É isso aí, grande Bernardo.
Obrigado .
Artur
Enviado de meu telefone Nokia
-Mensagem original-
De: Bernardo Freitas Paulo da Costa
Enviado: 13/05/2011, 02:28
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Esta função complexa tem que ser um mapeamento
afim?
2011/5/13 Artur Steiner artur_stei...@hotmail.com:
Prezados amigos
Oi Artur !
Suponhamos que f seja uma função inteira uniformemente contínua em todo o
plano complexo. Isto implica que f seja um mapeamento afim?
Se f for inteira e Lischitz, então a resposta é sim (f' é limitada, logo
constante por Liouville). Mas se só assumirmos continuidade uniforme (além
de inteira), não sei.
Eu acho que a idéia é essa mesma, mais o fato que f é
quase-Lipschitz o suficiente para você aplicar Liouville (na
verdade, a demonstração).
Seja A = f(0), e B tal que |f(x) - f(x+y)| 1 para |y| B
(continuidade uniforme, eps=1, delta dado = B). Seja agora g = f - A,
e note que |g(R*B)| = R. Daí, use as desigualdades de Cauchy para
provar que |g'(z)| = 1/B dentro do círculo de raio R, e daí você
conclui por Liouville (ou então você usa as desigualdades para as
derivadas seguintes, também funciona).
O ponto chave dessa idéia é que você pode (graças à harmonicidade de
f) traduzir uma informação longe de um ponto em um controle dentro
do círculo onde esse mesmo controle vale, um tipo de princípio do
máximo / mínimo. Se g fosse apenas C-infinito, não dava para concluir
|g'(z)| = 1/B apenas do fato que |g| = 1 no círculo de raio B, mas
aqui sim.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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