Re: [obm-l] Funções Help !!
Olá Henrique, perfeito! Eu escrevi com x primeiro, mas, por algum motivo maluco, achei mais facil de entender com outra letra.. mas faltou atualizar ali! hehe Obrigado novamente, Salhab 2008/4/30 Henrique Rennó <[EMAIL PROTECTED]>: > Ola Marcelo > > 2008/4/30 Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>: > > > Olá Kleber, > > > > a) > > Ida: Suponha que f não seja sobrejetiva. Então, #Im(f) < #X, isto é, > > existe w E X, tal que nao existe a E X, com f(a) = x. Deste modo, temos > > #D(f) = n e #Im(f) < n. Pelo princípio da casa dos pombos, tem que existir > > r, s E X, tal que f(r) = f(s). Absurdo, pois f é injetiva. (cqd) > > > Seria "com f(a) = w" nao seria? > > > > > > > > Volta: Suponha que f não seja injetiva. Então, existe a, b, E X, tal que > > f(a) = f(b). Deste modo, temos que #Im(f) < #X, pois #D(f) = n, e 2 deles > > tem mesma imagem. Mas #Im(f) < #X implica que f não pode ser sobrejetiva. > > Absurdo. (cqd). > > > > b) > > Não. > > Para a ida, veja que f: N --> N, f(x) = x+1 é injetiva, mas não é > > sobrejetiva. > > Para a volta, veja f: Z --> Z, f(x) = x^2 é sobrejetiva, mas não é > > injetiva. > > > > abraços, > > Salhab > > > > > > > > > > 2008/4/24 Kleber Bastos <[EMAIL PROTECTED]>: > > > > Estou com dúvida na seguinte questão : > > > > > > (a) Mostre que se X é um conjunto finito então uma função f: X --> X é > > > injetiva se somente se é sobrejetiva. > > > > > > (b) O resultado do item anterior também é válido se X é um conjunto > > > infinito ? JUstifique sua resposta. > > > > > > -- > > > Kleber B. Bastos > > > > > > > > > > -- > Henrique
Re: [obm-l] Funções Help !!
Ola Marcelo 2008/4/30 Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>: > Olá Kleber, > > a) > Ida: Suponha que f não seja sobrejetiva. Então, #Im(f) < #X, isto é, > existe w E X, tal que nao existe a E X, com f(a) = x. Deste modo, temos > #D(f) = n e #Im(f) < n. Pelo princípio da casa dos pombos, tem que existir > r, s E X, tal que f(r) = f(s). Absurdo, pois f é injetiva. (cqd) Seria "com f(a) = w" nao seria? > > > Volta: Suponha que f não seja injetiva. Então, existe a, b, E X, tal que > f(a) = f(b). Deste modo, temos que #Im(f) < #X, pois #D(f) = n, e 2 deles > tem mesma imagem. Mas #Im(f) < #X implica que f não pode ser sobrejetiva. > Absurdo. (cqd). > > b) > Não. > Para a ida, veja que f: N --> N, f(x) = x+1 é injetiva, mas não é > sobrejetiva. > Para a volta, veja f: Z --> Z, f(x) = x^2 é sobrejetiva, mas não é > injetiva. > > abraços, > Salhab > > > > > 2008/4/24 Kleber Bastos <[EMAIL PROTECTED]>: > > Estou com dúvida na seguinte questão : > > > > (a) Mostre que se X é um conjunto finito então uma função f: X --> X é > > injetiva se somente se é sobrejetiva. > > > > (b) O resultado do item anterior também é válido se X é um conjunto > > infinito ? JUstifique sua resposta. > > > > -- > > Kleber B. Bastos > > > > -- Henrique
Re: [obm-l] Funções Help !!
Olá Kleber, a) Ida: Suponha que f não seja sobrejetiva. Então, #Im(f) < #X, isto é, existe w E X, tal que nao existe a E X, com f(a) = x. Deste modo, temos #D(f) = n e #Im(f) < n. Pelo princípio da casa dos pombos, tem que existir r, s E X, tal que f(r) = f(s). Absurdo, pois f é injetiva. (cqd) Volta: Suponha que f não seja injetiva. Então, existe a, b, E X, tal que f(a) = f(b). Deste modo, temos que #Im(f) < #X, pois #D(f) = n, e 2 deles tem mesma imagem. Mas #Im(f) < #X implica que f não pode ser sobrejetiva. Absurdo. (cqd). b) Não. Para a ida, veja que f: N --> N, f(x) = x+1 é injetiva, mas não é sobrejetiva. Para a volta, veja f: Z --> Z, f(x) = x^2 é sobrejetiva, mas não é injetiva. abraços, Salhab 2008/4/24 Kleber Bastos <[EMAIL PROTECTED]>: > Estou com dúvida na seguinte questão : > > (a) Mostre que se X é um conjunto finito então uma função f: X --> X é > injetiva se somente se é sobrejetiva. > > (b) O resultado do item anterior também é válido se X é um conjunto > infinito ? JUstifique sua resposta. > > -- > Kleber B. Bastos >
Re: [obm-l] Funções Help !!
Olá Kleber! On 4/24/08, Kleber Bastos <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Estou com dúvida na seguinte questão : > > (a) Mostre que se X é um conjunto finito então uma função f: X --> X é > injetiva se somente se é sobrejetiva. > Como X é um conjunto finito ele possui um número de elementos n, onde n está no conjunto dos naturais, e como uma função é sobrejetiva quando sua imagem é igual ao contradomínio, temos nesse caso que X seria a imagem e o próprio contradomínio. Assim, sendo f uma função sobrejetiva e uma aplicação de X a X, todo elemento de X está relacionado a apenas um único elemento do conjunto X (por definição de função), fazendo desse modo todo elemento de X fazer parte da imagem uma única vez, ou seja, a função é injetiva, onde função injetiva seria cada elemento do domínio, conjunto X, se relacionar com um elemento que não está relacionado a nenhum outro do contradomínio. > (b) O resultado do item anterior também é válido se X é um conjunto > infinito ? JUstifique sua resposta. > Como o conjunto é infinito pode-se ter 2 elementos distintos do domínio se relacionando com o mesmo elemento da imagem e ainda assim a função ser sobrejetiva com a imagem igual ao contradomínio, já que existem infinitos elementos no conjunto. Portanto, acredito que para um conjunto infinito a função f não seria injetiva embora seja sobrejetiva. -- > Kleber B. Bastos > -- Henrique
