Eu, na verdade, tentei achar um polinomio que desse certo. E cantei vitória antes do tempo... E a sua ideia de par-ou-impar matou de vez as esperanças: L^2+1 aumenta o módulo.
O Marcone tambem me enviou este e-mail corrigido. Eu estou matutando nele, e achei alguns exemplos. Ao que me parece, para cada grau de polinomio, existe um único polinômio que resolve a equação funcional. Eu descobri que estes poucos polinomios tem coeficiente líder 1 e sub-líder 0. Mas não avencei muito para dar um parecer final. No mais, acho que x^2+1 me lembra de usar i^2=-1... Em 04/07/11, Ralph Teixeira<ralp...@gmail.com> escreveu: > Como voce disse, se a eh uma raiz de P(x), entao a^2+1 tem que ser raiz de > P(x) tambem. Entao se voce pegar as raizes de P(x) e "aplicar" x^2+1 nelas, > voce ainda tem que cair em raizes. Portanto, dada uma raiz qualquer a, temos > que a^2+1, (a^2+1)^2+1, etc. gera varias raizes de P(x). Como P(x) tem que > ter um numero finito de raizes distintas, essa sequencia tem que gerar um > ciclo, tem que repetir em algum momento. > > Que ciclo? O caso mais simples seria fazer um ciclo de tamanho 1, ou seja, > fazer logo a^2+1=a, para o ciclo soh ter um termo. Foi a ideia que voce > colocou... mas nao dah certo -- a condicao deste ciclo ser finita eh > NECESSARIA para ter a igualdade pedida, mas ter um ciclo de raizes nao eh > SUFICENTE para garantir a igualdade pedida. > > O Shine botou a bola embaixo do braco e levou para casa: nao ha polinomio > com a condicao pedida... :) > > Mas, olha soh:* o Marcone, que propos o problema original, me mandou um > E-mail dizendo que realmente o enunciado original era mesmo > p(x^2+1)=(p(x))^2+1, mas por algum motivo ele nao conseguiu colocar a > correcao na lista.* Entao ainda ha um problema interessante (mas bem > diferente) para fazer. > > (Eu jah vi isso em algum lugar, mas nao lembro onde...) > > Abraco, > Ralph > 2011/7/4 Johann Dirichlet <peterdirich...@gmail.com> > >> Puxa! Mas onde esta o erro da minha solução? >> >> Anyway, inicialmente pensei em fatorar o dito polinomio. >> Creio que ele seja mônico, abrindo a expressão geral o fator máximo é >> a^2=a. >> Aí, escreve ele na forma deprodutos (x-a_i).. Basicamente, um lado >> fica na forma >> x^2+1-a_ i, e o outro como (x-a_ i)^2. Supóndo que as raízes são, em >> alguma ordem, iguais, dá pra chegar em algum lugar. >> >> >> >> >> Em 01/07/11, Ralph Teixeira<ralp...@gmail.com> escreveu: >> > O raciocínio do Dirichlet mostra que basta achar UM polinômio (não >> > constante) que tenha esta propriedade. Afinal, como ele mostrou, se p(x) >> > serve, então q(x)=(p(x))^2 também serve. >> > >> > Mas seja lá quem for o polinômio mágico, eu sei que ou ele é um >> > polinômio >> > par ou ele é ímpar. Afinal, escreva p(x)=P(x)+I(x) onde P(x) tem apenas >> os >> > termos de grau par e I(x) tem apenas os de grau ímpar. >> > >> > Ora, p(x)^2=(P^2+I^2)+2PI. Note que P^2+I^2 é um polinômio par e 2PI é >> > ímpar. >> > >> > Mas a condição manda que p^2=p(x^2+1), que é uma função par. Então o >> termo >> > 2PI não pode existir, isto é, P=0 ou I=0. Assim, p(x) é par ou ímpar. E >> > x^2-x+1 não é um nem outro, então não funcionou... >> > >> > Então precisamos ainda mostrar que existe UM tal polinômio! >> > >> > Abraço, >> > Ralph >> > >> > P.S.: Tem certeza que o enunciado é esse mesmo? Não seria, sei lá, >> > p(x^2+1)=(p(x))^2+1 ao invés? >> > 2011/7/1 Johann Dirichlet <peterdirich...