RE: [obm-l] Trigonometria (Mr. Crowley)
Valeu Ralph ! Eu fiz a solucao direta no computador sem escrever no papel, dai nao havia percebido isso. Obrigado pela observacao final. Eu mandei uma outra solucao de outro problema do CROWLEY mas acho que estava errada. O Claudio Buffara apresentou uma solucao bem melhor...Depois vou descobrir onde errei. O problema e que as vezes estou sem papel e caneta aqui do meu lado e cometo esses erros. Leandro. Los Angeles, USA. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Ralph Teixeira Sent: Wednesday, October 01, 2003 1:14 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RES: [obm-l] Trigonometria (Mr. Crowley) Boa solução, mas tem um errinho lá embaixo... Eu notei que havia algo errado pois você tinha provado que A=pi/3 -- mas podia ser B ou C, né? II)Demonstrar que tem um ângulo de 60º o triângulo ABC cujos ângulos verificam a relação : sen(3A) + sen(3B) + sen(3C) = 0 (1) Resposta:[...] 2.sin(3(B+C)2). [cos(3(B+C)/2) + cos(3(B-C)/2)] = 0 Finalmente, usando a identidade cos(p) + cos(q)=2cos((p+q)/2).cos((p-q)/2)) para p=3(B+C)/2 e q=3(B-C)/2 obtemos 4.sin(3(B+C)/2).cos(3B).cos(3C) = 0 ou ainda Deveria ser aqui 4 sin(3(B+C)/2)cos(3B/2)cos(3C/2)=0 Mas não importa, o resto da solução é praticamente igual -- só que agora aparecerão os casos B=60 e C=60 também! Abraço, Ralph
Re: [obm-l] Trigonometria (Mr. Crowley)
on 30.09.03 02:14, paraisodovestibulando at [EMAIL PROTECTED] wrote: I) Demonstrar que é retângulo ou isósceles o triângulo ABC cujos ângulos verificam a relação: sen(B) + cos(B) = sen(C) + cos(C) Isso eh equivalente a: raiz(2)*sen(B + Pi/4) = raiz(2)*sen(C + Pi/4) == sen(B + Pi/4) = sen(C + Pi/4). Levando em conta que 0 B, C Pi, teremos: B + Pi/4 = C + Pi/4 ou B + Pi/4 + C + Pi/4 = Pi == B = C ou B + C = Pi/2 == B = C ou A = Pi/2 == o triangulo eh isosceles ou retangulo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria (Mr. Crowley)
II)Demonstrar que tem um ângulo de 60º o triângulo ABC cujos ângulos verificam a relação : sen(3A) + sen(3B) + sen(3C) = 0 (1) Resposta: Sejam A,B,C os angulos internos de um triangulo, entao, podemos expressar A como: A = pi (B+C). Fazendo essa substituicao na equacao (1), temos sin(3pi-3(B+C)) + sin 3B + sin 3C = 0 sin(3(B+C)) + sin(3B) + sin 3C = 0 Usando a relacao sin(a) + sin(b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) onde a=3B e b=3C obtemos sin(3(B+C)) + 2.sin(3(B+C)/2).cos(3(B-C)/2)=0 Usando o fato de que sin(2a) =2.sin(a).cos(a) para a=(3(B+C)) obtemos para o 1º termo da ultima equacao 2.sin(3(B+C)/2).cos(3(B+C)/2) + 2.sin(3(B+C)/2).cos(3(B-C)/2) = 0 2.sin(3(B+C)2). [cos(3(B+C)/2) + cos(3(B-C)/2)] = 0 Finalmente, usando a identidade cos(p) + cos(q)=2cos((p+q)/2).cos((p-q)/2)) para p=3(B+C)/2 e q=3(B-C)/2 obtemos 4.sin(3(B+C)/2).cos(3B).cos(3C) = 0 ou ainda sin(3(B+C)/2).cos(3B).cos(3C)=0. Analisando essa equacao, podemos ter as seguintes posibilidades: Sin(3(B+C)/2) = 0 ou cos(3B)=0 ou cos(3C)=0 ; (1) sin(3(B+C)/2) = 0 = 3(B+C)/2 = k.pi, para k inteiro. B+C=2kpi/3 porem, B+C = pi A, logo, A = pi 2.kpi/3 . Como A pi entao a solucao e valida para k=1, logo A=60º . O caso cos(3B)=0 e cos(3C)=0 sao analogos, por isso, analisaremos somente um deles. (2) cos(3B) = 0. Nesse caso, lembrando da relacao fundamental da trigonometria teriamos sin(3B)=1. Ou seja, na equacao original teriamos sin(3A)+ 1 + sin(3C)=0. Ou ainda, teriamos que ter sin(3A)+sin(3C)=-1, o que nao seria possivel no caso de A e C serem angulos internos de um triangulo. Portanto, cos(3B) tem que ser diferente de zero. Analogamente, cos(3C) tem que ser diferente de zero. Regards, Leandro L. Recova
