Re: Questões de combinatória/jogos
Ola Pessoal,
Das duas belas questoes abaixo - aplicacoes de variantes do principio da
casa dos pombos, apresentadas pelo nosso colega Marcelo Rufino - a segunda
ainda nao teve uma solucao apresentada aqui na lista. Talvez a observacao
abaixo possa ajudar ...
Supondo que as linhas estao numeradas de 1 ate 1993 e, as colunas, de 1 ate
1994, sejam L(i) e C(j) as somas respectivas da linha i e da coluna j.
Claramente que, apos o encerramento do jogo :
L(1) + L(2) + ... + L(1993) = C(1)+ C(2) + ... + C(1994)
Portanto, um mesmo numero precisara ser distribuido tanto em 1993 casas ( as
linhas ), quanto em 1994 outras casas ( as colunas ). Evidentemente que se
este numero for multiplo de 1994 e distribuido uniformemente entre as
colunas, pelo principio da casa dos pombos, havera ao menos uma linha que
contera uma ( ou mais ) unidade a mais que a maior quantidade que esta nas
colunas...
A titulo de exemplificacao:
1994 numeros 1´s, distribuidos uniformemente em 1994 casas (colunas),
implica em uma unidade em cada coluna. Todavia, quando distribuirmos os
mesmo 1994 em 1993 casas ( as linhas ), havera ao menos uma casa com mais de
uma unidade.
Os jogadores jogam alternadamente, logo :
1) Pode algum jogador forcar esta distribuicao uniforme ? Como ?
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,1302,28062001
>From: "Marcelo Rufino de Oliveira" <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: <[EMAIL PROTECTED]>
>Subject: Questões de combinatória/jogos
>Date: Thu, 21 Jun 2001 10:03:31 -0300
>
>Abaixo vão 2 problemas de combinatória/jogos que eu ainda não consegui
>fazer.
>Já mandei estas mesmas duas questões anteriormente para a lista mas
>infelizmente ninguém se manifestou... vamos ver se desta vez alguém pode me
>ajudar.
>Já agradeço, de antemão, aos participantes da lista que tentarem fazer
>algum
>dos problemas, pois estes não são elementares.
>
>1) O conjunto {1, 2, ..., 49} é particionado em 3 subconjuntos disjuntos.
>Mostre que ao menos um dos subconjuntos possui três números a, b e c tais
>que a + b = c.
>
>2) Dado um retângulo 1993x1994, dois jogadores (um de cada vez) escreve os
>números 0 ou 1 nas casas. Quando o tabuleiro está completo seja A o máximo
>valor das somas das 1993 linhas e B o máximo valor das somas das colunas.
>No
>caso em que A > B o primeiro ganha, no outro caso B ganha. Quem possui uma
>estratégia vencedora?
>
>Falou,
>Marcelo Rufino
>
>
>
_
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En: Questões de combinatória/jogos
Faço minhas, as palavras do Rodrigo. Acho isso muito pieguísmo. Davidson -Mensagem original- De: Rodrigo Villard Milet <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Terça-feira, 26 de Junho de 2001 12:59 Assunto: Re: Questões de combinatória/jogos Por que você sempre se esforça ao máximo para engrandecer os "famosos" dessa lista ?? Não entendo ¡ Villard ! -Mensagem original- De: Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Segunda-feira, 25 de Junho de 2001 16:36 Assunto: Re: Questões de combinatória/jogos >Ola Prof Morgado, > >1) De forma alguma posso concordar com o adjetivo de "idiota"... Para ver >isso, suponha que o Prof Morgado e um idiota. Logo, os seus livros seriam, >ao menos, mediocres. Consequentemente, nos, que estudamos por eles, seriamos >todos imbecis ... UM ABSURDO ! > >Portanto, e insustentavel a nossa tese e somos obrigados a admitir que o >Prof Morgado nao e idiota. > >Agora, suponha que o Prof Morgado e genial. Logo, os seus livros sao, ao >menos, excelentes. Nos, que estudamos por eles, teriamos aprendido muitas >coisas. Logo, seriamos ao menos bons alunos... UMA CONCLUSAO QUE NAO ENTRA >EM DESACORDO COM A REALIDADE. > >Portanto, existe