Re: ime 2001
To maluco! Consegui nao ler a segunda soluçao. Desculpem. Morgado Augusto Morgado wrote: Alem dessas (otimas) soluçoes, para mostrar a divisibilidade por 5 poder-se-ia usar (eis o canhao matando uma mosca) o Pequeno Teorema de Fermat. Paulo Santa Rita wrote: Ola Falows e Amigos da Lista, Se o algarismo das unidades de "K^5" e de "K" sao iguais, entao a diferenca "K^5 - K" termina em zero, vale dizer : ela e multiplo de dez. Claramente que "K^5 - K" e multiplo de dois, qualquer que seja o natural "K". Para ver isso, note que se supormos que "K" e par, entao "K^5" sera necessariamente par e, portanto, a diferenca "K^5 - K" sera do tipo "par - par" que e par; por outro lado, supondo "K" impar, "K^5" sera impar e ,neste caso, diferenca "K^5 - K" sera do tipo "impar - impar" que e par. Resta provarmos que "K^5 - K" e tambem multiplo de cinco. Existe uma grande quantidade de formas de se fazer isso ... 1 FORMA ( Estilo "Aluno de 8 serie ) : Se "K" for multiplo de cinco, entao o fato de "K^5 - K" poder ser colocado na forma K(K^4 - 1) mostra que esta diferenca tambem e multiplo de cinco. Se "K" nao for multiplo de cinco, entao, pelo algoritmo da divisao, ele podera ser colocado na forma 5*q + r, com 0 r 5. Como : K^5 - K = K(K^4 - 1) = K(K^2 - 1)(K^2 + 1) K^5 - K = K(K - 1)(K + 1)(K^2 + 1) Se r=1, "K^5 - K" se transformara em (5p+1)*5p*(5p+2)[(5p+1)^2 + 1] ... Multiplo de 5 ! Se r=4, "K^5 - K" se transformara em (5p+4)*(5p+3)*(5p+5)*[(5p+4)^2 + 1] 5*(5p+4)*(5p+3)*(p+1)*[(5p+4)^2 + 1] ... Multiplo de 5 ! Se r=2 ou r=3 o fator "K^2 + 1" ira se transformar, respectivamente, em (25p^2 + 20p + 5) =5*(5p^2 + 4p +1) e (25p^2 + 30p + 10)=5*(5p^2 + 6p + 2), ambos multiplos de 5 ! Esgotadas as hipoteses possiveis sobre r, so nos resta admitir que "K^5 - K" e sempre multiplo de 5. 2 FORMA ( Estilo "Sintetico - Como eu faria" ) : Vemos que K^5 - K = K(K^4 - 1). Se K for multiplo de 5, claramente que K(K^4 - 1) tambem sera. Se nao for, entao, pelo teorema de Fermat, K^4 e congruo a 1 modulo 5 e, portanto, K^4 e 1 deixam o mesmo resto quando dividos por 5 e, assim, k^4 - 1 e multiplo de 5. 3 FORMA ( Estilo "Rolo compressor" ) E como voce fez, listando, pelo que entendi, todas as possibilidades de combinacoes. E valido. Nota : Existe um teorema ( das quatro cores ) cuja primeira prova consistiu em exibir todas as combinacoes possiveis ... Muitas pessoas nao aceitam tal prova, outras aceitam ... Em minha opiniao ( fraca, em face do que podem dizer os Grandes Professores que orientam Nossa Lista ), uma "Prova por Enumeracao" e um indicativo da falta de algum(ns) conceito(s) do(s) qual(is) o fato provado por enumeracao possa ser derivado como consequencia logica ! 4 FORMA ( Estilo "indutor" ) A praxis seria supor que "P^5 - P" (K=P) e divisivel por 5 e mostrar que para (K=P+1) obrigatoriamente tambem seria. Nao vou fazer, mas tenho certeza que e tao simples como todos os outros casos ... Eu acho que esta bom, mas neste momento estou vendo duas outras formas diferentes de chegar a este resultado ... Isto mostra a simplicidade da questao e a riqueza das tecnicas matematicas. Um Grande Abraco pra voce Um Grande abraco pra todos os colegas da lista Paulo Santa Rita 6,1158,02032001 