Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Arthur e demais amigos da lista. mais uma vez agradeço a atenção e a consideração de vocês. Muito obrigado. Um abraço grande. Bruno Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos 1 - L y^2 z^3 =0 1 - 2L xy z^3 =0 1 - 3L x y^2 z^2 =0 x.y^2.z^3 - 864 = 0 Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem 1 - 2 x/y = 0 = y = 2x 1 - 3x/z = 0 = z = 3x Substituindo na ultima, vem entao x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 = 108 x^6 = 864 = x^6 = 8 = x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2) Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x - oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z - oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z 0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil Artur l [Artur Costa Steiner] sagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos 1 - L y^2 z^3 =0 1 - 2L xy z^3 =0 1 - 3L x y^2 z^2 =0 x.y^2.z^3 - 864 = 0 Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem 1 - 2 x/y = 0 = y = 2x 1 - 3x/z = 0 = z = 3x Substituindo na ultima, vem entao x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 = 108 x^6 = 864 = x^6 = 8 = x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2) Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x - oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z - oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z 0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil Artur l [Artur Costa Steiner] sagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta): S = x+y+z = 3(raiz cubica de xyz) (media aritm =media geom.) igualdade em x=y=z S = 3x x . y^2 . z^3 = x^6 = 864 S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa. On 5/10/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos 1 - L y^2 z^3 =0 1 - 2L xy z^3 =0 1 - 3L x y^2 z^2 =0 x.y^2.z^3 - 864 = 0 Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem 1 - 2 x/y = 0 = y = 2x 1 - 3x/z = 0 = z = 3x Substituindo na ultima, vem entao x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 = 108 x^6 = 864 = x^6 = 8 = x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2) Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x - oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z - oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z 0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil Artur l [Artur Costa Steiner] sagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
On 5/10/07, Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta): S = x+y+z = 3(raiz cubica de xyz) (media aritm =media geom.) igualdade em x=y=z Por que você considera x=y=z ??? S = 3x x . y^2 . z^3 = x^6 = 864 S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa. On 5/10/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos 1 - L y^2 z^3 =0 1 - 2L xy z^3 =0 1 - 3L x y^2 z^2 =0 x.y^2.z^3 - 864 = 0 Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem 1 - 2 x/y = 0 = y = 2x 1 - 3x/z = 0 = z = 3x Substituindo na ultima, vem entao x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 = 108 x^6 = 864 = x^6 = 8 = x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2) Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x - oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z - oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z 0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil Artur l [Artur Costa Steiner] sagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Henrique
Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Mas se MA=MG seu valor minimo é MG. Preciso da igualdade, que ocorre se x=y=z , nao é? On 5/10/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: On 5/10/07, Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta): S = x+y+z = 3(raiz cubica de xyz) (media aritm =media geom.) igualdade em x=y=z Por que você considera x=y=z ??? S = 3x x . y^2 . z^3 = x^6 = 864 S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa. On 5/10/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos 1 - L y^2 z^3 =0 1 - 2L xy z^3 =0 1 - 3L x y^2 z^2 =0 x.y^2.z^3 - 864 = 0 Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem 1 - 2 x/y = 0 = y = 2x 1 - 3x/z = 0 = z = 3x Substituindo na ultima, vem entao x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 = 108 x^6 = 864 = x^6 = 8 = x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2) Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x - oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z - oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z 0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil Artur l [Artur Costa Steiner] sagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Henrique -- - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
