RE: [obm-l] funcao implicita e geogebra
Sauda,c~oes, oi Bernardo, Bom, o que dizer? Muito obrigado, Bernardo!! > > Continuo sem saber como calcular a equação que fornece > > os pontos extremos (max e min) da curva Agora sei. :) Pelo menos usando o WAlpha. >Se eu entendi o problema, você quer achar >o(s) ponto(s) desta curva com a maior ordenada possível. Exato. No intervalo 0 Agora, note que P(x(t),y(t)) = 0 em todos os pontos da curva, logo > para todos os t da sua parametrização. Daí: > dP/dx(x(t), y(t))*dx/dt + dP/dy(x(t), y(t))*dy/dt = 0. Comentário fundamental para a continuação. > Agora, você tem que achar as soluções do sistema {P(x,y) = 0, > dP/dx(x,y) = 0}. No seu caso particular, dP/dx é de grau 2, logo você > pode escrever y em função de x, e substituir na equação de grau 3... No decorrer do pensamento vi que era por aí. Mas as contas se anunciavam pesadas. >Os tais discriminantes são o "caso particular" do resolvente >de um polinômio e de sua derivada. Bom, pode estar resumido mas estou satisfeito. Já "sei" o que são discriminantes neste contexto. E o melhor, o WA me dá eles. Coloquei o polinômio que dá a curva CC e ele me retornou a equação que já me haviam enviado. Daí calculei os pontos extremos da curva. Problema resolvido. >O fator que sobra deve ser o polinômio de grau 4 que >passaram pra você. Exato. Com isso o problema de construir o triângulo ABC dados está resolvido e discutido. O caso numérico estudado é cos A=11/14 e a+b=10. Se h_a > y_max o problema não tem solução; se h_a=y_max um só triângulo satisfaz; se 0 < h_a < y_max dois triângulos satisfazem. Deixo um problema com vocês: achar o lugar geométrico do vértice A dados o ângulo do vértice A e a diferença a-b. Seria a (nova) curva CC. Abs, Luís > Date: Sat, 5 Oct 2013 01:25:40 -0300 > Subject: Re: [obm-l] funcao implicita e geogebra > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2013/10/4 Luís Lopes : > > Sauda,c~oes, > Oi Luís, > > > Continuo sem saber como calcular a equação que fornece > > os pontos extremos (max e min) da curva mas talvez a > > teoria se encontre nos livros que tratam das Curvas Algébricas Planas. > Exato, mas não necessariamente desta forma. > > Você tem uma equação implícita P(x,y) = 0, onde P é um polinômio (de > grau 3) nas duas variáveis. Se eu entendi o problema, você quer achar > o(s) ponto(s) desta curva com a maior ordenada possível. > > Para começar, pense que a curva definida pela equação P(x,y) = 0 é > bonitinha (sem pontos duplos, sem singularidades, etc). Assim, imagine > uma parametrização local da curva: (x(t), y(t)). Assim, pontos de > máximo (e mínimo, ou de inflexão) são dados por dy/dt = 0. > > Agora, note que P(x(t),y(t)) = 0 em todos os pontos da curva, logo > para todos os t da sua parametrização. Daí: > dP/dx(x(t), y(t))*dx/dt + dP/dy(x(t), y(t))*dy/dt = 0. > > Se dy/dt = 0, temos então que dP/dx(x(t), y(t)) * dx/dt = 0. Como a > curva é lisa (e sem singularidades, pontos duplos, etc, etc), dx/dt > não pode ser = 0. Daí, os pontos de máximo também satisfazem uma > equação suplementar, dP/dx(x,y) = 0. > > Agora, você tem que achar as soluções do sistema {P(x,y) = 0, > dP/dx(x,y) = 0}. No seu caso particular, dP/dx é de grau 2, logo você > pode escrever y em função de x, e substituir na equação de grau 3... > > Mas, em geral, existe uma teoria para achar as soluções de sistemas de > equações simultâneas, que são os resolventes, cf > http://en.wikipedia.org/wiki/Resultant e > http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester_matrix, em particular a parte > de aplicações a interseções do resultante. Essencialmente, eles > "substituem" uma equação na outra, de forma algorítmica, e dão > diretamente a equação que todas (e não metade, como seria o caso se > você pegasse cada uma das soluções da eq do segundo grau) as abscissas > possíveis y satisfazem. Os tais discriminantes são o "caso particular" > do resolvente de um polinômio e de sua derivada. Note que isso envolve > considerar P(x,y) como um polinômio em x cujos coeficientes são > polinômios em y. Os livros de Curvas Algébricas em geral, vão falar > deste parágrafo apenas (provar que a Resultante realmente faz a > "eliminação" das variáveis, como calcular, como que os discriminantes > têm a ver com resultantes). > > Exemplinho: Seja P(x,y) = (x^2 + x y^2 + x y + 2y + 2) = x^2 + (y^2 + > y)*x + (2y + 1). Chame a = 1, b = (y^2 + y), c = (2y + 1). Nesse caso, > o "discriminante" é o usual, ou seja, b^2 - 4*a*c = (y^4 + 2y^3 + y^2) > - 8y - 4. As raízes disso dão os y máximos e mínimos locais. > Dá pra ver tudo isso com o WolframAlpha > > http://www.wolframalpha.com/input/?i=+x^2+%2B+%28y^2+%2B+y%29*x+%2B+%282
Re: [obm-l] funcao implicita e geogebra
2013/10/4 Luís Lopes : > Sauda,c~oes, Oi Luís, > Continuo sem saber como calcular a equação que fornece > os pontos extremos (max e min) da curva mas talvez a > teoria se encontre nos livros que tratam das Curvas Algébricas Planas. Exato, mas não necessariamente desta forma. Você tem uma equação implícita P(x,y) = 0, onde P é um polinômio (de grau 3) nas duas variáveis. Se eu entendi o problema, você quer achar o(s) ponto(s) desta curva com a maior ordenada possível. Para começar, pense que a curva definida pela equação P(x,y) = 0 é bonitinha (sem pontos duplos, sem singularidades, etc). Assim, imagine uma parametrização local da curva: (x(t), y(t)). Assim, pontos de máximo (e mínimo, ou de inflexão) são dados por dy/dt = 0. Agora, note que P(x(t),y(t)) = 0 em todos os pontos da curva, logo para todos os t da sua parametrização. Daí: dP/dx(x(t), y(t))*dx/dt + dP/dy(x(t), y(t))*dy/dt = 0. Se dy/dt = 0, temos então que dP/dx(x(t), y(t)) * dx/dt = 0. Como a curva é lisa (e sem singularidades, pontos duplos, etc, etc), dx/dt não pode ser = 0. Daí, os pontos de máximo também satisfazem uma equação suplementar, dP/dx(x,y) = 0. Agora, você tem que achar as soluções do sistema {P(x,y) = 0, dP/dx(x,y) = 0}. No seu caso particular, dP/dx é de grau 2, logo você pode escrever y em função de x, e substituir na equação de grau 3... Mas, em geral, existe uma teoria para achar as soluções de sistemas de equações simultâneas, que são os resolventes, cf http://en.wikipedia.org/wiki/Resultant e http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester_matrix, em particular a parte de aplicações a interseções do resultante. Essencialmente, eles "substituem" uma equação na outra, de forma algorítmica, e dão diretamente a equação que todas (e não metade, como seria o caso se você pegasse cada uma das soluções da eq do segundo grau) as abscissas possíveis y satisfazem. Os tais discriminantes são o "caso particular" do resolvente de um polinômio e de sua derivada. Note que isso envolve considerar P(x,y) como um polinômio em x cujos coeficientes são polinômios em y. Os livros de Curvas Algébricas em geral, vão falar deste parágrafo apenas (provar que a Resultante realmente faz a "eliminação" das variáveis, como calcular, como que os discriminantes têm a ver com resultantes). Exemplinho: Seja P(x,y) = (x^2 + x y^2 + x y + 2y + 2) = x^2 + (y^2 + y)*x + (2y + 1). Chame a = 1, b = (y^2 + y), c = (2y + 1). Nesse caso, o "discriminante" é o usual, ou seja, b^2 - 4*a*c = (y^4 + 2y^3 + y^2) - 