Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Ola Frederico e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
O Teorema de Bolzano a que me referi e o seguinte :
TEOREMA DE BOLZANO : Se Y=P(X) e um polinomio real de coeficientes reais
definido no intervalo
]a,b[ entao :
1) Se o sinal de P(a) e igual ao sinal de P(b) ha um numero par de raizes no
intervalo ]a,b[
( podendo ser 0 raizes )
2) Se o sinal de P(a) e diferente do sinal de P(b) entao ha um numero impar
de raizes
Existem muitas coisas interessantes para serem vistas aqui, muitas das quais
dependentes de algum conhecimento mais aprofundado. Por exemplo. A equacao :
Z^7 + 5bar(Z)^4 + Z = 0
tem 17 solucoes... E verdade ! 17 solucoes ! E a abordagem disso segue as
pegadas do Gauss, ao abordar os sistemas R(a,b) e C(a,b) aos me referi. Mas
e dificil falar sobre isso sem pressupor algum conhecimento alem do nivel da
graduacao.
Nao sei ate onde voce estudou, mas talvez voce consiga ler o trabalho :
http://www.arxiv.org/abs/math.na/0209097
Muito provavelmente, dentre todos os Matematicos do Mundo, o Prof Nicolau
Saldanha, nosso moderador, e o cara que melhor entende destas coisas e de
suas implicacoes. Para nos Brasileiros e, em particular, nos aqui desta
lista, isso e motivo de muito orgulho.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1129,220703
From: "Frederico Reis Marques de Brito" <[EMAIL PROTECTED]>
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Subject: Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Date: Tue, 22 Jul 2003 10:14:37 -0300
Olá Paulo, bom ter reenviado a prova de Cauchy. Acaso o Teorema de Bolzano
a que se refere é o tb conhecido como Teorema do Valor Intermediário ( ou
em realidade algo equivalente a ele ) ? Se não, qual o enunciado?
Obrigado,
FRederico.
From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>
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Subject: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Date: Mon, 21 Jul 2003 18:15:03 +
Ola Pessoal,
Revendo a mensagem na qual aprresento a PROVA DE CAUCHY para o Teorema
Fundamental da Algebra achei-a um tanto confusa, pois eu estava escrevendo
com
pressa. Como este Teorema e importante, dificilmente encontrado em livros
do
ensino medio e sendo a prova de Cauchy simples, facilmente acompanhavel
por
um estudante dedicado, resolvi re-escrever a prova, colocando detalhes de
forma que
qualquer pessoa possa entender.
Esse Teorema tem provas mais longas e mais curvas. Usando Analise complexa
a
prova e trivial e curtissima, mas nao acho que seja adeguado apresentar
aqui, por
obvias razoes.
A IDEIA FUNDAMENTAL : A ideia subjacente a esta prova e a seguinte. Se
everdade
que todo polinomio no plano de Argand tem raiz, entao esta raiz minimiza o
seu modulo
e a suposicao de um minimo positivo deve conduzir a um absurdo. Como fazer
este
absurdo surgir ? Considerando um circulo em torno do ponto que minimiza o
modulo do
polinomio e tratando retas passando por este ponto. Em uma destas retas
evidenciara
o absurdo. O resto e detalhe.
Segue a Prova de Cauchy :
Seja P(X) = A0*(X^n) + A1*(X^n-1) + ... + An-1*X + An um polinomio no
qual os
coeficientes A0, A1, ..., An-1, An sao numeros complexos quaisquer e X e
uma
variavel complexa. Queremos mostrar que existe Z complexo tal que :
P(Z) = A0*(Z^n) + A1*(Z^n-1) + ... + An-1*Z + An = 0.
Para tanto, seja M = MIN { MODULO( P(X) ), X variando em C }.
Como, por definicao, modulo( P(X) ) >= 0. Segue que M >= 0. Portanto, M
pode
ser
PRIMEIRO CASO : M = 0.
Neste caso, existe um complexo Z0 tal que MODULO( P(Z0) ) = 0. Segue que
P(Z0) = 0 e portanto Z0 e uma raiz de P(X) e a demonstracao esta
concluida.
SEGUNDO CASO : M > 0.
