Re: uma desigualdade!
1) No livro The Art of Computer Programming Vol 1, de D. Knuth,
temos o seguinte resultado:
Um limite superior para a soma S = 1/i^r, i=1,2,...n com r1 e real é dado
por 2^{r-1}/(2^{r-1}-1). Colocando r=3, obtemos S 4/33/2.
Essa desigualdade é muito boa! Você tem uma demonstração?
Não, não tenho. A afirmação é dada como um exercício. Você pode encontrar
esse livro numa biblioteca. Outro que é muito bom e que fala disso também
(mas não tenho certeza desse exercício em particular) é o "Matemática
Concreta" de Graham, R.L., Knuth, D.E. e Patashnik, O., Livros Técnicos e
Científicos Editora, Rio de Janeiro, 1995.
[ ]'s
Luís Lopes
Re: uma desigualdade!
Saudações a todos,
Para que saibamos do que vou falar, copio a mensagem recebida:
On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300
Bruno Leite [EMAIL PROTECTED] wrote:
At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote:
Caros amigos, como posso verificar a desigualdade
1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2 para todo
n natural ?
Um esbo=E7o de solu=E7=E3o:
Provar por indu=E7=E3o que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+
1/n^3 3/2(1-1/n)
para n1
Ent=E3o quando n-infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+
1/n^33/2
A s=E9rie 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 =E9 crescente,
limitada
superiormente e tem um limite que =E9 menor que 3/2.
Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 +
...+ 1/n^3 3/2.
Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3
1.202057
Abra=E7o
Bruno Leite
1) No livro The Art of Computer Programming Vol 1, de D. Knuth,
temos o seguinte resultado:
Um limite superior para a soma S = 1/i^r, i=1,2,...n com r1 e real é dado
por 2^{r-1}/(2^{r-1}-1). Colocando r=3, obtemos S 4/33/2.
2) Gostaria de ter mais detalhes para a prova por indução.
3) Como achar o limite superior 1.202057 ?
[]s
Luís Lopes
Re: uma desigualdade!
... 3) Como achar o limite superior 1.202057 ? Você pode ver http://www.lacim.uqam.ca/piDATA/Zeta3.txt Eu não sei como achar esse limite com papel e caneta. Quero dizer, não sei se realmente temos que fazer muitas contas ou se alguma boa idéia nos leva rapidamente ao resultado. []s Luís Lopes
Re: uma desigualdade!
Carissimo Bruno, Antes de mais nada, registro minha alegria em "reve-lo virtualmente". Saudacoes ! Parece que aqui na lista temos a oportunidade de consquistar nao so conhecimentos, mas, tambem, amigos ! Esta serie e, de fato, interessantissima ... Ela guarda um evidente parentesco - ao menos quanto a forma - com a serie dos inversos dos quadrados 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... Tio Euler pode somar esta serie, mas, a dos inversos dos cubos, nao. E digno de nota que tanto Bernoulli quanto Leibniz tentaram, sem sucesso, obter o mesmo resultado. Posteriormente Tio Euler generalizou para uma potencia par qualquer. Voce sabe como ele concluiu que 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... = ((pi)^2)/6 ? Nao ? Observando o desenvolvimento em serie de Taylor do seno(x). Como seno(x)=0 = x=k*(pi), K inteiro, Euler concluiu que o desenvolvimento em serie de seno(x) era um polinomio infinito que obedecia as relacoes de girard entre os coeficientes e as raizes de uma equacao(valido para um polinomio finito ). Dai aplicou estas relacoes para encontrar a soma dos inversos dos quadrados das raizes (infinitas) do polinomio infinito. Genial, nao ? Mas, conforme falei, Tio Euler nao teve sucesso ( e nenhum outro matematico depois dele, ate hoje - pelo que sei ) com a soma dos inversos dos cubos. Por que ? Bom, "pi" aparece com muitas caras. Em particular aparece tal como Gregori o viu: pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... Por outro lado, qualquer quadrado pode ser expresso como uma soma de numeros impares, a saber: N^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*N - 1) E portanto podemos expressar o resultado de Euler como: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...=(1/6)*(1 - 1/3 + 1/5 - ...)*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... ) Ocorre que se (a1, a2, a3, ... ) e uma progressao harmonica, entao, sempre, (a1 - a2 + a3 - a4 + ...) e uma serie convergente e a soma dos inversos dos quadrados e da masma natureza que a soma dos numeros triangulares. Esta series formam um triangulo aritmetico. On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 Bruno Leite [EMAIL PROTECTED] wrote: At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: Caros amigos, como posso verificar a desigualdade 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2 para todo n natural ? Um esboço de solução: Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2(1-1/n) para n1 Então quando n-infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^33/2 A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, limitada superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2. Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 1.202057 Abraço Bruno Leite Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: uma desigualdade!
