Re: [obm-l] A PROVA DA IRRACIONALIDADE!
> A propósito, como poderá explicar aos alunos porque > 10^(1/3) é irracional, sem saber o seu valor certo? > Mas o valor certo eh sabido: raiz cubica de 10 !!! O fato de nao se conhecer todos os algarismos da representacao decimal desse numero eh irrelevante. Ao dizer que conhecemos um numero apenas quando conhecemos sua representacao decimal completa, estamos nos limitando a um subconjunto dos racionais, o que pode ser suficiente para as atividades comerciais e do dia a dia. No entanto, ao fazer isso, estamos limitando bastante nossos horizontes dentro da matematica. Enfim, respondendo a indagacao feita acima, me parece que a melhor maneira eh explicar antes o teorema fundamental da aritmetica (que estabelece a existencia e a unicidade da fatoracao em primos nos inteiros), a partir do qual todas as irracionalidades do tipo (m/n)^(p/q) com m, n, p, q inteiros podem ser demonstradas de forma sistematica. Outra vantagem eh que o mesmo teorema permite que se prove que numeros tais como log_m(n) (logaritmo de n na base m) sao irracionais a menos que m seja uma potencia racional de n. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] A PROVA DA IRRACIONALIDADE!
>A propósito, como poderá explicar aos alunos porque 10^(1/3) é irracional, >sem >saber o seu valor certo? > >Abraços! De modo geral: se n>1 e p>1 sao inteiros tais que nao exista nenhum inteiro m tal que m^p = n, entao n^(1/p) eh irracional. Uma prova para este fato segue passos similares aa de que raiz(2) eh irracional, com um pouco mais de detalhes. Outra possivel prova baseia-se no fato de que n^(1/p) eh raiz do polinomio P(x) = x^p - n = 0. O teorema das raizes racionais diz que se o racional r dado pela fracao irredutivel r =q1/q2 for raiz de P, entao q1 divide -n e q2 divide 1. Logo, q2 = +1 ou -1 e q1 eh entao um inteiro divisor de n. Mas como nao existe nenhum inteiro m tal que m^p = n, concluimos que nenhum racional eh raiz de P. Como n^(1/p) eh raiz de P, segue-se que eh irracional. Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] A PROVA DA IRRACIONALIDADE!
> A propósito, como poderá explicar aos alunos porque 10^(1/3) é irracional, sem > saber o seu valor certo? Método de Euclides Supondo 10^(1/3)=a/b, para a e b naturais e a/b na forma irredutível => 10.b^3=a^3 Assim temos que a é multiplo de 10 logo a=10k para algum k. Daí 10.b^3=(10k)^3=1000k^3=> b^3=100k^3 logo b é multiplo de 100. Assim temos que a e b são multiplos logo chegamos a uma contradição na hipótese de indução que afirmava que 10^ (1/3) podia ser escrito como a/b , a e b naturais com a/b irredutível, logo 10^(1/3) pertence a R-Q Até mais. Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] A PROVA DA IRRACIONALIDADE!
Totalmente analogo a demonstraçao de 2^1/2: Suponha racional, assim 10^1/3 é da forma p/q, e podemos considerar mdc(p,q)=1 sem perdas. Assim p^3/q^3=10 -> p^3=2*5*q^3, logo p^3 é par, logo p é da forma 2*k, Entao: 8*k^3=2*5*q^3 -> 5*q^3=2*2*k^3, logo 5*q^3 é par, logo q é da forma 2*j, absurdo pois mdc(p,q)=1. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] A PROVA DA IRRACIONALIDADE! Date: Wed, 13 Oct 2004 21:35:24 -0300 A prova da irracionalidade da raiz de 2 é simples, elegante e muito instrutiva pois utiliza o chamado método de redução ao absurdo. Este tipo de demonstração também costuma ser denominado prova por contradição e, em sua essência, constitui-se em supor o contrário daquilo que se deseja demonstrar e concluir que tal negativa leva a algum absurdo ou contradição. Se o contrário de algo é um absurdo, logo aquele algo é verdadeiro: esta é a lógica do método. (Alguns importantes teoremas dos Elementos foram demonstrados por Euclides utilizando a idéia de redução ao absurdo, o que comprova que ela já era conhecida desde os primórdios da Matemática dedutiva). Suponhamos, então, que 2^1/2 seja um número de forma a/b, com a e b inteiros, e que esta fração esteja reduzida a sua forma mais simples, ou seja, que a e b não tenham fatores comuns (esta simplificação é sempre possível, como sabemos da Aritmética). Assim a/b = 2^1/2 e a^2/b^2 = 2 então, a^2 = 2b^2 significa que a^2 é um número par, de onde se conclui que "a" também é par, digamos 2p. Desta forma (2p)^2 = 2b^2 então, 2p^2 = b^2. Esta igualdade indica que b^2 é par, ou seja, que b é par. Logo a e b são pares mas isto é uma contradição com nossa hipótese inicial de que a e b não têm fatores comuns. Como a única causa possível de termos chegado a este absurdo foi a suposição de 2^1/2 = a/b, fica provado que 2^1/2 não pode ser o quociente entre dois números inteiros. Após a raiz de 2, foram descobertos infinitos outros números irracionais e as coisas ficaram assim até que, no século XVII, principalmente devido às técnicas do Cálculo Diferencial, funções e números passaram a poder ser expressos através das séries infinitas. A propósito, como poderá explicar aos alunos porque 10^(1/3) é irracional, sem saber o seu valor certo? Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
