebido que delineou uma solucao geral para o caso de um
polinomio a N variaveis. Percebe ?
Fugindo um pouco ao tema, considero ser valido registrar o seguinte :
1) Aqui e uma LISTA DE DISCUSSAO DE PROBLEMAS DE MATEMATICA, isto e, nos
estamos aqui prioritariamente para APRESENTAR E DISCUTIR problemas de
matematica.
2) O estimado Prof Nicolau, talvez em resposta a uma proposta de divisao da
lista, publicamente ampliou o escopo original da lista, manifestando-se no
sentido de nao se importar se apresentarmos e discutirmos problemas de
FISICA E COMPUTACAO. Ele mesmo, exemplificando, ja apresentou programas ( em
C, sobre problema 3N+1 ) e discutiu FISICA.
3) Os itens acima ( sobretudo o 1 ) e a essencia desta lista, de forma que
usa-la seguidamente em outro sentido significa e implica em
descaracteriza-la e, talvez, enfraquece-la.
Me parece, portanto, que deve ser uma preocupacao de todos nos manter e
amplificar estes objetivos iniciais, aprimorando a qualidade das questoes
que abordamos ...
Aquilo que publicamos esta na REDE, de forma que seguidamente serve de
referencia a outros colegas estudantes.
Neste sentido e notavel e digno de nota a solidariedade e presteza com que
duvidas nao-matematicas, tais como orientacoes em tecnicas de estudo e
procura de livros sao atendidas ... Isto mostra que a NOSSA LISTA, alem de
qualidade cientifica, indubitavelmente tem um publico de boa formacao moral.
E muito bonito ver tudo isso !
O problema abaixo caiu em uma Olimpiada Russa :
Prove que a equacao :
a^2 + b^2 + c^2 = 3abc
tem uma infinidade de solucoes (a,b,c) todas formadas por numeros inteiros
nao-negativos.
Um abraco amigo a Todos
Paulo Santa Rita
1,1146,06052001
From: Eric Campos Bastos Guedes [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: Obm-L [EMAIL PROTECTED]
Subject: Poderiam me ajudar tambem?
Date: Sun, 6 May 2001 10:38:39 -0300
Saudacoes
Acho que consegui responder algumas de minhas proprias duvidas, mas nao
tenho certeza das respostas. Gostaria que alguem que tenha conhecimento
desse assunto me dissesse se estou certo ou errado.
Uma aplicacao quadrilinear seria uma aplicacao linear com respeito a cada
uma das 4 variaveis. Por exemplo, se B eh quadrilinear entao
B(x+x',y,z,w)=B(x,y,z,w)+B(x',y,z,w)
B(x,y+y',z,w)=B(x,y,z,w)+B(x,y',z,w)
B(x,y,z+z',w)=B(x,y,z,w)+B(x,y,z',w)
B(x,y,z,w+w')=B(x,y,z,w)+B(x,y,z,w')
B(ax,y,z,w)=aB(x,y,z,w)
B(x,ay,z,w)=aB(x,y,z,w)
B(x,y,az,w)=aB(x,y,z,w)
B(x,y,z,aw)=aB(x,y,z,w)
Uma aplicacao simetrica seria uma aplicacao em que podemos permutar as
variaveis sem alterar o valor, isto eh, se B:E^3-F eh simetrica, entao:
B(x,y,z)=B(x,z,y)=B(y,x,z)=B(y,z,x)=B(z,x,y)=B(z,y,x)
Lembrando o problema que propus
Seja a funcao polinomial p: R^3 em R:
p(x,y,z)=7x^4+3x^2yz+8y^3-z^3+10xy-3x+2z+1, para todo(x,y,z) de
R^3.Determine uma aplicacao quadrilinear simetrica B4:
R^3xR^3xR^3xR^3 em R, uma trilinear B3, uma bilinear B2, uma linear B1 e
um
numero real B0 de R, de modo que:
p(v)=B4(v,v,v,v)+B3(v,v,v)+B2(v,v)+B1(v)+B0,
para todo v=(x,y,z) de R^3
Acho que uma solucao pode ser esta:
sejam
v1=(x(1),y(1),z(1))
v2=(x(2),y(2),z(2))
v3=(x(3),y(3),z(3))
v4=(x(4),y(4),z(4))
B4(v1,v2,v3,v4)= 7x(1)x(2)x(3)x(4) +
(1/4)(x(1)x(2)y(3)z(4) + x(1)x(2)z(3)y(4) +
x(1)y(2)x(3)z(4) + x(1)z(2)x(3)y(4) +
x(1)y(2)z(3)x(4) + x(1)z(2)y(3)x(4) +
y(1)x(2)x(3)z(4) + z(1)x(2)x(3)y(4) +
y(1)x(2)z(3)x(4) + z(1)x(2)y(3)x(4) +
y(1)z(2)x(3)x(4) + z(1)y(2)x(3)x(4))
Neste caso, B4 eh (seria) quadrilinear simetrica e se v=(x,y,z), entao
B4(v,v,v,v)=7x^4+3x^2yz
Alem disso
B3(v1,v2,v3)=8y(1)y(2)y(3) - z(1)z(2)z(3) eh trilinear simetrica e
B3(v,v,v)=8y^3-z^3;
B2(v1,v2) = 5x(1)y(2) + 5x(2)y(1) eh bilinear simetrica e B2(v,v)= 10xy
B1(v1) = -3x(1) + 2z(1) eh linear e B(v) = -3x + 2z
tomando B0=1 temos:
B4(v,v,v,v)+B3(v,v,v)+B2(v,v)+B1(v)+B0=
7x^4+3x^2yz+8y^3-z^3+10xy-3x+2z+1=p(x,y,z), para todos x,y,z em R.
Gostaria de saber se a solucao estah correta.
Grato.
Eric.
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