Nota : Existe um Teorema ( das quatro cores ) em que a prova From: "Exercicio~®" Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: ime 2001 Date: Fri, 02 Mar 2001 00:27:53 -0300 Olá pessoal! Essa questão foi do último vestibular do ime. Alguém poderia apresentar uma resolução formal para essa questão? ( IME - 2001 ) Prove que para qualquer número inteiro K, os números K e K^5 terminam sempre com o mesmo algarismo ( algarismo das unidades). Eu faria assim: K = R_n onde n varia de 0 a 9 e R é qq número inteiro. K = R_0 K^5 = R_0 × R_0 × R_0 × R_0 × R_0 = T_0, onde T é qq número inteiro K = R_1 K^5 = R_1 ×R_1 ×R_1 ×R_1 ×R_1 = T_1, onde T é qq número inteiro. K = R_2 K^5 = R_2 ×R_2 ×R_2 ×R_2 ×R_2 = T_2, onde T é qq número inteiro. . . . . . . K = R_9 K^5 = R_9 ×R_9 ×R_9 ×R_9 ×R_9 = T_9, onde T é qq número inteiro. Agora fica a minha dúvida: Se num problema de demostraçao, caso eu consiga expor para o examinador TODOS os casos existentes(desde q seja viável, como nesse problema) para tal demostraçao, eu preciso necessariamente utilizar variáveis literais? No caso, se eu estivesse fazendo essa
Re: ime 2001
Ola Prof Morgado, Ola Colegas da Lista : Eu nao escrevi antes, alertando-o que a solucao pelo pequeno Teorema de Fermat havia sido apresentado na segunda solucao (2 FORMA), porque imaginei que a mensagem chegara truncada a sua maquina. Vejo que me enganei. A solucao pelo Teorema de Fermat foi a primeiro que veio a minha mente, mas, dado o nivel da questao, preferi iniciar com uma solucao onde nao se falava em congruencias ... Para os colegas da Nossa Lista que nao conhecem este Teorema de Fermat ao qual o Ilustre Prof Morgado se refere, registro que se "==" for lido como "e congruente a", entao vale : (Teorema de Fermat )Se P e um numero primo e P nao divide A, entao: A^(P-1) == 1 (MOD P) Claramente que isto implica que "A^(P-1) - 1" e divisivel por P. Pode-se deduzir muitas implicacoes elementares deste teorema ... A questao em foco, apresentada pelo colega Falows, e uma delas. Apresento (mais) uma solucao, a "Solucao Burocratica" : SOLUCAO DO BUROCRATA : Seja L(K)=K^5 - K. Vemos que L(0)=0 : divisivel por 5, portanto. Admitamos, pois, que L(K)=K^5 - K seja divisivel por 5. Entao : L(K+1)=(K+1)^5 - (K+1) L(K+1)=K^5 + 5K^4 + 10K^3 + 10K^2 + 5K + 1 - K - 1 L(K+1)=(K^5 - K) + 5(K^4 + 2K^3 + 2k^2 + K) Portanto, suponto L(K) divisivel por 5, segue obrigatoriamente que L(K+1) tambem e, pois e formato pela soma das parcelas K^5 - K=L(K) que, por hipotese de inducao, e divisivel por 5 e 5(K^4 + 2K^3 + 2k^2 + K) que e evidentemente divisivel por 5. Logo, pelo Principio da Inducao Finita (1 FORMA), L(K) e divisivel por 5 para todo inteiro K = 0. Seja agora P=-K, K inteiro e maior que zero. entao: L(P)=(-K)^5 - (-K)= -K^5 + K = -(K^5 - K) E vemos assim que K^5 - K e divisivel por 5 para qualquer inteiro ( nao so os inteiro naturais ). Um Grande Abraco Prof Morgado Um Grande Abraco a Todos Paulo Santa Rita 1,1140,04032001 From: Augusto Morgado Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: ime 2001 Date: Sun, 04 Mar 2001 10:40:55 -0300 To maluco! Consegui nao ler a segunda soluao. Desculpem. Morgado Augusto Morgado wrote: Alem dessas (otimas) soluoes, para mostrar a