Vou tentar responder... no ítem (a), vou supor que vc conhece a
definição de função contínua com épsilons e deltas. A afirmação é que
f é contínua em todo o plano. Comece notando que quando (x,y) é
diferente de (0,0) temos um quociente
bem definido, isto é, sqrt(x^2+y^2) existe e é contínua e mais, a
função x.y é um polinômio (logo contínua) e f é um quociente entre
funções contínuas, de node segue que f é contínua. Resta ver o que
acontece na origem.
Dado epsilon0 tome delta 2.epsilon (este valor foi encontrado durante as
contas. Já vou mostrar!). Assim, se |(x,y)-(0,0)| delta precisamos avaliar
|f(x,y)-f(0,0)|
Antes disto, note que (x-y)^2=0. Mas
(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=0 = xy= (x^2+y^2)/2 para quaisquer x,y reais, e
|(x,y)-(0,0)|=|(x,y)|=sqrt(x^2+y^2) . Com isso,
|f(x,y)-f(0,0)|=|(xy)/sqrt(x^2+y^2)|= |(x^2+y^2)/2sqrt(x^2+y^2)|
= |sqrt(x^2+y^2)|/2 = delta/2 epsilon.
Logo f também é contínua na origem. Isto fecha a primeira afirmação.
Quanto as outras, é possível calcular as derivadas parciais fora da
origem através da regra da cadeia (e aí é só contas!), já na origem vc
usa a definição
de derivada parcial. Os outros ítens seguem a mesma idéia. Tô um pouco
cansado agora; se não conseguir manda dinôvo...
Citando Anselmo Sousa [EMAIL PROTECTED]:
Bom, apesar de ainda ter dúvida na outra questão, segue mais uma que
espero elucidar alguns pontos dessa fascinante parte do Cálculo de
vez.
Essa é em homenagem a professora Carla, lá da E.N.C.E.
[Questão] Considere a seguinte função:
| (xy)/sqrt(x^2+y^2) se (x,y)=!(0,0)
f(x,y)=
| 0se(x,y)=(0,0)
a) determine em que pontos f é contínua;
b) determine f_x(x,y), f_y(x,y) e seus domínios;
c) determine f_xy(-1,2).
algumas notações:
f_x é a derivada parcial de f em relação a x. Do mesmo modo f_y é a
derivada parcial de f em relação a y.
f_xy é a derivada parcial de f_y em relação a x.
Colegas, por favor enviem solução completa, peço encarecidamente,
para que não fique dúvidas.
um grande abraço, espero que não esteja abusando.
O muito estudar é enfado para a carne.
(Rei Slomão)
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Arlane Manoel S Silva
MAT-IME-USP
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