Re: estranho
Já que o assunto é Teoria dos Conjuntos, gostaria que alguém me resolvesse
algumas dúvidas:
1)A cardinalidade do conjunto dos números reais é 2^n, onde n é a
cardinalidade do conjunto dos naturais. Existe, então, uma bijeção entre o
conjunto dos reais e o conjunto dos subconjuntos dos naturais? Como prova?
2)Existe uma bijeção entre o conjunto dos reais e o conjunto dos
subconjuntos enumeráveis dos reais?
3)Qual seria um exemplo de um conjunto maior do que o dos reais?
Rogerio Fajardo
>From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: Re: estranho
>Date: Tue, 12 Sep 2000 13:53:17 -0300 (BRT)
>
>
>
>On Mon, 11 Sep 2000, Eduardo Favarão Botelho wrote:
>
> > Espera aí!
> >
> > Que negócio é esso de que um infinito é maior que o outro? como
>assim
> > ser Q um conjunto enumerável?
> > Estou confuso.
> > E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema bonitinho:
> > calcule S, sendo
> >
> > S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ...
> >
> > Abraços, Eduardo
> >
> >
> > >Um exemplo:
> > >tome o conjunto dos números reais R.
> > >lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I (conjunto dos
>numeros
> > irracionais) estao contidos >em R.
> > >Escolha um elemento de R aleatoriamente.
> > >Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional?
> > >ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e portanto esse
> > evento e perfeitamente >possivel.
> > >Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se e que isso faz
> > algum sentido para voce) e I, >assim como R nao sao enumeraveis, ou seja
>sao
> > "muito maiores".
> >
>
>Um conjunto infinito X é enumerável se existe bijeção entre X e N,
>o conjunto dos naturais.
>
>O cardinal de X é igual ao de Y se existe bijeção entre X e Y.
>Escreve-se |X| = |Y|.
>X é infinito enumerável se |X| = |N|.
>
>O cardinal de X é maior ou igual do que o de Y se existir:
>(a) função injetora de Y para X;
>(b) função sobrejetora de X para Y.
>As condições (a) e (b) são equivalentes.
>Escreve-se |X| >= |Y|.
>
>Naturalmente, escreve-se |X| > |Y| quando |X| >= |Y| mas |X| != |Y|
>(onde != significa 'diferente de', ou seja, 'não igual a').
>
>Pode-se demonstrar que |N| = |Z| = |Q| < |R| = |C|,
>onde estes são os conjuntos dos naturais, inteiros, racionais,
>reais e complexos.
>Para qualquer conjunto X, sempre temos |X| < |P(X)|,
>onde P(X) = {Y | Y é subconjunto de X} é o conjunto das partes de X.
>Para quaisquer conjuntos infinitos X e Y temos |X| <= |Y| ou |Y| <= |X|
>e |X U Y| = |X x Y| = max(|X|,|Y|).
>
>O assunto é grande, veja um bom livro de teoria dos conjuntos,
>como Naïve Set Theory, Halmos (existe tradução).
>
>[]s, N.
>
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Re: estranho
On Mon, 11 Sep 2000, Eduardo Favarão Botelho wrote:
> Espera aí!
>
> Que negócio é esso de que um infinito é maior que o outro? como assim
> ser Q um conjunto enumerável?
> Estou confuso.
> E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema bonitinho:
> calcule S, sendo
>
> S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ...
>
> Abraços, Eduardo
>
>
> >Um exemplo:
> >tome o conjunto dos números reais R.
> >lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I (conjunto dos numeros
> irracionais) estao contidos >em R.
> >Escolha um elemento de R aleatoriamente.
> >Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional?
> >ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e portanto esse
> evento e perfeitamente >possivel.
> >Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se e que isso faz
> algum sentido para voce) e I, >assim como R nao sao enumeraveis, ou seja sao
> "muito maiores".
>
Um conjunto infinito X é enumerável se existe bijeção entre X e N,
o conjunto dos naturais.
O cardinal de X é igual ao de Y se existe bijeção entre X e Y.