divisibilidade por 5 poder-se-ia usar (eis o canhao matando uma mosca) o Pequeno Teorema de Fermat. Paulo Santa Rita wrote: Ola Falows e Amigos da Lista, Se o algarismo das unidades de "K^5" e de "K" sao iguais, entao a diferenca "K^5 - K" termina em zero, vale dizer : ela e multiplo de dez. Claramente que "K^5 - K" e multiplo de dois, qualquer que seja o natural "K". Para ver isso, note que se supormos que "K" e par, entao "K^5" sera necessariamente par e, portanto, a diferenca "K^5 - K" sera do tipo "par - par" que e par; por outro lado, supondo "K" impar, "K^5" sera impar e ,neste caso, diferenca "K^5 - K" sera do tipo "impar - impar" que e par. Resta provarmos que "K^5 - K" e tambem multiplo de cinco. Existe uma grande quantidade de formas de se fazer isso ... 1 FORMA ( Estilo "Aluno de 8 serie ) : Se "K" for multiplo de cinco, entao o fato de "K^5 - K" poder ser colocado na forma K(K^4 - 1) mostra que esta diferenca tambem e multiplo de cinco. Se "K" nao for multiplo de cinco, entao, pelo algoritmo da divisao, ele podera ser colocado na forma 5*q + r, com 0 r 5. Como : K^5 - K = K(K^4 - 1) = K(K^2 - 1)(K^2 + 1) K^5 - K = K(K - 1)(K + 1)(K^2 + 1) Se r=1, "K^5 - K" se transformara em (5p+1)*5p*(5p+2)[(5p+1)^2 + 1] ... Multiplo de 5 ! Se r=4, "K^5 - K" se transformara em (5p+4)*(5p+3)*(5p+5)*[(5p+4)^2 + 1] 5*(5p+4)*(5p+3)*(p+1)*[(5p+4)^2 + 1] ... Multiplo de 5 ! Se r=2 ou r=3 o fator "K^2 + 1" ira se transformar, respectivamente, em (25p^2 + 20p + 5) =5*(5p^2 + 4p +1) e (25p^2 + 30p + 10)=5*(5p^2 + 6p + 2), ambos multiplos de 5 ! Esgotadas as hipoteses possiveis sobre r, so nos resta admitir que "K^5 - K" e sempre multiplo de 5. 2 FORMA ( Estilo "Sintetico - Como eu faria" ) : Vemos que K^5 - K = K(K^4 - 1). Se K for multiplo de 5, claramente que K(K^4 - 1) tambem sera. Se nao for, entao, pelo teorema de Fermat, K^4 e congruo a 1 modulo 5 e, portanto, K^4 e 1 deixam o mesmo resto quando dividos por 5 e, assim, k^4 - 1 e multiplo de 5. 3 FORMA ( Estilo "Rolo compressor" ) E como voce fez, listando, pelo que entendi, todas as possibilidades de combinacoes. E valido. Nota : Existe um teorema ( das quatro cores ) cuja primeira prova consistiu em exibir todas as combinacoes possiveis ... Muitas pessoas nao aceitam tal prova, outras aceitam ... Em minha opiniao ( fraca, em face do que podem dizer os Grandes Professores que orientam Nossa Lista ), um
Re: ime 2001
Obrigado a todos q responderam o problema do ime Valeu! Falow's Exercicio
Re: ime 2001
Ola Falows e Amigos da Lista, Se o algarismo das unidades de "K^5" e de "K" saoiguais, entao a diferenca "K^5 - K" termina emzero, vale dizer : ela e multiplo de dez. Claramente que "K^5 - K" e multiplo de dois,qualquer que seja o natural "K". Para ver isso,note que se supormos que "K" e par, entao "K^5"sera necessariamente par e, portanto, a diferenca"K^5 - K" sera do tipo "par - par" que e par; poroutro lado, supondo "K" impar, "K^5" sera impar e,neste caso, diferenca "K^5 - K" sera do tipo"impar - impar" que e par. Resta provarmos que "K^5 - K" e tambem multiplode cinco. Existe uma grande quantidade de formasde se fazer isso ... 