Lá vou eu! Depois da substituição esperta x=d+y, obtemos o seguinte:
3(d+y)^2+(d+y)=4y^2+y y^2-6dy-(3d^2+d)=0 Completa o quadrado: y^2-6dy+9d^2=12d^2+d (y-3d)^2=12d^2+d=d(12d+1) d e 12d+1 não tem fatores primos comuns, e ambos dão como produto um quadrado perfeito. Logo, ambos são quadrados - em especial, d=x-y. Bem, é possível, daí, com um Pell, saber quais são os possíveis x e y. De fato, (12x+2)^2=3(8y+1)^2+1 As soluções de A^2-3B^2=1 são da forma A_n+(sqrt(3))B_n=(2+1*(sqrt(3)))^n Em 5 de outubro de 2013 22:30, Bob Roy <bob...@globo.com> escreveu: > Olá , > Estranho o enunciado .... > > Verifiquem se há algum erro na solução ... > > Tomemos a equação do segundo grau em x : 3x^2+x - ( 4y^2+y) = 0 . > > O delta desta equação é dado por : 1 +12y(4y+1). > > Para que tenhamos inicialmente uma solução inteira , devemos ter que : > > 1 +12y(4y+1) um quadrado perfeito . Daí : > > 1 +12y(4y+1) = (3t +1)^2 ou (3t - 1)^2 . > > Fazendo z = 4y , teremos 3 z(z+1) = 9t^2+6t ou 9t^2 - 6t . > > Ou seja z(z+1) = t(3t+2) ou t(3t-2) e observe que z e z+1 são primos > entre si ; logo t divide z ou z+1 . > > 1) z = kt , donde k(z+1) = 3t+2 ou 3t-2 . Substituindo z = kt na segunda > igualdade deste ítem , verificamos que k = 2 e t = -4. > Teremos x = 2 e y = -2 ???? ( y negativo) ; apesar de que x -y = 4 = 2^2 > 2) se fizermos a outra hipótese, encontraremos as mesmas soluções .... > > Será que errei em algum conceito ou o enunciado está com problemas ? > > Bob > > > Em 22 de setembro de 2013 21:31, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > Sejam x,y inteiros positivos tais que 3x^2 + x = 4y^2 + y.Mostre que >> x - y é um quadrado perfeito. >> Estou tentando.Uma ajuda? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- /**************************************/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