Escreve-se |X| = |Y|.
X é infinito enumerável se |X| = |N|.
O cardinal de X é maior ou igual do que o de Y se existir:
(a) função injetora de Y para X;
(b) função sobrejetora de X para Y.
As condições (a) e (b) são equivalentes.
Escreve-se |X| >= |Y|.
Naturalmente, escreve-se |X| > |Y| quando |X| >= |Y| mas |X| != |Y|
(onde != significa 'diferente de', ou seja, 'não igual a').
Pode-se demonstrar que |N| = |Z| = |Q| < |R| = |C|,
onde estes são os conjuntos dos naturais, inteiros, racionais,
reais e complexos.
Para qualquer conjunto X, sempre temos |X| < |P(X)|,
onde P(X) = {Y | Y é subconjunto de X} é o conjunto das partes de X.
Para quaisquer conjuntos infinitos X e Y temos |X| <= |Y| ou |Y| <= |X|
e |X U Y| = |X x Y| = max(|X|,|Y|).
O assunto é grande, veja um bom livro de teoria dos conjuntos,
como Naïve Set Theory, Halmos (existe tradução).
[]s, N.
Re: estranho
Em Mon, 11 Sep 2000 23:00:42 -0300 Eduardo Favarão Botelho Escreveu: > Espera aí! > > Que negócio é esso de que um infinito é maior que o outro? como assim > ser Q um conjunto enumerável? > Estou confuso. > E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema bonitinho: > calcule S, sendo > > S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ... > > Abraços, Eduardo > > > >Um exemplo: > >tome o conjunto dos números reais R. > >lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I (conjunto dos > numeros > irracionais) estao contidos >em R. > >Escolha um elemento de R aleatoriamente. > >Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional? > >ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e portanto esse > evento e perfeitamente >possivel. > >Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se e que isso faz > algum sentido para voce) e I, >assim como R nao sao enumeraveis, ou seja > sao > "muito maiores". Caro Eduardo, somente resolverei o problema proposto por voce. S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ... 1 1/2 + 1/2 + + 1/4 + 1/4 + 1/4 + + + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + + + + . . . . . . . . . . . . -- 2 + 1 + 1/2 + 1/4 = 4 Observe que eu provoquei o aparecimento de diversas PGs. Abracos!!! MailBR - O e-mail do Brasil -- http://www.mailbr.com.br Faça já o seu. É gratuito!!!
Re: estranho
Um conjunto eh enumeravel quando eh possivel estabelecer uma bijecao entre o conjunto dado e o conjunto dos numeros naturais. Isto acontece com o conjunto dos racionais mas nao com o conjunto dos reais. Acredito que por isso pode-se dizer que o infinito dos reais eh "maior" que o infinito dos racionais. Quanto ao seu problema temos: S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ... (1) S/2 = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + (2) Fazendo (1) - (2) teremos: S/2 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... S/2 = 1/(1/2) = 2 logo S = 4. []'s MP - Original Message - From: "Eduardo Favarão Botelho" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, September 11, 2000 11:00 PM Subject: estranho > Espera aí! > > Que negócio é esso de que um infinito é maior que o outro? como assim > ser Q um conjunto enumerável? > Estou confuso. > E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema bonitinho: > calcule S, sendo > > S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ... > > Abraços, Eduardo > > > >Um exemplo: > >tome o conjunto dos números reais R. > >lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I (conjunto dos numeros > irracionais) estao contidos >em R. > >Escolha um elemento de R aleatoriamente. > >Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional? > >ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e portanto esse > evento e perfeitamente >possivel. > >Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se e que isso faz > algum sentido para voce) e I, >assim como R nao sao enumeraveis, ou seja sao > "muito maiores". >
Re: estranho
On Sun, 10 Sep 2000, josimat wrote:
> Só pra não perder a viagem, na questão abaixo, alguém gostaria de dizer por
> que a) não é correto? Acredito que isto seja obscuro a mais pessoas desta
> lista, pois vi um problema semelhante causar uma longa discussão entre os
> professores que faziam um determinado curso. No lançamento de duas moedas
> idênticas, qual dos dois conjuntos é o espaço amostral?