1 FORMA ( Estilo "Aluno de 8 serie ) :Se "K" for multiplo de cinco, entaoo fato de "K^5 - K" poder ser colocado na formaK(K^4 - 1) mostra que esta diferenca tambem e multiplo de cinco. Se "K" nao for multiplo decinco, entao, pelo algoritmo da divisao, ele podera ser colocado na forma 5*q + r, com 0 r 5. Como : K^5 - K = K(K^4 - 1) = K(K^2 - 1)(K^2 + 1) K^5 - K = K(K - 1)(K + 1)(K^2 + 1) Se r=1, "K^5 - K" se transformara em(5p+1)*5p*(5p+2)[(5p+1)^2 + 1] ... Multiplo de 5 ! Se r=4, "K^5 - K" se transformara em(5p+4)*(5p+3)*(5p+5)*[(5p+4)^2 + 1]5*(5p+4)*(5p+3)*(p+1)*[(5p+4)^2 + 1] ...Multiplo de 5 ! Se r=2 ou r=3 o fator "K^2 + 1" ira setransformar, respectivamente, em (25p^2 + 20p + 5) =5*(5p^2 + 4p +1) e(25p^2 + 30p + 10)=5*(5p^2 + 6p + 2), ambos multiplos de 5 ! Esgotadas as hipoteses possiveis sobre r, so nos resta admitir que "K^5 - K" e sempremultiplo de 5. 2 FORMA ( Estilo "Sintetico - Como eu faria" ) : Vemos que K^5 - K = K(K^4 - 1). Se K formultiplo de 5, claramente que K(K^4 - 1) tambem sera. Se nao for, entao, pelo teoremade Fermat, K^4 e congruo a 1 modulo 5 e,portanto, K^4 e 1 deixam o mesmo resto quandodividos por 5 e, assim, k^4 - 1 e multiplo de 5. 3 FORMA ( Estilo "Rolo compressor" ) E como voce fez, listando, pelo que entendi,todas as possibilidades de combinacoes. E valido. Nota : Existe um teorema ( das quatro cores )cuja primeira prova consistiu em exibir todasas combinacoes possiveis ... Muitas pessoas naoaceitam tal prova, outras aceitam ... Em minhaopiniao ( fraca, em face do que podem dizer osGrandes Professores que orientam Nossa Lista ),uma "Prova por Enumeracao" e um indicativo da falta de algum(ns) conceito(s) do(s) qual(is)o fato provado por enumeracao possa ser derivadocomo consequencia logica ! 4 FORMA ( Estilo "indutor" ) A praxis seria supor que "P^5 - P" (K=P) e divisivel por 5 e mostrar que para (K=P+1) obrigatoriamente tambem seria. Nao vou fazer, mas tenho certeza que e tao simples como todosos outros casos ... Eu acho que esta bom, mas neste momento estou vendo duas outras formas diferentes de chegara este resultado ... Isto mostra a simplicidadeda questao e a riqueza das tecnicas matematicas. Um Grande Abraco pra voceUm Grande abraco pra todos os colegas da lista Paulo Santa Rita6,1158,02032001 Nota : Existe um Teorema ( das quatro cores ) em que a prova From: "Exercicio~®" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: ime 2001 Date: Fri, 02 Mar 2001 00:27:53 -0300 Olá pessoal! Essa questão foi do último vestibular do ime. Alguém poderia apresentar uma resolução formal para essa questão? ( IME - 2001 ) Prove que para qualquer número inteiro K, os números K e K^5 terminam sempre com o mesmo algarismo ( algarismo das unidades). Eu faria assim: K = R_n onde n varia de 0 a 9 e R é qq número inteiro. K = R_0 K^5 = R_0 × R_0 × R_0 × R_0 × R_0 = T_0, onde T é qq número inteiro K = R_1 K^5 = R_1 ×R_1 ×R_1 ×R_1 ×R_1 = T_1, onde T é qq número inteiro. K = R_2 K^5 = R_2 ×R_2 ×R_2 ×R_2 ×R_2 = T_2, onde T é qq número inteiro. . . . . . . K = R_9 K^5 = R_9 ×R_9 ×R_9 ×R_9 ×R_9 = T_9, onde T é qq número inteiro. Agora fica a minha dúvida: Se num problema de demostraçao, caso eu consiga expor para o examinador TODOS os casos existentes(desde q seja viável, como nesse problema) para tal demostraçao, eu preciso necessariamente utilizar variáveis literais? No caso, se eu estivesse fazendo essa prova, eu escreveria de R_0 até R_9, integralmente, ou seja, nao existiria as reticencias q eu coloquei entre R_2 e R_9 para poupar um pco + meu tempo.. Obrigado. Falow's Exercicio~® http://members.nbci.com/exercicio ICQ # 102856897 Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: ime 2001
