Ola João,
Eu escrevi o sistema homogêneo decorrente das relações entre os lados e ângulos
(z=xcoY+ycosX.....). Resolvendo e fazendo D=0, chegamos a seguinte relação :
(cosX)^2 + (cosY)^2 + (cosZ)^2 + 2cosXcosYcosZ = 1 (repare que se um dos
cossenos for zero, reduzimos a relação do triangulo retângulo).
Agora, como 1 = (cosX)^2+(senX)^2 = (cosY)^2+(senY)^2 = (cosZ)^2+(senZ)^2 temos
que
(senZ)^2 = (cosX)^2 + (cosY)^2 + 2cosXcosYcosZ
(senY)^2 = (cosX)^2 + (cosZ)^2 + 2cosXcosZcosY
(senX)^2 = (cosZ)^2 + (cosY)^2 + 2cosYcosZcosX
Que se repararmos com maior detalhe, é exatamente a lei dos cossenos.
Ou seja, além disto estes triângulos são os triângulos obtusângulos (180-X),
(180-Y) e (180-Z). Se o ângulo entre x e y é ^Z, então ângulo entre cosX e cosY
será 180-^Z.
Como falei, bobinho mais achei uma relação bonita.
AbsFelipe
--- Em sex, 12/8/11, João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com> escreveu:
De: João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
Assunto: RE: [obm-l] Probleminha
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 12 de Agosto de 2011, 22:44
Eu fiz assim:
Pela Lei dos cossenos temos que se um triângulo é obtusângulo, sendo a o
lado oposto ao ângulo obtuso, a²>b²+c²
Vamos provar que para o triângulo XYZ acutângulo, o quadrado do seno de um
ângulo é sempre maior do que a soma dos quadrados dos cossenos dos outros 2
Logosen²x > cos²y+cos²zsen²y > cos²x+cos²zsen²z >cos² x + cos²y
Veja que todas podem ser resuzidas para 1>cos²x + cos²y + cos²z
Como z = 180-x-y, cos²z = cos²(x+y)Como cos²(x+y)<cos(x+y) podemos provar
que 1>cos²x + cos²y + cosz = (cos(x)+cos(y))² - cos(x-y)1+cos(x-y) >
(cos(x)+cos(y))²
2cos[(x-y)/2]²>(cos(x)+cos(y))²
2^(1/2)cos[(x-y)/2] > cos(x) + cos(y)2^(1/2) > 2cos[(x+y)/2]2^(1/2)/ 2 >
cos[(x+y)/2]
como 90 < (x+y)/2 temos que cos[(x+y)/2] >= 2^(1/2)/ 2 se e somente se
(x+y)<=90°-> z>=90°, absurdo, logo a igualdade sempre se verifica
Do jeito que você falou acho que deve ter uma maneira muito mais facil lolMas
pelo menos foi resolvido :)
[]'sJoão
Date: Fri, 12 Aug 2011 13:03:59 -0700
From: luizfelipec...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Probleminha
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Não sei se conhecem. Eu descobri sozinho acidentalmente. É bobinho, mas achei
bonitinho:
Sendo X, Y e Z os ãngulos de um triângulo acutângulo, demonstre que SenZ, CosX
e CosY; SenY, CosZ, CosX e SenX, CosY,CosZ são lados de triângulos obtusângulos.
Abs
Felipe