> a) {duas caras, duas coroas, resultados diferentes}.
> b) {(k,c), (c,k), (c,c), (k,k)}
> A resposta é b).
A resposta para a pergunta como você formulou é: tanto faz.
O espaço amostral é algo que *você* define, e define da forma
que for mais interessante. Ambas as respostas acima são corretas.
O único porém é que se você resolver usar o espaço amostral (a)
então as probabilidades *não* são todas iguais, são 1/4, 1/4, 1/2.
> Qual a probabilidade de dar resultados iguais?
1/2
> E se as moedas fossem diferentes?
1/2
Tudo isso supondo, naturalmente, que as moedas são equilibradas
(probabilidades iguais para c e k) e independentes
(uma moeda não afeta a outra). As duas suposições são bem naturais
mas é perfeitamente possível produzir moedas não equilibradas,
com probabilidade mensuravelmente maior para c (digamos) do que para k.
E também é possível, apesar de bem mais complicado,
fazer com que o resultado de uma moeda afete o resultado da outra
(tente moedas magnetizadas, um polo em cada face, e jogue uma perto da outra).
[]s, N.
Re: estranho
Agradeço a todos que responderam, embora
devo confessar que para mim, o mais coerente seria dizer probabilidade
próxima de zero, em vez de probabilidade zero. Mas talvez isto seja um
detalhe não muito importante.
OBRIGADO.
Só pra não perder a viagem, na questão
abaixo, alguém gostaria de dizer por que a) não
é correto? Acredito que isto seja obscuro a mais pessoas desta lista,
pois vi um problema semelhante causar uma longa discussão entre os
professores que faziam um determinado curso.
No
lançamento de duas moedas idênticas, qual dos dois conjuntos
é o espaço amostral?
a) {duas
caras, duas coroas, resultados diferentes}.
b) {(k,c), (c,k), (c,c),
(k,k)}
A resposta é
b).
Qual a probabilidade de dar resultados iguais? E se as
moedas fossem diferentes?
[]'s JOSIMAR
-Mensagem original-De:
José Paulo Carneiro <[EMAIL PROTECTED]>Para:
[EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data:
Sábado, 9 de Setembro de 2000 11:54Assunto: Re:
estranho
Josimat:
A
sua estranheza vem do fato de que frequentemente se ouve ou le que a
definicao de probabilidade eh o quociente entre o numero de casos favoraveis
e o numero de casos possiveis. Se isto fosse verdade, voce teria razao:
probabilidade zero seria sinonimo de evento impossivel. Acontece que esta
nao eh a definicao de probabilidade de um evento. Isto eh aquilo a que se
reduz a definicao quando se particulariza para conjuntos (espacos amostrais)
finitos (e mesmo assim, supondo certas coisas).
De
um modo mais geral (e mesmo assim ainda nao eh o super-geral), a
probabilidade eh o quociente entre uma certa "medida" do conjunto
dos casos favoraveis e a "medida" do conjunto dos casos possiveis.
So para conjuntos finitos, esta medida eh o numero de elementos do conjunto
em questao.
Para conjuntos infinitos, isto seria impossivel. Para estes, entao,
sao introduzidas outras maneiras de medir esses conjuntos (por exemplo,
comprimentos, areas, etc.), e ahi, podem existir conjuntos de medida zero
que nao sao vazios.
JP
-Mensagem original-De:
josimat <[EMAIL PROTECTED]>Para:
[EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data:
Sexta-feira, 8 de Setembro de 2000 20:08Assunto:
estranho
Muito
estranho...
Alguém poderia dizer algo sobre a
afirmativa:
"A
probabilidade de um evento ocorrer pode ser zero mesmo sendo possível
sua ocorrência."