uma grande probabilidade do Prof Morgado ser genial. > >2)Realmente concordo que a forma a+b=c seria mais direta. Eu fiz assim, >partindo de 48=1+47=2+46=3+45=...24=24 e usando o principio da casa dos >pombos, tal como o Prof usou. > >Um abraco >Paulo Santa Rita >2,1607,25062001 > > > > > > >>From: Augusto Morgado <[EMAIL PROTECTED]> >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>To: [EMAIL PROTECTED] >>Subject: Re: Questões de combinatória/jogos >>Date: Mon, 25 Jun 2001 15:45:02 -0300 >> >>É, mas o idiota aqui teria poupado muito esforço e teria sido muito mais >>claro se tivesse começado escrevendo a+b=c como a=c-b. >>Morgado >> >>Paulo Santa Rita wrote: >> > >> > Ola Pessoal, >> > >> > A solucao abaixo - do Prof Morgado - e muito bonita ! A linha de >>raciocinio >> > e muito semelhante a que leva a solucao de um outro problema olimpico, >>cujo >> > enunciado segue abaixo : >> > >> > Num poligono convexo de N lados, >> > >> > 1)Dois lados quaisquer nao sao paralelos >> > 2)Duas diagonais quaisquer nao sao paralelas >> > >> > Quantos pontos no exterior do poligono sao pontos de inteseccao de >>diagonais >> > ? >> > >> > OBS : E dado que tres ou mais diagonais nunca se cruzam em um mesmo >>ponto. >> > >> > >Leia a1 como a indice 1. >> > >Observe inicialmente que a diferença entre dois elementos >> > >distintos(maior-menor) do conjunto é ainda um relemento do conjunto. >> > >Fixe a1=1. Considere as 48 diferenças a2-a1,..., a48-a1.Algum dos três >> > >conjuntos conterá pelo menos dezesseis dessas 48 diferenças. Sejam b1, >> > >b2,...,b16 essas diferenças e seja X o conjunto ao qual elas pertencem. >> > >Considere as 15 diferenças b2-b1=c1,...,b16-b1=c15. >> > >Se alguma dessa diferenças pertencer a X, X conterá b1, bk-b1 e bk, >>isto >> > >é, as-a1, aj-a1-(as-a1)=aj-as e aj-a1; fim, pois o terceiro é a soma >>dos >> > >dois primeiros. >> > > >> > >Caso contrário as 15 diferenças pertencerao aos outros dois conjuntos Y >> > >e Z, havendo em um dos conjuntos, digamos Y, pelo menos 8 dessas >> > >diferenças.Chamemos essas diferenças de d1,...,d8.Considere as 7 >> > >diferenças d2-d1,...,d8-d1.Note que essas diferenças sao diferenças >> > >entre bês e portanto diferenças entre elementos da sequencia dos a, >> > >estando ja excluida a possibilidade de alguma delas pertencer a X. >> > >Se alguma dessa diferenças pertencer a Y, Y conterá d1, dp-d1 e dp, >>isto >> > >é, bm-b1=ar-a1-(as-a1)=ar-as, bn-a1-(bm-b1)=bn-bm=(au-a1)-(ar-a1)=au-ar >> > >e bn-b1=(au-a1)-(as-a1)=au-as; fim, pois o terceiro é a soma dos dois >> > >primeiros. >> > >Caso contrário, as 7 diferenças d2-d1=e1,...,d8-d1=e7 pertencerao a Z. >> > >As seis diferenças e2-e1,...,e7-e1 pertencerao a Z pois sao diferenças >> > >entre termos da sequencia dos d, estando ja excluida a possibilidade de >> > >pertencerem a Y. Entao Z contera e1, ef-e1, ef ...fim, pois o terceiro >>é >> > >a soma dos dois primeiros. >> > > >> > > >> > > >> > >Alexandre Tessarollo wrote
Re: Questões de combinatória/jogos
Por que você sempre se esforça ao máximo para engrandecer os "famosos" dessa lista ?? Não entendo ¡ Villard ! -Mensagem original- De: Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Segunda-feira, 25 de Junho de 2001 16:36 Assunto: Re: Questões de combinatória/jogos >Ola Prof Morgado, > >1) De forma alguma posso concordar com o adjetivo de "idiota"... Para ver >isso, suponha que o Prof Morgado e um idiota. Logo, os seus livros seriam, >ao menos, mediocres. Consequentemente, nos, que estudamos por eles, seriamos >todos imbecis ... UM ABSURDO ! > >Portanto, e insustentavel a nossa tese e somos obrigados a admitir que o >Prof Morgado nao e idiota. > >Agora, suponha que o Prof Morgado