RE: [obm-l] soma da Eureka
Sauda,c~oes,
Muito bom, Marcos. Obrigado.
Pra terminar esta série de msgs, gostaria de tratar do problema 6 na p. 38,
S(1921) = f(1) + .. + f(1921) para f(k) = 1/(sqr(k) + sqr(k^2 - 1))
Encontrei S(1921) = (sqr(2)/2)(sqr(1922) + sqr(1921) - 1).
Esta certo?
Luis
Date: Mon, 30 Dec 2013 20:34:20 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Na linha seguinte:
* "{1/2 . sum{k = 2}^{100} [-1/k + 1/(k - 1)]}"
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
Uma pequena correção na escrita (quinta linha):
* "= 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 2}^{100} 1/(k^2 - k + 1)"
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k + 1)/(k^2 + k
+ 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2 - k +1)] .
Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1) = [1/2
. sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2 . sum{k =
1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k +
1) < 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k - 1)]} = 1/2 . f(100)
+ 1/2 . (1 - 1/100).
Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) < 1/2 <=>
101/10101 + 1 - 1/100 < 1 <=> 101/10101 < 1/100 <=> 10100 < 10101 (V). c.q.d
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma da Eureka
Na linha seguinte:
* "{1/2 . sum{k = 2}^{100} [-1/k + 1/(k - 1)]}"
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
> Uma pequena correção na escrita (quinta linha):
>
> * "= 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 2}^{100} 1/(k^2 - k + 1)"
>
> Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
>
>> A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
>>
>> Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k +
>> 1)/(k^2 + k + 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2
>> - k +1)] .
>>
>> Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1)
>> = [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2
>> . sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100}
>> 1/(k^2 - k + 1) < 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k -
>> 1)]} = 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100).
>>
>> Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) < 1/2 <=>
>> 101/10101 + 1 - 1/100 < 1 <=> 101/10101 < 1/100 <=> 10100 < 10101 (V). c.q.d
>>
>
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Re: [obm-l] soma da Eureka
Uma pequena correção na escrita (quinta linha):
* "= 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 2}^{100} 1/(k^2 - k + 1)"
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
> A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
>
> Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k +
> 1)/(k^2 + k + 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2
> - k +1)] .
>
> Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1) =
> [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2 .
> sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100}
> 1/(k^2 - k + 1) < 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k -
> 1)]} = 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100).
>
> Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) < 1/2 <=>
> 101/10101 + 1 - 1/100 < 1 <=> 101/10101 < 1/100 <=> 10100 < 10101 (V). c.q.d
>
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Re: [obm-l] soma da Eureka
A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k + 1)/(k^2
+ k + 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2 - k +1)]
.
Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1) =
[1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2 .
sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100}
1/(k^2 - k + 1) < 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k -
1)]} = 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100).
Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) < 1/2 <=>
101/10101 + 1 - 1/100 < 1 <=> 101/10101 < 1/100 <=> 10100 < 10101 (V). c.q.d
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RE: [obm-l] soma da Eureka
Sauda,c~oes,
Obrigado Marcos.
No problema 8, f(k) = 1/(k^4 + k^2 + 1).
Conheço uma forma fechada para g(k) = k/(k^4 + k^2 + 1).
Como f(k) <= g(k) e \sum g(k) < 1/2, então \sum f(k) < 1/2.
Alguém tem outra solução ?
Luis
Date: Sun, 29 Dec 2013 22:26:08 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
f(x) + f(1 - x) = a^x/(a^x + sqr(a)) + a^(1 - x)/[a^(1 - x) + sqr(a)] =
a^x/(a^x + sqr(a)) + a/(a + a^x . sqr(a)) = a^x/(a^x + sqr(a)) + sqr(a)/(a^x +
sqr(a)) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Oi, oi Marcos,
Verdade. O problema 4 tem uma solução parecida: f(x) + f(1/x) = 1.
E o problema 5 na p. 38 ? f(x) = a^x/(a^x + sqrt(a)).
Deve ter uma solução usando os argumentos vistos nestas duas últimas soluções.
Alguma dica?
Luis
Date: Sun, 29 Dec 2013 18:20:29 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Para resolver o problema proposto, repare que: f(x) + f(1 - x) = 2/(4^x + 2) +
2/[4^(1 - x) + 2] = 2/(4^x + 2) + 4^x/(2 + 4^x) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Sauda,c~oes,
Adaptando o problema 3 da p. 37 da Eureka 37, existiria ?? uma forma fechada
para a soma
S(n) = a_1 + . + a_n para a_k = \frac{2}{4^k + 2}
Ou também, como fazer o problema proposto ?
Bom ano para todos.
Luis
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Re: [obm-l] soma da Eureka
f(x) + f(1 - x) = a^x/(a^x + sqr(a)) + a^(1 - x)/[a^(1 - x) + sqr(a)]
= a^x/(a^x
+ sqr(a)) + a/(a + a^x . sqr(a)) = a^x/(a^x + sqr(a)) + sqr(a)/(a^x +
sqr(a)) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
> Oi, oi Marcos,
>
> Verdade. O problema 4 tem uma solução parecida:
> f(x) + f(1/x) = 1.
>
> E o problema 5 na p. 38 ? f(x) = a^x/(a^x + sqrt(a)).
> Deve ter uma solução usando os argumentos vistos
> nestas duas últimas soluções.
>
> Alguma dica?