8y - 4. As raízes disso dão os y máximos e mínimos locais. Dá pra ver tudo isso com o WolframAlpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=+x^2+%2B+%28y^2+%2B+y%29*x+%2B+%282y+%2B+1%29+%3D+0 http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28y^4+%2B+2y^3+%2B+y^2%29+-+8y+-+4+%3D+0 http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant%28+x^2+%2B+%28y^2+%2B+y%29*x+%2B+%282y+%2B+1%29%2C+x%29 Voltando ao seu problema, o WA dá o discriminante: http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant%28%28-s^2y%2Bx^2y%2By^3%29Cos[A]%2B%28-s^2x%2B2sx^2-x^3%2B2sy^2-xy^2%29Sin[A]%2C+x%29 que é de grau 6 (como esperado de uma interseção de uma curva de grau 3 com uma curva de grau 2), mas que tem um fator y^2, que deve provavelmente ser excluído do problema (certamente, não é o ponto de máximo!). O fator que sobra deve ser o polinômio de grau 4 que passaram pra você. O mais chato é que o "desenho" da curva CC é meio "feio" http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-10%C2%B2+y+%2B+x%C2%B2+y+%2B+y%C2%B3%29+11+%2F+14+%2B+%28-10%C2%B2+x+%2B+2+%2810%29+x%C2%B2+-+x%C2%B3+%2B+2+%2810%29+y%C2%B2+-+x+y%C2%B2%29+5+sqrt%283%29+%2F+14+%3D+0+ porque ela tem uma componente que vai pro infinito... Mas talvez seja ela que você quer ? Para ter uma única solução real? Além disso, o caso numérico, mais uma vez, dá http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant+%28+%28-10%C2%B2+y+%2B+x%C2%B2+y+%2B+y%C2%B3%29+11+%2F+14+%2B+%28-10%C2%B2+x+%2B+2+%2810%29+x%C2%B2+-+x%C2%B3+%2B+2+%2810%29+y%C2%B2+-+x+y%C2%B2%29+5+sqrt%283%29+%2F+14%2C+x%29 para o discriminante. Como a gente já sabe que tem um fator y^2, tem no mínimo 4 soluções. De novo, o WA confirma a resposta: http://www.wolframalpha.com/input/?i=-%284+%2849+sqrt%283%29+y^6%2B3300+y^5%2B17600+sqrt%283%29+y^4-247500+y^3-187500+sqrt%283%29+y^2%29%29%2F%2849+sqrt%283%29%29+%3D+0&dataset= Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa (tenho que aprender a botar contas do WA sem que ele faça as contas a cada vez, mas o problema é que o "Clip" fica apenas o resultado...) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] funcao implicita e geogebra
Sauda,c~oes, Li errado. Não é determinante e sim discriminante. Continuo sem saber como calcular a equação que fornece os pontos extremos (max e min) da curva mas talvez a teoria se encontre nos livros que tratam das Curvas Algébricas Planas. Sds, Luís From: qed_te...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] funcao implicita e geogebra Date: Fri, 4 Oct 2013 20:02:40 + Sauda,c~oes, Problema resolvido mas desconheço a teoria que fornece a equação para calcular o máximo e mínimo da curva. Máximo e mínimo valor de y de la curva: Hay que resolver en y la ecuación: -s^4 + 10 s^2 y^2 + 2 y^4 + s^2 (s^2 - 12 y^2)Cos[2A] + (-6 s^3 y + 8 s y^3)Sin[2A] = 0 Foi falado num determinante, sem maiores detalhes. E numa mensagem recente daqui (problema de tangência numa elipse) falou-se de um determinante também. Deve-se tratar da mesma coisa. Sds, Luís From: qed_te...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] funcao implicita e geogebra Date: Thu, 3 Oct 2013 21:30:41 + Sauda,c~oes, Não conheço muito do Geogebra e talvez alguém aqui possa me ajudar. O que segue é uma investigação sobre o problema de construir o triângulo ABC dados A,a+b,h_a. Algebricamente somente pois temos uma cúbica nos cálculos. "Consegui" descobrir que um lugar geométrico para o vértice A é dado pela cúbica === La ecuación del lugar geométrico es: (-s^2y+x^2y+y^3)Cos[A]+(-s^2x+2sx^2-x^3+2sy^2-xy^2)Sin[A]=0 === com s=a+b. Gostaria de calcular o valor