Desculpe entrar na conversa, mas o livro do Huntley não é mais publicado, é?
Tive acesso ao livro pela biblioteca do LEM (laboratório de ensino da matemática) da
UNICAMP. Amei!
Procurei na internet e achei apenas a versão em inglês (não tenho, assim, como
apaixonar um aluno que não tem familiaridade com a língua). Alguém sabe como arrumo a
versão publicada pela Unb na década de 80? É um dos livros que faz falta na minha
biblioteca particular.
Eduardo Grasser
Campinas SP
--
De: Paulo Santa Rita[SMTP:[EMAIL PROTECTED]]
Enviada em: Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 15:35
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto:Re: Parte inteira - insistente
Ola Luis Lopes, Villard e
demais colegas da Lista :
Saudacoes !
Tambem achei este problema sobre a serie dos inversos dos numeros de
Fibonaci, interessante ... Nao me lembro de sua publicacao em algum momento
anterior.
Acredito que uma observacao do Villard, em essencia, resolveu a questao,
cabendo-nos agora tao somente detalhar sua implicacoes. Eu nao levarei a
solucao ate o final, mas vou indicar um caminho segura para se chegar a
isso.
Antes gostaria de Citar um Livro :
A Divina Proporcao
(Subtitulo : Um ensaio sobre a beleza na Matematica)
H.E. Huntley
Editora Universidade de Brasilia.
Neste livro existe muita coisa interessante sobre o trio amoroso : numero de
ouro, divisao em media e extrema razao e numeros de Fibonaci. So para aticar
a curiosidade, alguem conhece uma sequencia infinita, nao constante, que
seja simultaneamente progressao geometrica e aritmetica ? Vale a pena le-lo
!
Seja { 1, 1, 2, 3, 5, ..., Fn, ... } a sequencia de Fibonaci. Todos nos
conhecemos a formula de recorrencia para esta sequencia :
Fn+2 = Fn+1 + Fn.
A sequencia que interessa e : { 1, 1, 1/2, 1/3, 1/5, ..., 1/Fn, ... }. Vou
representar um termo generico desta sequencia por Gn. Assim : Gn = 1/Fn.
Convencionando que “RZ_2(5)” representa a “raiz quadrada
de cinco”, o numero fi - que muitos chamam de “numero de
ouro” e que aqui sera representado por H – pode ser expresso
como :
H = ( ( 1 + RZ_2(5) ) / 2 ). Daí seque que : (–1) / H = ( ( 1 -
RZ_2(5) ) / 2 )
Sabemos que Binet mostrou que :
Fn = ( 1 / RZ_2(5) )*( H^n - (-1/H)^n ). Daqui sai facil que : LIM
Fn+1/Fn = H. E como Gn=1/Fn, segue que Gn+1 / Gn = Fn / Fn+1. Portanto : LIM
Gn+1/Gn = 1/H. Ora, claramente que H > 1 e, portanto : LIM Gn+1/Gn = 1/H <
1.
O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, implica que a serie Gn : 1 + 1 + 1/2 + 1/3 +
1/5 + ... + 1/Fn + ... é absolutamente convergente. Sendo seus termos
todos positivos ... ELA E CONVERGENTE !
Agora, a pergunta mais dificil : CONVERGE PRA ONDE ? PRA QUE NUMERO ?
O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, mostra que para “n” suficientemente
grande, a sequencia :
Gn, Gn+1, Gn+2, ...
Se comporta como uma PG infinita com razão menor que um. A titulo de
visualizacao, calculei G31/G30 = 0.6180355 ... e G30/G29 = 0.6180355 ... (
igualdade até a 6 casa apos o ponto decimal ! ).
Podemos dizer, pois, numa primeira aproximacao, que a sua serie pode ser
somada como seque :
S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + {PG infinita de primeiro termo Gk e razao 1/H}. isto e
:
S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + Gk / ( 1 – (1/H) ).
S= G1+G2+G3+...+Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk
A ideia acima, expressa pelo colega Villard, encerra a essencia da questao.
O nosso proposito e, evidentemente, expressar S em funcao de alguma coisa
conhecida. Assim, definimos a funcao :
S(k)= G1 + G2 + G3 + ... + Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk
Não adianta pensar em calcular o valor do limite quando K tende ao infinito,
dado que isto implicaria em zerar Gk e, portanto, eliminar o fator constante
(H / ( H – 1) ) e voltariamos a ter que enfrentar o problema cru e
intratavel diretamente. Todavia, e certo que existe um MELHOR VALOR DE ( ou
EM FUNCAO DE ) K. Como Determinar este valor ?
MINHA IDEIA
Este melhor valor e o torna a diferenca entre S(K) e S ao menos um MINIMO,
senao zero. Na diferenca os termos significativos da serie irao desaparecer,
o que tornara as coisas mais faceis.
Eu penso que daqui em diante as coisas ficam mais simples. Algum colega
(talvez Villard ou Luis Lopes ou Duda ou Bruno ) pode querer completar as
coisas e determinar K. E legal !
Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
4,1532,18042001
>From: "Luis Lopes" <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: <[EMAIL PROTECTED]>
>Subject: Re: Parte inteira - insistente
>Date: Tue, 17 Apr 2001 12:26:29 -0300
>
>Sauda,c~oes,
>
>< eu queria uma resposta fechada, ou seja, saber se realmente a série
>converge ( que é o meu palpite ! ),
>
>Testar a convergência de uma série é uma coisa, achar a forma fechada (se),
>outra. Escrevi para o prof. Rousseau sobre este problema por achá-lo
>interessante etc e tal. Mas acho que o tiro saiu pela culatra. Vejam nossa
>correspondência.
>
>===
>Dear Luis:
>Maybe the proposer had something in mind that I missed.
>I would certainly be interested if he had some sort of exact
