---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sun, 13 May 2007 14:25:59 -0300 Assunto: [obm-l] Integral maior q zero
> 1) > F(x)= Int [1a x] (e^t)*dt / t , x>0 > > Para quais valores de x vale: Ln x <= F(x) > Seja G(x) = F(x) - log(x). Entao: G'(x) = (e^x - 1)/x ==> G'(x) < 0, se 0 < x < 1; G'(1) = 0; G'(x) > 0, se x > 1. Logo, 1 eh um ponto de minimo global de G, com G(1) = 0. Ou seja, G(x) >= 0, para todo x > 0 ==> log(x) <= f(x), para tdod x > 0, com igualdade sss x = 1. > > > 2) Provar que 1/(x+1/2) < Ln(1+1/x) < 1/x para todo x>0 > Faca y = 1/x. Entao o problema fica provar que: 2y/(y+2) < log(1+y) < y, para todo y > 0. Quando y -> 0+, todos as tres expressoes tendem a 0. Assim, basta mostrar que vale a desigualdade das derivadas, ou seja: 4/(y+2)^2 < 1/(1+y) < 1 A segunda desigualdade eh obvia. A primeira tambem: ela equivale a y^2 > 0 (faca as contas e veja). []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================