e genial. Logo, os seus livros sao, ao >menos, excelentes. Nos, que estudamos por eles, teriamos aprendido muitas >coisas. Logo, seriamos ao menos bons alunos... UMA CONCLUSAO QUE NAO ENTRA >EM DESACORDO COM A REALIDADE. > >Portanto, existe uma grande probabilidade do Prof Morgado ser genial. > >2)Realmente concordo que a forma a+b=c seria mais direta. Eu fiz assim, >partindo de 48=1+47=2+46=3+45=...24=24 e usando o principio da casa dos >pombos, tal como o Prof usou. > >Um abraco >Paulo Santa Rita >2,1607,25062001 > > > > > > >>From: Augusto Morgado <[EMAIL PROTECTED]> >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>To: [EMAIL PROTECTED] >>Subject: Re: Questões de combinatória/jogos >>Date: Mon, 25 Jun 2001 15:45:02 -0300 >> >>É, mas o idiota aqui teria poupado muito esforço e teria sido muito mais >>claro se tivesse começado escrevendo a+b=c como a=c-b. >>Morgado >> >>Paulo Santa Rita wrote: >> > >> > Ola Pessoal, >> > >> > A solucao abaixo - do Prof Morgado - e muito bonita ! A linha de >>raciocinio >> > e muito semelhante a que leva a solucao de um outro problema olimpico, >>cujo >> > enunciado segue abaixo : >> > >> > Num poligono convexo de N lados, >> > >> > 1)Dois lados quaisquer nao sao paralelos >> > 2)Duas diagonais quaisquer nao sao paralelas >> > >> > Quantos pontos no exterior do poligono sao pontos de inteseccao de >>diagonais >> > ? >> > >> > OBS : E dado que tres ou mais diagonais nunca se cruzam em um mesmo >>ponto. >> > >> > >Leia a1 como a indice 1. >> > >Observe inicialmente que a diferença entre dois elementos >> > >distintos(maior-menor) do conjunto é ainda um relemento do conjunto. >> > >Fixe a1=1. Considere as 48 diferenças a2-a1,..., a48-a1.Algum dos três >> > >conjuntos conterá pelo menos dezesseis dessas 48 diferenças. Sejam b1, >> > >b2,...,b16 essas diferenças e seja X o conjunto ao qual elas pertencem. >> > >Considere as 15 diferenças b2-b1=c1,...,b16-b1=c15. >> > >Se alguma dessa diferenças pertencer a X, X conterá b1, bk-b1 e bk, >>isto >> > >é, as-a1, aj-a1-(as-a1)=aj-as e aj-a1; fim, pois o terceiro é a soma >>dos >> > >dois primeiros. >> > > >> > >Caso contrário as 15 diferenças pertencerao aos outros dois conjuntos Y >> > >e Z, havendo em um dos conjuntos, digamos Y, pelo menos 8 dessas >> > >diferenças.Chamemos essas diferenças de d1,...,d8.Considere as 7 >> > >diferenças d2-d1,...,d8-d1.Note que essas diferenças sao diferenças >> > >entre bês e portanto diferenças entre elementos da sequencia dos a, >> > >estando ja excluida a possibilidade de alguma delas pertencer a X. >> > >Se alguma dessa diferenças pertencer a Y, Y conterá d1, dp-d1 e dp, >>isto >> > >é, bm-b1=ar-a1-(as-a1)=ar-as, bn-a1-(bm-b1)=bn-bm=(au-a1)-(ar-a1)=au-ar >> > >e bn-b1=(au-a1)-(as-a1)=au-as; fim, pois o terceiro é a soma dos dois >> > >primeiros. >> > >Caso contrário, as 7 diferenças d2-d1=e1,...,d8-d1=e7 pertencerao a Z. >> > >As seis diferenças e2-e1,...,e7-e1 pertencerao a Z pois sao diferenças >> > >entre termos da sequencia dos d, estando ja excluida a possibilidade de >> > >pertencerem a Y. Entao Z contera e1, ef-e1, ef ...fim, pois o terceiro >>é >> > >a soma dos dois primeiros. >> > > >> > > >> > > >> > >Alexandre Tessarollo wrote: >> > > > >> > > > Marcelo Rufino de Oliveira wrote: >> > > > >> > > > > Abaixo vão 2 problemas de combinatória/jogos que eu ainda não >>consegui >> > > > > fazer. >> > > > > Já mandei est
Re: Questões de combinatória/jogos
Ola Prof Morgado,
1) De forma alguma posso concordar com o adjetivo de "idiota"... Para ver
isso, suponha que o Prof Morgado e um idiota. Logo, os seus livros seriam,
ao menos, mediocres. Consequentemente, nos, que estudamos por eles, seriamos
todos imbecis ... UM ABSURDO !