Note que provar isso o mesmo que provar que E = (k^5 - k)/10 sempre inteiro, correto ?? E = k(k^2+1)(k+1)(k-1)/10 E = (k-1)k(k+1)(k^2+1)/10 Como os possveis restos na diviso por 5 so -2,-1,0,1 e 2, podemos dividir nos seguintes casos : (i) k = -1, 0 ou 1 mod5 Como (k-1), k e (k+1) so divisores de E, para este caso 5 divide E (ii) k = +-2 mod5 Como k^2 + 1 divide E, para k = +-2 mod5, temos que 5 divide E. Como foram esgotados todos os casos, temos que 5 divide (k^5 - k)/10. Abraos, Villard ! -Mensagem original- De: Exercicio~ [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 2 de Maro de 2001 01:02 Assunto: ime 2001 Ol pessoal! Essa questo foi do ltimo vestibular do ime. Algum poderia apresentar uma resoluo formal para essa questo? ( IME - 2001 ) Prove que para qualquer nmero inteiro K, os nmeros K e K^5 terminam sempre com o mesmo algarismo ( algarismo das unidades). Eu faria assim: K = R_n onde n varia de 0 a 9 e R qq nmero inteiro. K = R_0 K^5 = R_0 R_0 R_0 R_0 R_0 = T_0, onde T qq nmero inteiro K = R_1 K^5 = R_1 R_1 R_1 R_1 R_1 = T_1, onde T qq nmero inteiro. K = R_2 K^5 = R_2 R_2 R_2 R_2 R_2 = T_2, onde T qq nmero inteiro. . . . . . . K = R_9 K^5 = R_9 R_9 R_9 R_9 R_9 = T_9, onde T qq nmero inteiro. Agora fica a minha dvida: Se num problema de demostraao, caso eu consiga expor para o examinador TODOS os casos existentes(desde q seja vivel, como nesse problema) para tal demostraao, eu preciso necessariamente utilizar variveis literais? No caso, se eu estivesse fazendo essa prova, eu escreveria de R_0 at R_9, integralmente, ou seja, nao existiria as reticencias q eu coloquei entre R_2 e R_9 para poupar um pco + meu tempo.. Obrigado. Falow's Exercicio~ http://members.nbci.com/exercicio ICQ # 102856897
Re: ime 2001
Basta mostrar que k^2 - k termina em zero, ou seja, eh um multiplo de 10. V ao site do GPI. Esta prova estah resolvida lah. Nao tenho mais o endereco, porem alguem da lista deve ter. []s, JOSIMAR -Mensagem original- De: Exercicio~ [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 2 de Maro de 2001 01:32 Assunto: ime 2001 Ol pessoal! Essa questo foi do ltimo vestibular do ime. Algum poderia apresentar uma resoluo formal para essa questo? ( IME - 2001 ) Prove que para qualquer nmero inteiro K, os nmeros K e K^5 terminam sempre com o mesmo algarismo ( algarismo das unidades). Eu faria assim: K = R_n onde n varia de 0 a 9 e R qq nmero inteiro. K = R_0 K^5 = R_0 R_0 R_0 R_0 R_0 = T_0, onde T qq nmero inteiro K = R_1 K^5 = R_1 R_1 R_1 R_1 R_1 = T_1, onde T qq nmero inteiro. K = R_2 K^5 = R_2 R_2 R_2 R_2 R_2 = T_2, onde T qq nmero inteiro. . . . . . . K = R_9 K^5 = R_9 R_9 R_9 R_9 R_9 = T_9, onde T qq nmero inteiro. Agora fica a minha dvida: Se num problema de demostraao, caso eu consiga expor para o examinador TODOS os casos existentes(desde q seja vivel, como nesse problema) para tal demostraao, eu preciso necessariamente utilizar variveis literais? No caso, se eu estivesse fazendo essa prova, eu escreveria de R_0 at R_9, integralmente, ou seja, nao existiria as reticencias q eu coloquei entre R_2 e R_9 para poupar um pco + meu tempo.. Obrigado. Falow's Exercicio~ http://members.nbci.com/exercicio ICQ # 102856897