máximo de y (que aqui representa a altura do triângulo) e assim ter somente uma solução. No que segue s=10, Cos[A]=11/14 e Sin[A]=5sqrt(3)/14. Fui pro Geogebra e entrei os pontos B=(0,0) e A'=(10,0), bem como a função implícita do locus. (-10² y + x² y + y³) 11 / 14 + (-10² x + 2 (10) x² - x³ + 2 (10) y² - x y²) 5 sqrt(3) / 14 = 0 Em seguida tracei a reta h_a=y=4.5 e obtive as duas interseções (vértices A) que interessam: A1 = (-0.38975, 4.5) e A2 = (6.73216, 4.5) . Daí C1 = (3.83061, 0) e C2 = (5.26770, 0). Ou seja, obtive dois triângulos satisfazendo as condições. Até aqui tudo bem. Agora quero saber o valor máximo de y ou o ponto onde a derivada de (-10² y + x² y + y³) 11 / 14 + (-10² x + 2 (10) x² - x³ + 2 (10) y² - x y²) 5 sqrt(3) / 14 = 0 se anula. Chamei esta equação de CC (para closed curve). Voltei pro Geogebra e tentei usar o comando implicitderivative e ele me retornou CC'(x, y) = (15sqrt(3) x² - 200sqrt(3) x + 5sqrt(3) y² + 500sqrt(3) - 22x y) / (-10 sqrt(3) x y + 200sqrt(3) y + 11x² + 33y² - 1100) Não sei bem o que estou fazendo agora. Ou mesmo como continuar sem o Geogebra. Alguém pode me explicar, continuar a investigação ou me dar o ponto de máximo? Obrigado. Sds, Luís -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] funcao implicita e geogebra
Sauda,c~oes, Problema resolvido mas desconheço a teoria que fornece a equação para calcular o máximo e mínimo da curva. Máximo e mínimo valor de y de la curva: Hay que resolver en y la ecuación: -s^4 + 10 s^2 y^2 + 2 y^4 + s^2 (s^2 - 12 y^2)Cos[2A] + (-6 s^3 y + 8 s y^3)Sin[2A] = 0 Foi falado num determinante, sem maiores detalhes. E numa mensagem recente daqui (problema de tangência numa elipse) falou-se de um determinante também. Deve-se tratar da mesma coisa. Sds, Luís From: qed_te...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] funcao implicita e geogebra Date: Thu, 3 Oct 2013 21:30:41 + Sauda,c~oes, Não conheço muito do Geogebra e talvez alguém aqui possa me ajudar. O que segue é uma investigação sobre o problema de construir o triângulo ABC dados A,a+b,h_a. Algebricamente somente pois temos uma cúbica nos cálculos. "Consegui" descobrir que um lugar geométrico para o vértice A é dado pela cúbica === La ecuación del lugar geométrico es: (-s^2y+x^2y+y^3)Cos[A]+(-s^2x+2sx^2-x^3+2sy^2-xy^2)Sin[A]=0 === com s=a+b. Gostaria de calcular o valor máximo de y (que aqui representa a altura do triângulo) e assim ter somente uma solução. No que segue s=10, Cos[A]=11/14 e Sin[A]=5sqrt(3)/14. Fui pro Geogebra e entrei os pontos B=(0,0) e A'=(10,0), bem como a função implícita do locus. (-10² y + x² y + y³) 11 / 14 + (-10² x + 2 (10) x² - x³ + 2 (10) y² - x y²) 5 sqrt(3) / 14 = 0 Em seguida tracei a reta h_a=y=4.5 e obtive as duas interseções (vértices A) que interessam: A1 = (-0.38975, 4.5) e A2 = (6.73216, 4.5) . Daí C1 = (3.83061, 0) e C2 = (5.26770, 0). Ou seja, obtive dois triângulos satisfazendo as condições. Até aqui tudo bem. Agora quero saber o valor máximo de y ou o ponto onde a derivada de (-10² y + x² y + y³) 11 / 14 + (-10² x + 2 (10) x² - x³ + 2 (10) y² - x y²) 5 sqrt(3) / 14 = 0 se anula. Chamei esta equação de CC (para closed curve). Voltei pro Geogebra e tentei usar o comando implicitderivative e ele me retornou CC'(x, y) = (15sqrt(3) x² - 200sqrt(3) x + 5sqrt(3) y² + 500sqrt(3) - 22x y) / (-10 sqrt(3) x y + 200sqrt(3) y + 11x² + 33y² - 1100) Não sei bem o que estou fazendo agora. Ou mesmo como continuar sem o Geogebra. Alguém pode me explicar, continuar a investigação ou me dar o ponto de máximo? Obrigado. Sds, Luís -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.