Neste caso, seja Z0 o complexo tal que MODULO( P(Z0) ) = M. IMAGINANDO no
plano complexo um circulo de centro Z0 e raio R, segue que qualquer ponto
Z na
circunferencia deste circulo pode ser imaginado como a extremidade de um
vetor,
soma dos vetores :
Z0 : origem em (0,0) e extremidade no ponto Z0
Z1 : origem no ponto Z0, extremidade no ponto Z e modulo R
Assim, para qualquer Z na circunferencia do circulo, teremos :
Z = Z0 + Z1
Calculando agora P(Z), teremos :
P(Z)=P(Z0 + Z1)=A0*((Z0 + Z1)^n ) + A1*((Z0+Z1)^n-1 ) + ... + An-1*(Z0+Z1)
+ An
Na expressao acima, ao expandirmos (Z0+Z)^p - p = 0,1,2, ..., n - usando o
Binomio
de Newton, iremos obter as parcelas A0*(Z0^n), A1*(Z0^n-1), ..., An-1*Z0,
An nas
quais nao aparece Z1 e diversas outras parcelas, nas quais sempre constara
Z1 :
1) Sozinho, sem que apareca Z0. Exemplos :
A0*(Z1^n), A1*(Z1^n-1), ..., An-1*Z1
2) Acompanhado de Z1. Exemplos :
BINOM(N,1)*A0*(Z0^n-1)*(Z1), BINOM(N,N-1)*A0*(Z0)*(Z1^n-1), ...
onde BINOM(N,P) = N! / ( P!*(N-P)! )
Esta observacao deixa claro que P(Z0+Z1) tera o seguinte aspecto :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + B0*(Z1^n) + B1*(Z1^n-1) + ... + Bn*Z1
onde cada Bi e uma constante ou um polinomio em Z0.
Claramente que dependendo dos Ai originais, de "n" e do valor de Z0,
alguns destes
Bi poderao ser nulos. Se, alem de eliminar os
Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Ah, ok! Acabo de encontrar o enunciado do Teorema de Bolzano, que prezumo,
era o que vc havia se referido:
Sejam P(x) um polinômio a coeficientes reais e a < b números
reais. Se P(a) . P(b) >0 então P(x) tem um no par ( podendo ser = 0 )
de zeros reais no intervalo aberto ( a , b ) e se P(a) . P(b) < 0, P(x)
tem um número ímpar de zeros em ( a , b ).
Segue a demonstração:
Podemos supor P(x) não constante( pois no caso cte nada temos a provar ) e
mônico ( por simplicidade ). Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, podemos
fatorar P(x) completamente em fatores "lineares":
P(x) = ( x-a1) . ( x-a2 ) ... ( x - ak ) . (x - z1 ) ... (x - zm) .
Em que os ai´s são reais e os bj´s complexos não-reais e são as
raízes de P(x)=0.
OBS: Se P(x) não tiver raiz real então P(x)>0 para todo x real e tudo
bem. Dessa forma podemos assumir que P(x) tenha alguma raiz real.
Mas tb sabemos que as raízes complexas não-reais só aparecem aos pares, z e
conjugado de z , pois P(x) tem coef. reais. Daí, podemos reescrever :
P(x) = (x - a1)...(x - ak). Q(x) , com Q(x) >0 para todo x real =>
P(a) . P(b) = ( a - a1) ... ( a - ak ) .( b - a1) ... ( b - ak). Q(a).
Q(b) .
Se a < a_i < b => a - a_i <0 e b - a_i >
0 .
Se a_i < a => a - a_i > 0 e b - a_i
> 0 .
Se a_i > b => a - a_i< 0 e b -
a_i < 0 .
Desta forma, sea_i é uma raiz de P(x) no intervalo (a, b ) => (
a-a_i). (b-b_i)<0 . Caso contrário, (a-a_i). (b -a_i) >0 . Decorre que se
P(a).P(b) > 0 => o número de raizes reais de P9x) em (a,b) é
necessariamente par e se P(a). P(b) <0 => o no de raízes reais de P(x) em
(a,b) é necessariamente ímpar.
Abraços a todos.
Frederico.
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Subject: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Date: Mon, 21 Jul 2003 18:15:03 +
Ola Pessoal,
Revendo a mensagem na qual aprresento a PROVA DE CAUCHY para o Teorema
Fundamental da Algebra achei-a um tanto confusa, pois eu estava escrevendo
com
pressa. Como este Teorema e importante, dificilmente encontrado em livros
do
ensino medio e sendo a prova de Cauchy simples, facilmente acompanhavel por
um estudante dedicado, resolvi re-escrever a prova, colocando detalhes de
forma que
qualquer pessoa possa entender.
Esse Teorema tem provas mais longas e mais curvas. Usando Analise complexa
a
prova e trivial e curtissima, mas nao acho que seja adeguado apresentar
aqui, por
obvias razoes.
A IDEIA FUNDAMENTAL : A ideia subjacente a esta prova e a seguinte. Se
everdade
que todo polinomio no plano de Argand tem raiz, entao esta raiz minimiza o
seu modulo
e a suposicao de um minimo positivo deve conduzir a um absurdo. Como fazer
este
absurdo surgir ? Considerando um circulo em torno do ponto que minimiza o
modulo do
polinomio e tratando retas passando por este ponto. Em uma destas retas
evidenciara
o absurdo. O resto e detalhe.