Portanto, e insustentavel a nossa tese e somos obrigados a admitir que o
Prof Morgado nao e idiota.
Agora, suponha que o Prof Morgado e genial. Logo, os seus livros sao, ao
menos, excelentes. Nos, que estudamos por eles, teriamos aprendido muitas
coisas. Logo, seriamos ao menos bons alunos... UMA CONCLUSAO QUE NAO ENTRA
EM DESACORDO COM A REALIDADE.
Portanto, existe uma grande probabilidade do Prof Morgado ser genial.
2)Realmente concordo que a forma a+b=c seria mais direta. Eu fiz assim,
partindo de 48=1+47=2+46=3+45=...24=24 e usando o principio da casa dos
pombos, tal como o Prof usou.
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1607,25062001
>From: Augusto Morgado <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: Re: Questões de combinatória/jogos
>Date: Mon, 25 Jun 2001 15:45:02 -0300
>
>É, mas o idiota aqui teria poupado muito esforço e teria sido muito mais
>claro se tivesse começado escrevendo a+b=c como a=c-b.
>Morgado
>
>Paulo Santa Rita wrote:
> >
> > Ola Pessoal,
> >
> > A solucao abaixo - do Prof Morgado - e muito bonita ! A linha de
>raciocinio
> > e muito semelhante a que leva a solucao de um outro problema olimpico,
>cujo
> > enunciado segue abaixo :
> >
> > Num poligono convexo de N lados,
> >
> > 1)Dois lados quaisquer nao sao paralelos
> > 2)Duas diagonais quaisquer nao sao paralelas
> >
> > Quantos pontos no exterior do poligono sao pontos de inteseccao de
>diagonais
> > ?
> >
> > OBS : E dado que tres ou mais diagonais nunca se cruzam em um mesmo
>ponto.
> >
> > >Leia a1 como a indice 1.
> > >Observe inicialmente que a diferença entre dois elementos
> > >distintos(maior-menor) do conjunto é ainda um relemento do conjunto.
> > >Fixe a1=1. Considere as 48 diferenças a2-a1,..., a48-a1.Algum dos três
> > >conjuntos conterá pelo menos dezesseis dessas 48 diferenças. Sejam b1,
> > >b2,...,b16 essas diferenças e seja X o conjunto ao qual elas pertencem.
> > >Considere as 15 diferenças b2-b1=c1,...,b16-b1=c15.
> > >Se alguma dessa diferenças pertencer a X, X conterá b1, bk-b1 e bk,
>isto
> > >é, as-a1, aj-a1-(as-a1)=aj-as e aj-a1; fim, pois o terceiro é a soma
>dos
> > >dois primeiros.
> > >
> > >Caso contrário as 15 diferenças pertencerao aos outros dois conjuntos Y
> > >e Z, havendo em um dos conjuntos, digamos Y, pelo menos 8 dessas
> > >diferenças.Chamemos essas diferenças de d1,...,d8.Considere as 7
> > >diferenças d2-d1,...,d8-d1.Note que essas diferenças sao diferenças
> > >entre bês e portanto diferenças entre elementos da sequencia dos a,
> > >estando ja excluida a possibilidade de alguma delas pertencer a X.
> > >Se alguma dessa diferenças pertencer a Y, Y conterá d1, dp-d1 e dp,
>isto
> > >é, bm-b1=ar-a1-(as-a1)=ar-as, bn-a1-(bm-b1)=bn-bm=(au-a1)-(ar-a1)=au-ar
> > >e bn-b1=(au-a1)-(as-a1)=au-as; fim, pois o terceiro é a soma dos dois
> > >primeiros.
> > >Caso contrário, as 7 diferenças d2-d1=e1,...,d8-d1=e7 pertencerao a Z.
> > >As seis diferenças e2-e1,...,e7-e1 pertencerao a Z pois sao diferenças
> > >entre termos da sequencia dos d, estando ja excluida a possibilidade de
> > >pertencerem a Y. Entao Z contera e1, ef-e1, ef ...fim, pois o terceiro
>é
> > >a soma dos dois primeiros.
