Muito pertinentes as suas duvidas, Rogerio.
Vou lhe indicar 3 livros.
1) What is Mathematics, Really? de R.Hesch. Apesar de eu nao concordar com
a posicao dele no assunto, acho que ele expoe bem o problema e os argumentos
dos seus adversarios.
2) Philosophy of Mathematics, Selected Readings, editado por Benacerraf
Putnam. La voce encontrarah textos originais de B.Russell, Goedel, Quine,
Poincare, Brouwer, etc.
3) New Directions in the Philosophy of Mathematics, editado por T.Tymoczko,
1998. Traz as opinioes mais recentes (com comentarios) de Lakatos, Rene
Thom, Polya, Hersch, Putnam (What is Mathematical Truth?), Goodman
(Mathematics as an Objective Science), etc.
Desde que este bicho te mordeu, prepare-se para estuda-lo o resto da vida.
JP
- Original Message -
From: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, April 12, 2001 2:20 PM
Subject: axiomas e verdades matemticas
Caros colegas da lista,
Estudando um pouco de fundamentos da matemtica, me vieram grandes
dvidas sobre o que uma "verdade absoluta" em matemtica, independente
de
qualquer sistema de axiomas, e como prov-las.
A primeira dvida: o que um sistema de axiomas? Em algumas
disciplinas
do bacharelado em matemtica, como Anlise Real e lgebra, vemos
demonstraes a partir de alguns axiomas, como as propriedades de adio e
multiplicao, propriedades de ordenao e axioma do supremo. Porm, as
dedues dos teoremas a partir dos axiomas, usam os argumentos lgicos
tradicionais, tidos como verdadeiros e incontestveis.
Mas alguns sistemas mais formalizados, utilizam regras de inferncia
como Modus Ponens e substituio uniforme. As sentenas (as chamadas wff)
passam a ser sequncias de smbolos que obedecem certas regras de formao
e
os teoremas so obtidos mecanicamente a partir dos axiomas e regras de
inferncia. As sentenas acabam se tornando livres de qualquer significado
intuitivo para demonstrarmos os teoremas.
Ficam, a, duas perguntas: 1-todos sistemas so formalizados dessa
maneira, incluindo ZFC e Postulado de Euclides? 2-Por mais mecnico que
seja, o fato de um sistema implicar tal teorema, no uma verdade
independente do sistema? No seria uma verdade absoluta que estou
admitindo
como verdadeira sempre?
Outra dvida ainda mais cruel. A matemtica moderna defende que todas
as
verdades matemticas precisam decorrer de um sistema de axiomas, de forma
que, nada que se demonstra em matemtica absoluto. Uma pergunta: O
teorema
de Godel depende de que axiomas? Ou melhor, a metamatemtica se baseia em
que axiomas, se ela, em si, estuda os sistemas de axiomas? Se dissermos: o
teorema de Godel se baseia no ZFC ou em outro sistema de teoria dos
conjuntos (segundo a matemtica moderna, toda a matemtica baseada em um
sistema de axiomas para teoria dos conjuntos), ento quer dizer que, se
mudssemos esse sistema, poderamos ter que o teorema de Godel fosse
falso,
revendo a possibilidade de cumprir o velho sonho de termos uma matemtica
consistente e completa.
O segundo teorema de Godel diz que, se um sistema consistente, sua
consistncia no pode ser provada dentro do prprio sistema. Surge a
dvida:
como provar a consistncia? Um sistema consistente ou no consistente.
Isso absoluto. Ou ele prova uma sentena e sua negao ou ele no prova
nenhuma sentena e sua negao. No faz sentido dizermos que isso depende
se
estamos trabalhando no ZFC ou no.
Em resumo: afinal, o que absoluto na Matemtica? Em outras palavras,
o
que realmente afirma, como verdade, essa cincia (ou ramo do saber, se no
querem chamar a matemtica de cincia) qual dedicamos tantas horas por
dia
e que est to presente no nosso cotidiano? Dizer que nada na Matemtica
absoluto, o mesmo que dizer "A matemtica nada afirma, ela no existe",
j
que um ramo do saber que nada afirma no existe.
Agradeo a ateno e pacincia de terem lido tudo isso. Agradeo mais
ainda se algum responder ou pelo menos indicar um bom livro onde eu posso
estudar Fundamentos da Matemtica realmente "a fundo".
Rogrio
_
Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