Segue a Prova de Cauchy :
Seja P(X) = A0*(X^n) + A1*(X^n-1) + ... + An-1*X + An um polinomio no
qual os
coeficientes A0, A1, ..., An-1, An sao numeros complexos quaisquer e X e
uma
variavel complexa. Queremos mostrar que existe Z complexo tal que :
P(Z) = A0*(Z^n) + A1*(Z^n-1) + ... + An-1*Z + An = 0.
Para tanto, seja M = MIN { MODULO( P(X) ), X variando em C }.
Como, por definicao, modulo( P(X) ) >= 0. Segue que M >= 0. Portanto, M
pode
ser
PRIMEIRO CASO : M = 0.
Neste caso, existe um complexo Z0 tal que MODULO( P(Z0) ) = 0. Segue que
P(Z0) = 0 e portanto Z0 e uma raiz de P(X) e a demonstracao esta concluida.
SEGUNDO CASO : M > 0.
Neste caso, seja Z0 o complexo tal que MODULO( P(Z0) ) = M. IMAGINANDO no
plano complexo um circulo de centro Z0 e raio R, segue que qualquer ponto Z
na
circunferencia deste circulo pode ser imaginado como a extremidade de um
vetor,
soma dos vetores :
Z0 : origem em (0,0) e extremidade no ponto Z0
Z1 : origem no ponto Z0, extremidade no ponto Z e modulo R
Assim, para qualquer Z na circunferencia do circulo, teremos :
Z = Z0 + Z1
Calculando agora P(Z), teremos :
P(Z)=P(Z0 + Z1)=A0*((Z0 + Z1)^n ) + A1*((Z0+Z1)^n-1 ) + ... + An-1*(Z0+Z1)
+ An
Na expressao acima, ao expandirmos (Z0+Z)^p - p = 0,1,2, ..., n - usando o
Binomio
de Newton, iremos obter as parcelas A0*(Z0^n), A1*(Z0^n-1), ..., An-1*Z0,
An nas
quais nao aparece Z1 e diversas outras parcelas, nas quais sempre constara
Z1 :
1) Sozinho, sem que apareca Z0. Exemplos :
A0*(Z1^n), A1*(Z1^n-1), ..., An-1*Z1
2) Acompanhado de Z1. Exemplos :
BINOM(N,1)*A0*(Z0^n-1)*(Z1), BINOM(N,N-1)*A0*(Z0)*(Z1^n-1), ...
onde BINOM(N,P) = N! / ( P!*(N-P)! )
Esta observacao deixa claro que P(Z0+Z1) tera o seguinte aspecto :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + B0*(Z1^n) + B1*(Z1^n-1) + ... + Bn*Z1
onde cada Bi e uma constante ou um polinomio em Z0.
Claramente que dependendo dos Ai originais, de "n" e do valor de
Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Olá Paulo, bom ter reenviado a prova de Cauchy. Acaso o Teorema de Bolzano a
que se refere é o tb conhecido como Teorema do Valor Intermediário ( ou em
realidade algo equivalente a ele ) ? Se não, qual o enunciado?
Obrigado,
FRederico.
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Subject: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Date: Mon, 21 Jul 2003 18:15:03 +
Ola Pessoal,
Revendo a mensagem na qual aprresento a PROVA DE CAUCHY para o Teorema
Fundamental da Algebra achei-a um tanto confusa, pois eu estava escrevendo
com
pressa. Como este Teorema e importante, dificilmente encontrado em livros
do
ensino medio e sendo a prova de Cauchy simples, facilmente acompanhavel por
um estudante dedicado, resolvi re-escrever a prova, colocando detalhes de
forma que
qualquer pessoa possa entender.
Esse Teorema tem provas mais longas e mais curvas. Usando Analise complexa
a
prova e trivial e curtissima, mas nao acho que seja adeguado apresentar
aqui, por
obvias razoes.
A IDEIA FUNDAMENTAL : A ideia subjacente a esta prova e a seguinte. Se
everdade
que todo polinomio no plano de Argand tem raiz, entao esta raiz minimiza o
seu modulo
e a suposicao de um minimo positivo deve conduzir a um absurdo. Como fazer
este
absurdo surgir ? Considerando um circulo em torno do ponto que minimiza o
modulo do
polinomio e tratando retas passando por este ponto. Em uma destas retas
evidenciara
o absurdo. O resto e detalhe.
Segue a Prova de Cauchy :
Seja P(X) = A0*(X^n) + A1*(X^n-1) + ... + An-1*X + An um polinomio no
qual os
coeficientes A0, A1, ..., An-1, An sao numeros complexos quaisquer e X e
uma
variavel complexa. Queremos mostrar que existe Z complexo tal que :
P(Z) = A0*(Z^n) + A1*(Z^n-1) + ... + An-1*Z + An = 0.
