Re: [obm-l] identidade binomial [era: RE: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)]
Consegui fazer algumas algo, não sei se ajuda...
primeiro a fórmula para uma sequência f(n), com f(n)=1 se n=0 e f(n)=0
se n diferente de zero, n natural.
informalmente é a seguinte sequencia
1,0,0,0,0,0,0,0..
analisando as diferenças é possível perceber um padrão podendo
escrever a sequencia usando formula de interpolação de newton ou então
cálculo simbolico
seja D o operador que faz Df(x)=f(x+1)-f(x) e potências sucessivas
D^n, aplicações sucessivas desse operador, podemos escrever qualquer
função f(n) como
f(n)=soma[k=0 até n] de c(n,k). D^kf(0) [onde c(n,k) é o coeficiente
binomial n!/k!(n-k)!].
seja o operador E^k, que faz E^kf(x)=f(x+k), com k inteiro,
podemos escrever
D^kf(0) como
D^kf(0)=(E-1)^kf(0)=soma[t=0 até k] de c(k,t).(-1)(k-t) .E^Tf(0)
porém pela definição da sequência temos que f(n)=0 para todo n
diferente de 0 e f(0)=1, escrevemos então abrindo o primeiro termo do
somatório
soma[T=0 até k] de c(k,t).(-1)(k-t) .E^tf(0)=
=c(k,0).(-1)^(k).E^0f(0)+soma[t=0 até k] de c(k,t).(-1)(k-t) .E^tf(0)=
=(-1)^kf(0)+soma[t=0 até k] de c(k,t).(-1)(k-t) .E^Tf(0),=(-1)^k
porém como E^Tf(0) =0 para todo t diferente de zero, a segunda parte
da somatorio se anula, ficando
D^kf(0)=(-1)^k, como f(n) pode ser escrito pela interpoalção de newton
ficamos com
f(n)=soma[k=0 até n] de c(n,k). D^kf(0) =f(n)=soma[k=0 até n] de (-1)^k.c(n,k).
f(n)=soma[k=0 até n] de (-1)^k.c(n,k).
sobre a soma da outra maneira, eu fiz o seguinte, acho que
simplifiquei um pouco a expressão do somatorio
é possivel mostrar que
soma[k=0 até n]f(k)=soma[k=0 até n]f(n-k), para qualquer função somada
usando isso no somatorio pedido, podemos concluir que ele é
equivalente ao somatório
soma[k=0 até n] (-1)^(n-k). c(k+1,n-k).c(2k,k)/(k+1)
que talvez possa ajudar algo na resolução
Rodrigo
Em 14/10/07, Luís Lopes[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Sauda¸c~oes,
Oi Rodrigo,
coloquei em imagem para ficar mais fácil de entender
Isso mesmo. Gostei de ver a imagem. Legal.
eu queria saber o que é o \delta_{n,0}
\delta_{n,0}=1 para n=0 e 0 para n\not= 0.
Dando valores para n na identidade você
entende melhor.
será que não da para provar usando alguma propriedade
de potência fatorial (factorial power)?
Pode ser que sim (teoria das séries hipergeométricas).
Antes recomendo a leitura do livro A=B de Zeilberger e
outros.
[]'s
Luis
Date: Sat, 13 Oct 2007 23:13:56 -0300
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)
vê se é esse o problema
http://s178.photobucket.com/albums/w268/rodrigo_renji/?action=viewcurrent=lista.jpg
coloquei em imagem para ficar mais fácil de entender, eu queria saber o
que é o
\delta_{n,0} , será que não da para provar usando alguma propriedade
de potência fatorial (factorial power)?
Rodrigo
Em 13/10/07, Luís Lopes[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Sauda¸c~oes,
Na revista Mathematics Magazine June 2007 p. 225
deparei-me com a identidade
\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k}
\frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} =
= \delta_{n,0} .
Ela aparece como corolàrio de uma longa exposiç~ao.
Tentando provà-la, seja
S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k}
\frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} .
Uma das idéias é fazer S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)),
onde F(x) é dada por
F(x) = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k
(1-x)^{k+1}
Fazendo k=0,1,2,3,4 vem:
S_n = [x^n] {1 -14x^4 + 28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 +
\sum_{k\geq 5} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1}
}
Assim, S_0=1 e S_1=S_2=S_3=S_4=0.
Falta provar que [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5.
Dà pra fazer isso?
[]'s,
Luis
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RE: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)
Sauda¸c~oes,
Na revista Mathematics Magazine June 2007 p. 225 deparei-me com a identidade
\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} = =
\delta_{n,0} . Ela aparece como corolàrio de uma longa exposiç~ao.
Tentando provà-la, seja
S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} .
Uma das idéias é fazer S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)),
onde F(x) é dada por
F(x) = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1}
Fazendo k=0,1,2,3,4 vem:
S_n = [x^n] {1 -14x^4 + 28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 +
\sum_{k\geq 5} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1} }
Assim, S_0=1 e S_1=S_2=S_3=S_4=0.