Re: ime 2001
Alem dessas (otimas) soluçoes, para mostrar a divisibilidade por 5 poder-se-ia usar (eis o canhao matando uma mosca) o Pequeno Teorema de Fermat. Paulo Santa Rita wrote: Ola Falows e Amigos da Lista, Se o algarismo das unidades de "K^5" e de "K" sao iguais, entao a diferenca "K^5 - K" termina em zero, vale dizer : ela e multiplo de dez. Claramente que "K^5 - K" e multiplo de dois, qualquer que seja o natural "K". Para ver isso, note que se supormos que "K" e par, entao "K^5" sera necessariamente par e, portanto, a diferenca "K^5 - K" sera do tipo "par - par" que e par; por outro lado, supondo "K" impar, "K^5" sera impar e ,neste caso, diferenca "K^5 - K" sera do tipo "impar - impar" que e par. Resta provarmos que "K^5 - K" e tambem multiplo de cinco. Existe uma grande quantidade de formas de se fazer isso ... 1 FORMA ( Estilo "Aluno de 8 serie ) : Se "K" for multiplo de cinco, entao o fato de "K^5 - K" poder ser colocado na forma K(K^4 - 1) mostra que esta diferenca tambem e multiplo de cinco. Se "K" nao for multiplo de cinco, entao, pelo algoritmo da divisao, ele podera ser colocado na forma 5*q + r, com 0 r 5. Como : K^5 - K = K(K^4 - 1) = K(K^2 - 1)(K^2 + 1) K^5 - K = K(K - 1)(K + 1)(K^2 + 1) Se r=1, "K^5 - K" se transformara em (5p+1)*5p*(5p+2)[(5p+1)^2 + 1] ... Multiplo de 5 ! Se r=4, "K^5 - K" se transformara em (5p+4)*(5p+3)*(5p+5)*[(5p+4)^2 + 1] 5*(5p+4)*(5p+3)*(p+1)*[(5p+4)^2 + 1] ... Multiplo de 5 ! Se r=2 ou r=3 o fator "K^2 + 1" ira se transformar, respectivamente, em (25p^2 + 20p + 5) =5*(5p^2 + 4p +1) e (25p^2 + 30p + 10)=5*(5p^2 + 6p + 2), ambos multiplos de 5 ! Esgotadas as hipoteses possiveis sobre r, so nos resta admitir que "K^5 - K" e sempre multiplo de 5. 2 FORMA ( Estilo "Sintetico - Como eu faria" ) : Vemos que K^5 - K = K(K^4 - 1). Se K for multiplo de 5, claramente que K(K^4 - 1) tambem sera. Se nao for, entao, pelo teorema de Fermat, K^4 e congruo a 1 modulo 5 e, portanto, K^4 e 1 deixam o mesmo resto quando dividos por 5 e, assim, k^4 - 1 e multiplo de 5. 3 FORMA ( Estilo "Rolo compressor" ) E como voce fez, listando, pelo que entendi, todas as possibilidades de combinacoes. E valido. Nota : Existe um teorema ( das quatro cores ) cuja primeira prova consistiu em exibir todas as combinacoes possiveis ... Muitas pessoas nao aceitam tal prova, outras aceitam ... Em minha opiniao ( fraca, em face do que podem dizer os Grandes Professores que orientam Nossa Lista ), uma "Prova por Enumeracao" e um indicativo da falta de algum(ns) conceito(s) do(s) qual(is) o fato provado por enumeracao possa ser derivado como consequencia logica ! 