Para tanto, seja M = MIN { MODULO( P(X) ), X variando em C }.
Como, por definicao, modulo( P(X) ) >= 0. Segue que M >= 0. Portanto, M
pode
ser
PRIMEIRO CASO : M = 0.
Neste caso, existe um complexo Z0 tal que MODULO( P(Z0) ) = 0. Segue que
P(Z0) = 0 e portanto Z0 e uma raiz de P(X) e a demonstracao esta concluida.
SEGUNDO CASO : M > 0.
Neste caso, seja Z0 o complexo tal que MODULO( P(Z0) ) = M. IMAGINANDO no
plano complexo um circulo de centro Z0 e raio R, segue que qualquer ponto Z
na
circunferencia deste circulo pode ser imaginado como a extremidade de um
vetor,
soma dos vetores :
Z0 : origem em (0,0) e extremidade no ponto Z0
Z1 : origem no ponto Z0, extremidade no ponto Z e modulo R
Assim, para qualquer Z na circunferencia do circulo, teremos :
Z = Z0 + Z1
Calculando agora P(Z), teremos :
P(Z)=P(Z0 + Z1)=A0*((Z0 + Z1)^n ) + A1*((Z0+Z1)^n-1 ) + ... + An-1*(Z0+Z1)
+ An
Na expressao acima, ao expandirmos (Z0+Z)^p - p = 0,1,2, ..., n - usando o
Binomio
de Newton, iremos obter as parcelas A0*(Z0^n), A1*(Z0^n-1), ..., An-1*Z0,
An nas
quais nao aparece Z1 e diversas outras parcelas, nas quais sempre constara
Z1 :
1) Sozinho, sem que apareca Z0. Exemplos :
A0*(Z1^n), A1*(Z1^n-1), ..., An-1*Z1
2) Acompanhado de Z1. Exemplos :
BINOM(N,1)*A0*(Z0^n-1)*(Z1), BINOM(N,N-1)*A0*(Z0)*(Z1^n-1), ...
onde BINOM(N,P) = N! / ( P!*(N-P)! )
Esta observacao deixa claro que P(Z0+Z1) tera o seguinte aspecto :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + B0*(Z1^n) + B1*(Z1^n-1) + ... + Bn*Z1
onde cada Bi e uma constante ou um polinomio em Z0.
Claramente que dependendo dos Ai originais, de "n" e do valor de Z0, alguns
destes
Bi poderao ser nulos. Se, alem de eliminar os Bi nulos, ordenarmos o
polinomio em Z1
resultante segundo as potencias crescentes de Z1, renomeando a seguir os Bi
por C's,
teremos algo semelhante a :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + C1*(Z1^a) + C2*(Z1^b) + ... + Cp*(Z1^w).
Nesta ultima expressao acima :
1) Nenhum dos Ci e nulo, por construcao.
2) a < b < c < ... < w, em virtude da ordenacao
3) p <= n, obvio.
Colocando C1*(Z1^a) em evidencia :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + C1*(Z1^a)*[ 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
(Cp/C1)*(Z1^w-a) ]
Como estamos supondo P(Z0) > 0, podemos dividir tudo po P(Z0). Dividindo :
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + ( C1/P(Z0) )*(Z1^a)*[ 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
(Cp/C1)*(Z1^w-a) ]
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + ( C1/P(Z0) )*[(Z1^a)*( 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
(Cp/C1)*(Z1^w-a) )]
Fazendo C1/P(Z0) = k :
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + k*[(Z1^a)*( 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
(Cp/C1)*(Z1^w-a) )]
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + k*[(Z1^a)*( 1 + Z1*F(Z1) )
onde F(Z1) e uma funcao ( um polinomio ) em Z1.
Claramente que sao numeros complexos tanto "k" quanto Z1, podendo portanto
serem
colocados na forma trigonometrica, isto e :
k = P*( cosQ + i*senQ ) e Z1 = R( cosS + i*senS )
Portanto : k*(Z1^a) = P(R^a)*( cos(Q + aS) + i*sen(Q + aS) ). Dai :
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1+ P(R^a)*( cos(Q + aS) + i*sen(Q + aS) )*( 1 + Z1*F(Z1)
)
PRESTE BASTANTE ATENCAO AQUI : Z0 e fixo. Ele e o complexo que torna
modulo( P(Z) )
minimo. Segue que P(Z0) e um complexo fixo e que C1/P(Z0) tambem o e, pois
C1 e uma constante ou um polinomio em Z0. Mas Z1 nao e fixo. Z1 e UM PONTO
na circunferencia do c