>
> Luis
>
>
> --
> Date: Sun, 29 Dec 2013 18:20:29 -0200
> Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
> From: mffmartine...@gmail.com 'mffmartine...@gmail.com');>
> To: obm-l@mat.puc-rio.br 'obm-l@mat.puc-rio.br');>
>
> Para resolver o problema proposto, repare que: f(x) + f(1 - x) = 2/(4^x +
> 2) + 2/[4^(1 - x) + 2] = 2/(4^x + 2) + 4^x/(2 + 4^x) = 1.
>
> Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
>
> Sauda,c~oes,
>
> Adaptando o problema 3 da p. 37 da Eureka 37,
> existiria ?? uma forma fechada para a soma
>
> S(n) = a_1 + . + a_n para a_k = \frac{2}{4^k + 2}
>
> Ou também, como fazer o problema proposto ?
>
> Bom ano para todos.
>
> Luis
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] soma da Eureka
Oi, oi Marcos,
Verdade. O problema 4 tem uma solução parecida: f(x) + f(1/x) = 1.
E o problema 5 na p. 38 ? f(x) = a^x/(a^x + sqrt(a)). Deve ter uma solução
usando os argumentos vistos nestas duas últimas soluções.
Alguma dica?
Luis
Date: Sun, 29 Dec 2013 18:20:29 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Para resolver o problema proposto, repare que: f(x) + f(1 - x) = 2/(4^x + 2) +
2/[4^(1 - x) + 2] = 2/(4^x + 2) + 4^x/(2 + 4^x) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Sauda,c~oes,
Adaptando o problema 3 da p. 37 da Eureka 37, existiria ?? uma forma fechada
para a soma
S(n) = a_1 + . + a_n para a_k = \frac{2}{4^k + 2}
Ou também, como fazer o problema proposto ?
Bom ano para todos.
Luis
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma da Eureka
Para resolver o problema proposto, repare que: f(x) + f(1 - x) = 2/(4^x +
2) + 2/[4^(1 - x) + 2] = 2/(4^x + 2) + 4^x/(2 + 4^x) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
> Sauda,c~oes,
>
> Adaptando o problema 3 da p. 37 da Eureka 37,
> existiria ?? uma forma fechada para a soma
>
> S(n) = a_1 + . + a_n para a_k = \frac{2}{4^k + 2}
>
> Ou também, como fazer o problema proposto ?
>
> Bom ano para todos.
>
> Luis
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re:[obm-l] soma da Eureka romena
tan(a-b) = (tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b)) ==>
tan(a)*tan(b) = (tan(a)-tan(b))/tan(a-b) - 1
a = (k+1)x e b = kx ==>
tan((k+1)x)*tan(kx) = (tan((k+1)x) - tan(kx))/tan(x) - 1 ==>
Soma(1<=k<=n-1) tan((k+1)x)*tan(kx) =
Soma(1<=k<=n-1) ( (tan((k+1)x) - tan(kx))/tan(x) - 1 ) =
(tan(nx) - tan(x))/tan(x) - (n-1)
x = pi/n ==>
Soma(1<=k<=n-1) tan(k*pi/n)*tan((k+1)*pi/n) =
(tan(pi) - tan(pi/n))/tan(pi/n) - (n-1) = -n.
(a condicao de n ser impar eh necessaria para evitar o termo correspondente a k
= n/2, o qual contem tan(pi/2))
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 19 Mar 2007 14:20:33 +
Assunto: [obm-l] soma da Eureka romena
> Sauda,c~oes,
>
> Esta é da Gazeta Matematica V.97, p.229.
> Calcular
>
> \sum_{k=1}^{n-1} \tan(k\pi/n) \tan[(k+1)\pi/n]
> n>=3, ímpar.
>
> []'s
> Luis
>
> _
> MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] soma da Eureka romena
hm...
Para facilitar a notação, seja w = \pi/n. Note que w não depende de k.
tg(w) = tg((k+1)w - kw) = [tg((k+1)w) - tg(kw)]/[1 + tg(kw)tg((k+1)w)]
Logo
1 + tg(kw)tg((k+1)w) = [tg((k+1)w) - tg(kw)]/tg(w),
ou seja,
tg(kw)tg((k+1)w) = [tg((k+1)w) - tg(kw)]/tg(w) - 1
e a soma S fica simples:
S = soma([tg((k+1)w) - tg(kw)]/tg(w) - 1)
= [tg(2w) - tg(w)]/tg(w) - 1 + [tg(3w) - tg(2w)]/tg(w) - 1 + ... + [tg(nw) -
tg((n-1)w)]/tg(w) - 1
= [1/tg(w)][tg(2w) - tg(w) + tg(3w) - tg(2w) + ... + tg(nw) - tg((n-1)w)] -
(n-1)
= [1/tg(w)][tg(nw) - tg(w)] - (n-1)
Mas tg(nw) = tg(\pi) = 0. Logo
S =[1/tg(w)][-tg(w)] - (n-1) = -1 - (n-1) = -n.
[]'s
Shine
- Original Message
From: Luís Lopes <[EMAIL PROTECTED]>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, March 19, 2007 11:20:33 AM
Subject: [obm-l] soma da Eureka romena
Sauda,c~oes,
Esta é da Gazeta Matematica V.97, p.229.
Calcular
\sum_{k=1}^{n-1} \tan(k\pi/n) \tan[(k+1)\pi/n]
n>=3, ímpar.
[]'s
Luis
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