[]'s
Josimar
Re: estranho
Josimat: A sua estranheza vem do fato de que frequentemente se ouve ou le que a definicao de probabilidade eh o quociente entre o numero de casos favoraveis e o numero de casos possiveis. Se isto fosse verdade, voce teria razao: probabilidade zero seria sinonimo de evento impossivel. Acontece que esta nao eh a definicao de probabilidade de um evento. Isto eh aquilo a que se reduz a definicao quando se particulariza para conjuntos (espacos amostrais) finitos (e mesmo assim, supondo certas coisas). De um modo mais geral (e mesmo assim ainda nao eh o super-geral), a probabilidade eh o quociente entre uma certa "medida" do conjunto dos casos favoraveis e a "medida" do conjunto dos casos possiveis. So para conjuntos finitos, esta medida eh o numero de elementos do conjunto em questao. Para conjuntos infinitos, isto seria impossivel. Para estes, entao, sao introduzidas outras maneiras de medir esses conjuntos (por exemplo, comprimentos, areas, etc.), e ahi, podem existir conjuntos de medida zero que nao sao vazios. JP -Mensagem original-De: josimat <[EMAIL PROTECTED]>Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data: Sexta-feira, 8 de Setembro de 2000 20:08Assunto: estranho Muito estranho... Alguém poderia dizer algo sobre a afirmativa: "A probabilidade de um evento ocorrer pode ser zero mesmo sendo possível sua ocorrência." []'s Josimar
Re: estranho
On Fri, 8 Sep 2000, P_mintz wrote: > Deixem-me arriscar: > > Se não estou tão mal, passou pela lista um problema que perguntava, mais ou > menos assim: "qual a probabilidade de termos um triângulo retângulo dentro de > um quadrado de 1 por 1, sendo que dois vértices do triângulo são apoiados em > dois vértices do quadrado". Isso é possível, sim, mas dada a infinidade de > pontos que não atendem ao problema, a resposta dada aqui foi que a > probabilidade é zero, mesmo sendo possível esse triângulo. Mesmo não tendo > sido exatamente esse o problema, eu acho que a idéia tem a ver. Por favor, > professores, digam se isso está certo! > > Bruno Mintz > (3o ano do ensino mérdio, ainda...) > > -Mensagem original- > De: josimat <[EMAIL PROTECTED]> > Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Sexta-feira, 8 de > Setembro de 2000 20:28 Assunto: estranho > > > Muito estranho... Alguém poderia dizer algo sobre a afirmativa: "A > probabilidade de um evento ocorrer pode ser zero mesmo sendo possível sua > ocorrência." []'s Josimar > > A resposta do Bruno está correta. Quando tratamos de espaços amostrais infinitos (i.e., o conjunto das coisas que podem acontecer é infinito) este fenômeno ocorre. Um exemplo bem mais simples seria: escolha um número real x0 entre 0 e 1, digamos x0 = 1/2. Agora tome um número real x1 ao acaso entre 0 e 1; qual a probabilidade de que x1 = x0, *exatamente*? Resposta: 0, para qualquer x0 previamente escolhido. Entretanto o evento não pode ser considerado impossível pois obviamente vai sair *algum* x1! []s, N.
Re: estranho
Deixem-me arriscar: Se não estou tão mal, passou pela lista um problema que perguntava, mais ou menos assim: "qual a probabilidade de termos um triângulo retângulo dentro de um quadrado de 1 por 1, sendo que dois vértices do triângulo são apoiados em dois vértices do quadrado". Isso é possível, sim, mas dada a infinidade de pontos que não atendem ao problema, a resposta dada aqui foi que a probabilidade é zero, mesmo sendo possível esse triângulo. Mesmo não tendo sido exatamente esse o problema, eu acho que a idéia tem a ver. Por favor, professores, digam se isso está certo! Bruno Mintz (3o ano do ensino mérdio, ainda...) -Mensagem original-De: josimat <[EMAIL PROTECTED]>Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data: Sexta-feira, 8 de Setembro de 2000 20:28Assunto: estranho Muito estranho... Alguém poderia dizer algo sobre a afirmativa: "A probabilidade de um evento ocorrer pode ser zero mesmo sendo possível sua ocorrência." []'s Josimar
