Vejo que, de fato, nao fui bem claro.
A questao eh a seguinte:
O caminho usual do ensino medio (e ateh dos cursos de graduacao) eh
1) Deduzir que lim senx / x = 1 quando x tende a 0, por um argumento do tipo
deste abaixo, do Eduardo.
Este argumento eh usado (acertadamente) porque a nossa definicao usual de
seno, no ensino medio, eh uma definicao visual: dado um numero real x,
marca-se este ponto na reta numerica; enrola-se esta reta no circulo
unitario, de modo que o 0 da reta coincida com ponto (1;0) do circulo, e o
pi da reta coincida com o ponto (-1;0). Feito isto, o ponto x da reta vai
coincidir com um certo (a;b); entao cos x=a e sen x=b.
Naturalmente, com este tipo de definicao, so podemos usar argumentos
geometrico-visuais.
(Ja sei que alguem vai falar em seno de angulo, em medidas de angulo em
unidades babilonicas , etc. Tudo isto eh redutivel a definicao apresentada
acima.)
2) A partir dahi, deduz-se a derivada do seno (nao estava me referindo so a
derivada em x=0):
[sen(x+h)-sen x ]/h = 2 sen(h/2) cos(x+ h/2) /h - cos x (quando h-0),
porque admite-se que a funcao cosseno eh continua em x (em geral chutado ou
esquecido), e que sen(h/2)/(h/2) tende a 0, pela deducao anterior.
3) Agora posso aplicar L'Hopital quando for valido e quando envolver seno.
4) Em particular, utilizando a formula de Taylor (ou melhor, o Teorema de
Taylor), pode-se deduzir a serie de potencias usual para seno.
Claro que existem outros caminhos.
Um deles eh definir seno por serie de potencias. Lembro que, neste caso,
temos que esquecer a definicao do ensino medio de seno, temos que redefinir
pi, em seguida manter a respiracao presa ateh que, por uma serie de
argumentos posteriores, se mostre que tudo isto equivale a definicao
tradicional, para ser digno de ser chamado de seno.
Outro caminho eh por integral. Pode-se por exemplo, partir da integral de 1
sobre raiz de 1-t^2 entre 0 e x, depois tomar a inversa, estender por
periodicidade, etc. (isto eh feito no livro de calculo do Spivak). Ou entao,
partir da integral de 1/ 1+t^2, e comecar pela tangente (isto eh um
exercicio do livro de calculo do Kitchen).
Outro caminho ainda eh por equacoes diferenciais de segunda ordem.
Definem-se duas funcoes c e s como as solucoes dos problemas y+y=0 com
y(0)=1, y'(0)=0 e y+y=0 com y(0)=0, y'(0)=1 (naturalmente, usando teoremas
de existencia de solucoes para estes problemas), e dai por diante (isto tem
em variuos livros de Eq.Dif.).
A todas estas solucoes alternativas aplica-se o que disse sobre a primeira:
tem que esquecer a definicao classica, e comecar tudo de novo. Alias, sao
exercicioos muito interessantes.
Resumindo, eu estava me referindo ao caminho usual. Com a definicao
(correta) usual de seno no ensino medio (veja Matematica do Ensino Medio, de
Elon, Morgado, Wagner, Paulo Cezar), para saber que a derivada de seno eh
cosseno, preciso saber antes que lim sen x / x =1, quando x tende a 0.
JP
Post-Scriptum: eu nao disse que so uso o que demonstro. Eu disse que so
gosto de usar o que eu demonstro. As vezes sou obrigado a fazer o que eu nao
gosto, como, por exemplo, usar o teorema de Stokes.
JP
- Original Message -
From: Eduardo Azevedo [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, December 11, 2001 3:08 AM
Subject: Re: limites - so na geometria e teorema do confronto
Da pra fazer esse limite, (sen x)/x, com x tende a zero so com geometria e o
teorema do confronto.
Fazendo a figura, em um ângulo pequeno, você vê que:
sen x = x = tg x
logo, dividindo tudo por sen x:
1 = x/senx = sec x
lim 1 = lim(x/sen x) = lim(sec x)
1 = lim(x/sen x) = 1
logo
lim(x/sen x) =1
- Original Message -
From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, December 11, 2001 1:01 AM
Subject: Re: limites
From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
Não entendi direito sua pergunta 1, mas parece que vc quer um jeito de
calcular o limite de sen(x)/x, qd x -0. Acho que basta usar a série
para
sen(x) :
sen(x)/x = (x - x^3/3! + x^5/5! - )/x = 1 - x^2/3 + x^4/5! -
que
para x -0, vai pra 1.
Eu sei que o uso de série de potência está camuflando derivadas tb, mas
não
deixa de não usar l`hôspital.
Periga eu dizer besteiras.
Eu acho que em grande parte dos livros, voce nao precisa de derivadas para
definir series de potencias. Voce so precisa da definicao de limite e
esclarecer o que significa a soma infinita.
Um jeito eh:
(a_1 + a_2 + a_3 + ... ) = lim(n-infinito) (a_1 + a_2 + ... + a_n)
Para definir uma soma infinita de funcoes (como eh o caso do sen(x)) voce
poe para cada x a soma infinita das funcoes naquele ponto x, e interessa a
ordem das funcoes.
Acho que o Jose Paulo quis dizer que para calcular lim(x-0) (sen(x)/x)
utilizando a regra de L´Hopital, voce precisa saber calcular a derivada de
sen(x) no ponto x=0. Por definicao:
sen ' (0) = lim(h-0) (sen(0+h) - sen(h))/h) = lim(h-0) (sen(h)/h)
Ou seja, voce ja precisa saber calcular