Falta provar que [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5.
Dà pra fazer isso?
[]'s,
Luis
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Re: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)
vê se é esse o problema
http://s178.photobucket.com/albums/w268/rodrigo_renji/?action=viewcurrent=lista.jpg
coloquei em imagem para ficar mais fácil de entender, eu queria saber o que é o
\delta_{n,0} , será que não da para provar usando alguma propriedade
de potência fatorial (factorial power)?
Rodrigo
Em 13/10/07, Luís Lopes[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Sauda¸c~oes,
Na revista Mathematics Magazine June 2007 p. 225
deparei-me com a identidade
\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k}
\frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} =
= \delta_{n,0} .
Ela aparece como corolàrio de uma longa exposiç~ao.
Tentando provà-la, seja
S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k}
\frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} .
Uma das idéias é fazer S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)),
onde F(x) é dada por
F(x) = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k
(1-x)^{k+1}
Fazendo k=0,1,2,3,4 vem:
S_n = [x^n] {1 -14x^4 + 28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 +
\sum_{k\geq 5} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1}
}
Assim, S_0=1 e S_1=S_2=S_3=S_4=0.
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Re: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)
Olá Anselmo, apenas um comentário: não gosto muito da expressão URGENTE.. afinal de contas, somos todos voluntários nessa lista.. não é um lugar para coisas urgentes. vamos analisar f(x) = 1/2 (x + 9/x) f'(x) = 1/2(1 - 9/x^2) procurando as raizes da primeira derivada, temos: 1 - 9/x^2 = 0 ... x = +- 3... estamos analisando o caso x0 entao, em x=3 temos um ponto crítico.. f''(x) = -9/2 * (-2x/x^4) = 9/x^3 ... f''(3) = 9/27 = 1/3 0 assim, temos um ponto de mínimo local.. veja também que f(x) é crescente para x3, pois: 9/x^2 1 ... 1 - 9/x^2 0 ... f'(x) 0 para x 3 pronto.. agora ficou simples.. facilmente, vemos que a_(n+1) = f(a_n), para n= 1, e a_1 = 4 a_2 = f(a_1) = f(4) f(3) = 3 a_3 = f(a_2) .. mas a_2 3, entao: f(a_2) f(3) = 3.. logo: a_3 3 vamos supor que vale para k.. entao: a_(k+1) = f(a_k) ... mas a_k 3 (hipótese de indução), logo: f(a_k) f(3) = 3 assim a_(k+1) 3... cqd abraços, Salhab On 10/4/07, Anselmo Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote: Seja a_n a sequência definida como segue: a_1=4 a_(n+1)= 1/2[ a_n + (9/a_n)] usando indução, mostre que a_n3, qq n natural. Desde já agradeço a colaboração!!! Anselmo :-) -- Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger! É GRÁTIS! Assine já! http://alertas.br.msn.com/
RE: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)
Salhab, Urgente é uma forma bem humorada de dizer estou desesperado, não consigo resolver essa questão, me ajudem!!!. Leva na esportiva, cara! A despeito disso, achei a solução um pouco complicada ( o que não tira seu brilhantismo). Eu estava pensando em indução da forma mais clássica. na hipótese de indução, fiz: Suponhamos que seja válido para (n-1). Desta forma teremos: a_(n-1) 3 agora devo usar esta hipótese para concluir que também será válida para (n-1) +1 , isto é , será válida para n. escrevi que a_n = 1/2 [a_(n-1) + 9/a_(n-1)] pela hipótese vejo que 1/2 (a_n-1) 3/2 mas não estou conseguindo concluir nada com a outra parcela que seria 9/2 (a_n-1). Se alguém conseguir algo nessa linha, estou no aguardo!!! de qualquer forma , muito obrigado Salhab !!!Anselmo :-P Date: Thu, 4 Oct 2007 23:23:29 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)Olá Anselmo,apenas um comentário: não gosto muito da expressão URGENTE.. afinal de contas, somos todos voluntários nessa lista.. não é um lugar para coisas urgentes.vamos analisar f(x) = 1/2 (x + 9/x)f'(x) = 1/2(1 - 9/x^2) procurando as raizes da primeira derivada, temos: 1 - 9/x^2 = 0 ... x = +- 3... estamos analisando o caso x0entao, em x=3 temos um ponto crítico..f''(x) = -9/2 * (-2x/x^4) = 9/x^3 ... f''(3) = 9/27 = 1/3 0 assim, temos um ponto de mínimo local..veja também que f(x) é crescente para x3, pois: 9/x^2 1 ... 1 - 9/x^2 0 ... f'(x) 0 para x 3pronto.. agora ficou simples..facilmente, vemos que a_(n+1) = f(a_n), para n= 1, e a_1 = 4 a_2 = f(a_1) = f(4) f(3) = 3a_3 = f(a_2) .. mas a_2 3, entao: f(a_2) f(3) = 3.. logo: a_3 3vamos supor que vale para k.. entao:a_(k+1) = f(a_k) ... mas a_k 3 (hipótese de indução), logo: f(a_k) f(3) = 3 assim a_(k+1) 3... cqdabraços,Salhab On 10/4/07, Anselmo Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote: Seja a_n a sequência definida como segue: a_1=4 a_(n+1)= 1/2[ a_n + (9/a_n)] usando indução, mostre que a_n3, qq n natural. Desde já agradeço a colaboração!!! Anselmo :-) Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger! É GRÁTIS! Assine já! _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
