Se p é um primo diferente de 5, os restos dos outros 2 por 5 são os mesmos que
os de p^2-1 e p^2+1 respectivamente. Se os 3 números são primos, nenhum deles é
múltiplo de 5. Daí o produto (p^2-1)(p^2+1) não pode ser múltiplo de 5. Mas
esse produto é p^4-1. Mas o pequeno teorema de Fermat garante que 5 divide
p^4-1 se p for diferente de 4. Aí o problema acaba.
Se vc não quiser usar o pequeno teorema de Fermat, é só verificar que para r=1,
2, 3 e 4, onde r é o resto de p por 5, ou 4p^2-1 ou 6p^2-1 é múltiplo de 5.
Acho a primeira solução melhor pq mostra de onde o autor tirou a idéia de fazer
a questão.
-Mensagem Original-
De: "Marcelo de Moura Costa"
Enviada em: 26/09/2016 06:19
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"
Assunto: [obm-l] Ajuda em Aritmética
Bom dia a todos, um anulo me apresentou esse problema e confesso que pela dica
não consegui interpretá-lo corretamente e fiquei muito curioso como o mesmo,
será que alguém poderia me ajudar?
O problema é:
Mostre que somente para p=5, os números p, 4p^2+1 e 6p^2+1 serão primos. (Dica:
analise os restos da divisão de p por 5)
Agradeço a atenção.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.