> > >
> > >
> > >
> > >Alexandre Tessarollo wrote:
> > > >
> > > > Marcelo Rufino de Oliveira wrote:
> > > >
> > > > > Abaixo vão 2 problemas de combinatória/jogos que eu ainda não
>consegui
> > > > > fazer.
> > > > > Já mandei estas mesmas duas questões anteriormente para a lista
>mas
> > > > > infelizmente ninguém se manifestou... vamos ver se desta vez
>alguém
> > >pode me
> > > > > ajudar.
> > > > > Já agradeço, de antemão, aos participantes da lista que tentarem
>fazer
> > >algum
> > > > > dos problemas, pois estes não são elementares.
> > > > >
> > > > > 1) O conjunto {1, 2, ..., 49} é particionado em 3 subconjuntos
> > >disjuntos.
> > > > > Mostre que ao menos um dos subconjuntos possui três números a, b e
>c
> > >tais
> > > > > que a + b = c.
> > > > >
> > > >
&
Re: Questões de combinatória/jogos
Ola Pessoal,
A solucao abaixo - do Prof Morgado - e muito bonita ! A linha de raciocinio
e muito semelhante a que leva a solucao de um outro problema olimpico, cujo
enunciado segue abaixo :
Num poligono convexo de N lados,
1)Dois lados quaisquer nao sao paralelos
2)Duas diagonais quaisquer nao sao paralelas
Quantos pontos no exterior do poligono sao pontos de inteseccao de diagonais
?
OBS : E dado que tres ou mais diagonais nunca se cruzam em um mesmo ponto.
>Leia a1 como a indice 1.
>Observe inicialmente que a diferença entre dois elementos
>distintos(maior-menor) do conjunto é ainda um relemento do conjunto.
>Fixe a1=1. Considere as 48 diferenças a2-a1,..., a48-a1.Algum dos três
>conjuntos conterá pelo menos dezesseis dessas 48 diferenças. Sejam b1,
>b2,...,b16 essas diferenças e seja X o conjunto ao qual elas pertencem.
>Considere as 15 diferenças b2-b1=c1,...,b16-b1=c15.
>Se alguma dessa diferenças pertencer a X, X conterá b1, bk-b1 e bk, isto
>é, as-a1, aj-a1-(as-a1)=aj-as e aj-a1; fim, pois o terceiro é a soma dos
>dois primeiros.
>
>Caso contrário as 15 diferenças pertencerao aos outros dois conjuntos Y
>e Z, havendo em um dos conjuntos, digamos Y, pelo menos 8 dessas
>diferenças.Chamemos essas diferenças de d1,...,d8.Considere as 7
>diferenças d2-d1,...,d8-d1.Note que essas diferenças sao diferenças
>entre bês e portanto diferenças entre elementos da sequencia dos a,
>estando ja excluida a possibilidade de alguma delas pertencer a X.
>Se alguma dessa diferenças pertencer a Y, Y conterá d1, dp-d1 e dp, isto
>é, bm-b1=ar-a1-(as-a1)=ar-as, bn-a1-(bm-b1)=bn-bm=(au-a1)-(ar-a1)=au-ar
>e bn-b1=(au-a1)-(as-a1)=au-as; fim, pois o terceiro é a soma dos dois
>primeiros.
>Caso contrário, as 7 diferenças d2-d1=e1,...,d8-d1=e7 pertencerao a Z.
>As seis diferenças e2-e1,...,e7-e1 pertencerao a Z pois sao diferenças
>entre termos da sequencia dos d, estando ja excluida a possibilidade de
>pertencerem a Y. Entao Z contera e1, ef-e1, ef ...fim, pois o terceiro é
>a soma dos dois primeiros.
>
>
>
>Alexandre Tessarollo wrote:
> >
> > Marcelo Rufino de Oliveira wrote:
> >
> > > Abaixo vão 2 problemas de combinatória/jogos que eu ainda não consegui
> > > fazer.
> > > Já mandei estas mesmas duas questões anteriormente para a lista mas
> > > infelizmente ninguém se manifestou... vamos ver se desta vez alguém
>pode me
> > > ajudar.
> > > Já agradeço, de antemão, aos participantes da lista que tentarem fazer
>algum
> > > dos problemas, pois estes não são elementares.
> > >
> > > 1) O conjunto {1, 2, ..., 49} é particionado em 3 subconjuntos
>disjuntos.
> > > Mostre que ao menos um dos subconjuntos possui três números a, b e c
>tais
> > > que a + b = c.
> > >
> >
> > Hum, vamos ver...