@gmail.com> >> > >> >> Em 01/07/11, Johann Dirichlet<peterdirich...@gmail.com> escreveu: >> >> > Em 30/06/11, marcone augusto araújo >> >> > borges<marconeborge...@hotmail.com> escreveu: >> >> >> >> >> >> 1) Se p é inteiro primo ímpar,mostre que o numerador da fração >> >> >> 1+1/2+1/3+...1/(p-1) é um múltiplo de p. >> >> > >> >> > 1) Teorema de Wolstenholme, se não me engano... >> >> > >> >> > Bora lá, usar o velho truque das pontas de Gauss: >> >> > 1/k+1/(p-k)=p/(k(p-k)); >> >> > assim sendo, temos um monte de frações p/(alguma coisa). Esta coisa >> >> > não será múltipla de p em momento nenhum, logo nada aniquila este >> >> > fator p. >> >> > >> >> >> >> >> >> 2) Mostre que existem infinitos polinômios p(x) com coeficientes >> reais >> >> >> tais >> >> >> que p(x^2+1) = [p(x)]^2. >> >> >> >> É mais mole do que eu pensei! >> >> >> >> 1 - Se P e Q são soluções da equação acima, P*Q também será. Óbvio! >> >> 2 - Um polinômio possível é x^2-x+1. >> >> Como sei? Simples: >> >> >> >> Se L é um zero de P, então L^2+1 também será. >> >> Se eu conseguir L=L^2+1, terei uma solução pronta! >> >> Basta abrir o polinomio sem medo. >> >> >> >> >> >> P.S.: saber todas as soluções me parece mais desgastante. Aplicando a >> >> transformação T(L)=L^2+1 um numero finito de vezes, todos os >> >> polinômios dos pontos fixos são soluções. A treta é saber se não >> >> escapa nenhum (até porque muitos desses polinomios são fatoráveis, I >> >> think so). >> >> >> >> >> >> >> >> 3) Uma corda AB,de comprimento constante,desliza sobre uma >> >> >> semicircunferência determinada por um diâmetro d. >> >> >> Considere o triângulo cujos vértices são: o ponto médio da corda e >> >> >> as >> >> >> projeções ortogonais dos seus extremos A e B >> >> >> sobre o diâmetro d.Mostre que ,durante o deslizamento da corda,esse >> >> >> triângulo é sempre isósceles e nunca muda de formato(i.é.,os ângulos >> do >> >> >> triângulo são constantes) >> >> > >> >> > Faz um desenho! >> >> > Diâmetro r;centro O, raio 1; corda AB, tamanho d, médio M; AB >> >> > projetado em r dá XY. >> >> > >> >> > O triangulo AOB é obviamente isósceles. >> >> > Os quadrilateros XOMA e YOMB são inscritíveis de diâmetros OA e OB >> >> > respectivamente (angulos de 90 graus). >> >> > >> >> > Temos OXM=OAM=OBM=OYM, logo XMY é isosceles. E o angulo OBA depende >> >> > unicamente de d. >> >> > >> >> > P.S.: duvido que os triangulos sejam todos congruentes. O angulo XOM >> >> > define o tamanho de XM. >> >> > >> >> >> >> >> >> Meus agradecimentos por qualquer esclarecimento. >> >> > >> >> > >> >> > -- >> >> > /**************************************/ >> >> > 神が祝福 >> >> > >> >> > Torres >> >> > >> >> >> >> >> >> -- >> >> /**************************************/ >> >> 神が祝福 >> >> >> >> Torres >> >> >> >> >> ========================================================================= >> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> >> >> ========================================================================= >> >> >> > >> >> >> -- >> /**************************************/ >> 神が祝福 >> >> Torres >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > -- /**************************************/ 神が祝福 Torres ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
