Re:[obm-l] desigualdade da Eureka romena (2)
De:[EMAIL PROTECTED]
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Data:Wed, 21 Mar 2007 13:00:32 +
Assunto:[obm-l] desigualdade da Eureka romena (2)
> Sauda,c~oes,
>
> ===
> 2(1+x^{n+1})^n >= (1+x^n)^{n+1}
> para x>0 , n\in N.
> ===
> Tentei por indução e não consegui.
>
Seja f:[0,+inf) -> R dada por:
f(x) = 2^(1/n)*(1+x^(n+1)) - (1+x^n)^((n+1)/n)
onde n é um inteiro positivo arbitrário mas fixo.
f é diferenciável ==>
f'(x) = (n+1)*x^(n-1)*(2^(1/n)*x - (1+x^n)^(1/n))
f'(x) = 0 ==> x = 0 ou x = 1
x > 1 ==> f'(x) > 0.
Logo, os pontos críticos de f são x = 0 e x = 1.
f(0) = 2^(1/n) - 1 > 0
f(1) = 0 ==> f(x) é mínimo (e igual a 0) para x = 1 ==>
f(x) >= 0 para todo x >= 0 ==>
2^(1/n)*(1+x^(n+1)) >= (1+x^n)^((n+1)/n), para todo x >= 0 ==>
(elevando a n-ésima potência)
2*(1+x^(n+1))^n >= (1+x^n)^(n+1), para todo x >= 0.
> ===
> Aí vai:
>
> Seja S_n(p) = S = 1 + 2^p + 3^p + n^p
> com n,p\in N; p >= n > 0. Mostre que
>
> [n/(p+1)] + 1/2 <= S/n^p < 2 .
>
> Fonte: Gazeta Matematica V.97, p.228.
>
Compare Integral(0...1) x^p*dx com as somas de Riemann inferior e superior,
usando n sub-intervalos de comprimento 1/n, x_k = (k-1)/n, y_k = k/n (k=1...n).
Teremos:
(1+2^p+...+(n-1)^p)/n^(p+1) <= 1/(p+1) <= (1+2^p+...+n^p)/n^(p+1)
Ou seja, (S - n^p)/n^p = S/n^p - 1 <= n/(p+1) <= S/n^p.
Como 0 < n <= p, teremos S/n^p - 1 <= n/(p+1) < 1 ==> S/n^p < 2.
Pra outra desigualdade vou ter que pensar mais um pouco, mas imagino que
[n/(p+1)] não deva ser a parte inteira de n/(p+1), que é zero.
[]s,
Claudio.
Re:[obm-l] desigualdade da Eureka romena (2)
Sauda,c~oes,
Oi Claudio,
===
2(1+x^{n+1})^n >= (1+x^n)^{n+1}
para x>0 , n\in N.
===
Sua solução é a padrão. ok.
Nem tentei deste modo pois se funcionar não
tem graça. Valeu.
===
Seja S_n(p) = S = 1 + 2^p + 3^p + n^p
com n,p\in N; p >= n > 0. Mostre que
[n/(p+1)] + 1/2 <= S/n^p < 2 .
===
Gostei. Valeu novamente.
===
Pra outra desigualdade vou ter que pensar mais um pouco,
mas imagino que [n/(p+1)] não deva ser a parte inteira de
n/(p+1), que é zero.
===
Não é. O termo é somente n/(p+1). Não tenho hábito de
escrever [x] parte inteira de x. Escrevo \lfloor e \rfloor do
LaTeX ou defino [x] parte inteira. Foi mal.
[]'s
L.
_
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re:[obm-l] desigualdade da Eureka romena (2)
> > Aí vai: > > > > Seja S_n(p) = S = 1 + 2^p + 3^p + n^p > > com n,p\in N; p >= n > 0. Mostre que > > > > [n/(p+1)] + 1/2 <= S/n^p < 2 . > > > > Fonte: Gazeta Matematica V.97, p.228. > > > > Compare Integral(0...1) x^p*dx com as somas de Riemann inferior e superior, > usando n sub-intervalos de comprimento 1/n, x_k = (k-1)/n, y_k = k/n (k=1...n). Teremos: > > (1+2^p+...+(n-1)^p)/n^(p+1) <= 1/(p+1) <= (1+2^p+...+n^p)/n^(p+1) > > Ou seja, (S - n^p)/n^p = S/n^p - 1 <= n/(p+1) <= S/n^p. > > Como 0 < n <= p, teremos S/n^p - 1 <= n/(p+1) < 1 ==> S/n^p < 2. > > Pra outra desigualdade vou ter que pensar mais um pouco, mas imagino que > [n/(p+1)] não deva ser a parte inteira de n/(p +1), que é zero. > Aqui vai a outra desigualdade: A funcao x -> x^p eh convexa se p >= 1. Logo, a aproximacao trapezoidal supera o valor da integral (iguala se p = 1). Assim, Soma(k=1...n) ((k-1)/^p+k^p)/(2n^(p+1)) >= 1/(p+1) ==> Soma(k=1...n) ((k-1)^p + k^p) = 2S - n^p >= 2n^(p+1)/(p+1) ==> S/n^p - 1/2 >= n/(p+1) ==> S/n^p >= n/(p+1) + 1/2. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