Paulo Santa Rita wrote: Carissimo Bruno, Antes de mais nada, registro minha alegria em "reve-lo virtualmente". Saudacoes ! Parece que aqui na lista temos a oportunidade de consquistar nao so conhecimentos, mas, tambem, amigos ! Esta serie e, de fato, interessantissima ... Ela guarda um evidente parentesco - ao menos quanto a forma - com a serie dos inversos dos quadrados 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... Tio Euler pode somar esta serie, mas, a dos inversos dos cubos, nao. E digno de nota que tanto Bernoulli quanto Leibniz tentaram, sem sucesso, obter o mesmo resultado. Posteriormente Tio Euler generalizou para uma potencia par qualquer. Voce sabe como ele concluiu que 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... = ((pi)^2)/6 ? Nao ? Observando o desenvolvimento em serie de Taylor do seno(x). Como seno(x)=0 = x=k*(pi), K inteiro, Euler concluiu que o desenvolvimento em serie de seno(x) era um polinomio infinito que obedecia as relacoes de girard entre os coeficientes e as raizes de uma equacao(valido para um polinomio finito ). Dai aplicou estas relacoes para encontrar a soma dos inversos dos quadrados das raizes (infinitas) do polinomio infinito. Genial, nao ? Mas, conforme falei, Tio Euler nao teve sucesso ( e nenhum outro matematico depois dele, ate hoje - pelo que sei ) com a soma dos inversos dos cubos. Por que ? Bom, "pi" aparece com muitas caras. Em particular aparece tal como Gregori o viu: pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... Por outro lado, qualquer quadrado pode ser expresso como uma soma de numeros impares, a saber: N^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*N - 1) E portanto podemos expressar o resultado de Euler como: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...=(1/6)*(1 - 1/3 + 1/5 - ...)*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... ) Ocorre que se (a1, a2, a3, ... ) e uma progressao harmonica, entao, sempre, (a1 - a2 + a3 - a4 + ...) e uma serie convergente e a soma dos inversos dos quadrados e da masma natureza que a soma dos numeros triangulares. Esta series formam um triangulo aritmetico. On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 Bruno Leite [EMAIL PROTECTED] wrote: At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: Caros amigos, como posso verificar a desigualdade 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2 para todo n natural ? Um esboço de solução: Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2(1-1/n) para n1 Então quando n-infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^33/2 A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, limitada superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2. Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 1.202057 Abraço Bruno Leite Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ Houve uma pequena distração. Leia-se série de Fourier onde está série de Taylor. Morgado
Re: uma desigualdade!
Este problema pode ser resolvido de modo analogo ao da hiperbole: A soma 1/2^3 + 1/3^3 + ... + 1/n^3 eh a soma das areas dos retangulos inscritos sob a curva y=1/x^3, de 1 ateh n, para a particao: 123...n. Entao, ela eh menor que a integral de 1/x^3 dx de 1 a n, a qual eh: 1/2 - 1/2n^2 1/2. Somando 1 a ambos os lados, a soma he menor que 3/2. JP -Mensagem original- De: Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 9 de Julho de 2000 22:14 Assunto: uma desigualdade! Caros amigos, como posso verificar a desigualdade 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2 para todo n natural ? Um abraço , Carlos A Gomes.