4 FORMA ( Estilo "indutor" ) A praxis seria supor que "P^5 - P" (K=P) e divisivel por 5 e mostrar que para (K=P+1) obrigatoriamente tambem seria. Nao vou fazer, mas tenho certeza que e tao simples como todos os outros casos ... Eu acho que esta bom, mas neste momento estou vendo duas outras formas diferentes de chegar a este resultado ... Isto mostra a simplicidade da questao e a riqueza das tecnicas matematicas. Um Grande Abraco pra voce Um Grande abraco pra todos os colegas da lista Paulo Santa Rita 6,1158,02032001 Nota : Existe um Teorema ( das quatro cores ) em que a prova From: "Exercicio~®" Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: ime 2001 Date: Fri, 02 Mar 2001 00:27:53 -0300 Olá pessoal! Essa questão foi do último vestibular do ime. Alguém poderia apresentar uma resolução formal para essa questão? ( IME - 2001 ) Prove que para qualquer número inteiro K, os números K e K^5 terminam sempre com o mesmo algarismo ( algarismo das unidades). Eu faria assim: K = R_n onde n varia de 0 a 9 e R é qq número inteiro. K = R_0 K^5 = R_0 × R_0 × R_0 × R_0 × R_0 = T_0, onde T é qq número inteiro K = R_1 K^5 = R_1 ×R_1 ×R_1 ×R_1 ×R_1 = T_1, onde T é qq número inteiro. K = R_2 K^5 = R_2 ×R_2 ×R_2 ×R_2 ×R_2 = T_2, onde T é qq número inteiro. . . . . . . K = R_9 K^5 = R_9 ×R_9 ×R_9 ×R_9 ×R_9 = T_9, onde T é qq número inteiro. Agora fica a minha dúvida: Se num problema de demostraçao, caso eu consiga expor para o examinador TODOS os casos existentes(desde q seja viável, como nesse problema) para tal demostraçao, eu preciso necessariamente utilizar variáveis literais? No caso, se eu estivesse fazendo essa prova, eu escreveria de R_0 até R_9, integralmente, ou seja, nao existiria as reticencias q eu coloquei entre R_2 e R_9 para poupar um pco + meu tempo.. Obrigado. Falow's Exercicio~® http://members.nbci.com/exercicio ICQ # 102856897 -- Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: ime 2001
O endereco eh www.gpi.g12.br -- From: "josimat" [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: ime 2001 Date: Fri, Mar 2, 2001, 9:55 Basta mostrar que k^2 - k termina em zero, ou seja, eh um multiplo de 10. V ao site do GPI. Esta prova estah resolvida lah. Nao tenho mais o endereco, porem alguem da lista deve ter. []s, JOSIMAR -Mensagem original- De: Exercicio~ [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 2 de Maro de 2001 01:32 Assunto: ime 2001 Ol pessoal! Essa questo foi do ltimo vestibular do ime. Algum poderia apresentar uma resoluo formal para essa questo? ( IME - 2001 ) Prove que para qualquer nmero inteiro K, os nmeros K e K^5 terminam sempre com o mesmo algarismo ( algarismo das unidades). Eu faria assim: K = R_n onde n varia de 0 a 9 e R qq nmero inteiro. K = R_0 K^5 = R_0 R_0 R_0 R_0 R_0 = T_0, onde T qq nmero inteiro K = R_1 K^5 = R_1 R_1 R_1 R_1 R_1 = T_1, onde T qq nmero inteiro. K = R_2 K^5 = R_2 R_2 R_2 R_2 R_2 = T_2, onde T qq nmero inteiro. . . . . . . K = R_9 K^5 = R_9 R_9 R_9 R_9 R_9 = T_9, onde T qq nmero inteiro. Agora fica a minha dvida: Se num problema de demostraao, caso eu consiga expor para o examinador TODOS os casos existentes(desde q seja vivel, como nesse problema) para tal demostraao, eu preciso necessariamente utilizar variveis literais? No caso, se eu estivesse fazendo essa prova, eu escreveria de R_0 at R_9, integralmente, ou seja, nao existiria as reticencias q eu coloquei entre R_2 e R_9 para poupar um pco + meu tempo.. Obrigado. Falow's Exercicio~ http://members.nbci.com/exercicio ICQ # 102856897