> > 1a hipótese: Separamos de acordo com o resto na divisão por 3.
> >
> > Assim, temos o grupo que resta 1, o que resta 2 e o que não resta nada.
>Neste
> > último, basta pegar números a=3k, b=3j e c=3(k+j). Naturalmente, k e j
>são
> > naturais não-nulos, k é diferente de j e k+j<17. (Isto para que a,b e c
>estejam
> > no conjunto original {1,..,49})
> >
> > Ih, tô vendo que vai dar um certo trabalho e eu tenho aula daqui a
>dez
> > minutos... Bem, veja se consegue mostrar o que o problema pede pensando
>nessas
> > possibilidades. Talvez tenha uma maneira mais direta, não sei. Vou ver
>se até
> > amanhã eu consigo resolver e digitar tudo.
> >
> > []'s
> >
> > Alexandre Tessarollo
> >
> > PS: Sei que não é a resolução completa, mas de repente ajuda... :-)
> >
> > >
> > > 2) Dado um retângulo 1993x1994, dois jogadores (um de cada vez)
>escreve os
> > > números 0 ou 1 nas casas. Quando o tabuleiro está completo seja A o
>máximo
> > > valor das somas das 1993 linhas e B o máximo valor das somas das
>colunas. No
> > > caso em que A > B o primeiro ganha, no outro caso B ganha. Quem possui
>uma
> > > estratégia vencedora?
> > >
> > > Falou,
> > > Marcelo Rufino
_
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Re: Questões de combinatória/jogos
Marcelo Rufino de Oliveira wrote:
> Abaixo vão 2 problemas de combinatória/jogos que eu ainda não consegui
> fazer.
> Já mandei estas mesmas duas questões anteriormente para a lista mas
> infelizmente ninguém se manifestou... vamos ver se desta vez alguém pode me
> ajudar.
> Já agradeço, de antemão, aos participantes da lista que tentarem fazer algum
> dos problemas, pois estes não são elementares.
>
> 1) O conjunto {1, 2, ..., 49} é particionado em 3 subconjuntos disjuntos.
> Mostre que ao menos um dos subconjuntos possui três números a, b e c tais
> que a + b = c.
>
Hum, vamos ver...
1a hipótese: Separamos de acordo com o resto na divisão por 3.
Assim, temos o grupo que resta 1, o que resta 2 e o que não resta nada. Neste
último, basta pegar números a=3k, b=3j e c=3(k+j). Naturalmente, k e j são
naturais não-nulos, k é diferente de j e k+j<17. (Isto para que a,b e c estejam
no conjunto original {1,..,49})
Ih, tô vendo que vai dar um certo trabalho e eu tenho aula daqui a dez
minutos... Bem, veja se consegue mostrar o que o problema pede pensando nessas
possibilidades. Talvez tenha uma maneira mais direta, não sei. Vou ver se até
amanhã eu consigo resolver e digitar tudo.
[]'s
Alexandre Tessarollo
PS: Sei que não é a resolução completa, mas de repente ajuda... :-)
>
> 2) Dado um retângulo 1993x1994, dois jogadores (um de cada vez) escreve os
> números 0 ou 1 nas casas. Quando o tabuleiro está completo seja A o máximo
> valor das somas das 1993 linhas e B o máximo valor das somas das colunas. No
> caso em que A > B o primeiro ganha, no outro caso B ganha. Quem possui uma
> estratégia vencedora?
>
> Falou,
> Marcelo Rufino
Questões de combinatória/jogos
Abaixo vão 2 problemas de combinatória/jogos que eu ainda não consegui
fazer.
Já mandei estas mesmas duas questões anteriormente para a lista mas
infelizmente ninguém se manifestou... vamos ver se desta vez alguém pode me
ajudar.
Já agradeço, de antemão, aos participantes da lista que tentarem fazer algum
dos problemas, pois estes não são elementares.
1) O conjunto {1, 2, ..., 49} é particionado em 3 subconjuntos disjuntos.
Mostre que ao menos um dos subconjuntos possui três números a, b e c tais
que a + b = c.
2) Dado um retângulo 1993x1994, dois jogadores (um de cada vez) escreve os
números 0 ou 1 nas casas. Quando o tabuleiro está completo seja A o máximo
valor das somas das 1993 linhas e B o máximo valor das somas das colunas. No
caso em que A > B o primeiro ganha, no outro caso B ganha. Quem possui uma
estratégia vencedora?
Falou,
Marcelo Rufino