RE: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)
Cara, estou impressionado com o nível de qualidade da galera da lista.O Salhab enviou uma solução brilhante, logo após você enviou uma bem simples, mas que nem por isso deixa de ser brilhante também!!! valeu, pessoal! Obrigado!!! Date: Thu, 4 Oct 2007 23:56:16 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!) Oi, Anselmo,A média aritmética de dois números é maior ou igual à média geométrica, e só vale a igualdade se os dois forem iguais. Logo:1/2 [ x + 9/x ] = raiz( x . 9/x) = 3 e a igualdade só valeria se x = 9/x , ou seja, se x = 3.Então, só precisamos da indução para provar que vale a desigualdade estrita. - base da indução: a_1 3 (pois vale 4)- indução prop dita: Admitindo a_n 3, como a_(n+1) é a média entre a_n e 9/a_n e estes dois números não podem ser iguais, segue-se o solicitado.Nehab Anselmo Sousa escreveu: Seja a_n a sequência definida como segue: a_1=4 a_(n+1)= 1/2[ a_n + (9/a_n)] usando indução, mostre que a_n3, qq n natural. Desde já agradeço a colaboração!!! Anselmo :-) Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger! É GRÁTIS! Assine já!= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos conectada ao Messenger! http://spaces.live.com/signup.aspx
Re: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)
Olá Anselmo, desculpe pela forma como falei. É que entendi URGENTE de forma diferente... bom, acho que explica mas não justifica hehe :) abraços, Salhab On 10/5/07, Anselmo Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote: Salhab, Urgente é uma forma bem humorada de dizer estou desesperado, não consigo resolver essa questão, me ajudem!!!. Leva na esportiva, cara! A despeito disso, achei a solução um pouco complicada ( o que não tira seu brilhantismo). Eu estava pensando em indução da forma mais clássica. na hipótese de indução, fiz: Suponhamos que seja válido para (n-1). Desta forma teremos: a_(n-1) 3 agora devo usar esta hipótese para concluir que também será válida para (n-1) +1 , isto é , será válida para n. escrevi que a_n = 1/2 [a_(n-1) + 9/a_(n-1)] pela hipótese vejo que 1/2 (a_n-1) 3/2 mas não estou conseguindo concluir nada com a outra parcela que seria 9/2 (a_n-1). Se alguém conseguir algo nessa linha, estou no aguardo!!! de qualquer forma , muito obrigado Salhab !!! Anselmo :-P -- Date: Thu, 4 Oct 2007 23:23:29 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!) Olá Anselmo, apenas um comentário: não gosto muito da expressão URGENTE.. afinal de contas, somos todos voluntários nessa lista.. não é um lugar para coisas urgentes. vamos analisar f(x) = 1/2 (x + 9/x) f'(x) = 1/2(1 - 9/x^2) procurando as raizes da primeira derivada, temos: 1 - 9/x^2 = 0 ... x = +- 3... estamos analisando o caso x0 entao, em x=3 temos um ponto crítico.. f''(x) = -9/2 * (-2x/x^4) = 9/x^3 ... f''(3) = 9/27 = 1/3 0 assim, temos um ponto de mínimo local.. veja também que f(x) é crescente para x3, pois: 9/x^2 1 ... 1 - 9/x^2 0 ... f'(x) 0 para x 3 pronto.. agora ficou simples.. facilmente, vemos que a_(n+1) = f(a_n), para n= 1, e a_1 = 4 a_2 = f(a_1) = f(4) f(3) = 3 a_3 = f(a_2) .. mas a_2 3, entao: f(a_2) f(3) = 3.. logo: a_3 3 vamos supor que vale para k.. entao: a_(k+1) = f(a_k) ... mas a_k 3 (hipótese de indução), logo: f(a_k) f(3) = 3 assim a_(k+1) 3... cqd abraços, Salhab On 10/4/07, *Anselmo Sousa* [EMAIL PROTECTED] wrote: Seja a_n a sequência definida como segue: a_1=4 a_(n+1)= 1/2[ a_n + (9/a_n)] usando indução, mostre que a_n3, qq n natural. Desde já agradeço a colaboração!!! Anselmo :-) -- Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger! É GRÁTIS! Assine já! http://alertas.br.msn.com/ -- Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Cadastre-se já!http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
